八年级数学竞赛培优专题及答案 23 面积的计算

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专题23 面积的计算


计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：
1.常见图形的面积公式；
2．等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；
3.等比定理：
(1) 同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.
(2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.
熟悉下列基本图形、基本结论：

例 题 与 求 解
【例1】如图，△ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD的面积为，则＝________. （黄冈市竞赛试题）
解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.

【例2】如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE＝6，那么△ABC的面积等于 ( ) (全国初中数学联赛)
A．12 B．14 C．16 D．18
解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系.

【例3】如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使＝＝＝＝，若S四边形EFGH＝2S四边形ABCD，求的值.
解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于的方程.

【例4】如图，P，Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，PA与CQ相交于点E，且∠PAD＝∠QAD，求证：S矩形ABCD＝S△APQ.
解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化.


【例5】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，移动速度为每秒2个单位长度. 过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为秒，AE的长为y.
(1) 求出y关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2) 当为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？ (江西省中考试题)
解题思路：对于(1)利用△ADE∽△ABC可得y与的关系式；对于(2)先写出S关于的函数关系式，再求最大值.




【例6】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D，E，F.
求证：(1) ＋＋＝1；
(2)＋＋＝2
解题思路：过点A，P分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把 转化为面积比，利用面积法证明.




A 级
1．如图，YABCD中，AE∶BE＝1∶2，S△AEF＝6cm2，则S△CDF的值为________. (济南市中考试题)
2．如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，P为正六边形内任一点，则点P到各边距离之和为_______.

3．如图，P是边长为8的正方形ABCD外一点，PB＝PC，△PBD的面积等于48，则△PBC的面积为_____________. (北京市竞赛试题)

4．如图，已知△BOF，△AOF，△BOD，△COE的面积分别为30，40，35，84，则△ABC的面积为________. (浙江省竞赛试题)
5．如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE 是Rt△ADC斜边上的高，如果DC∶AD＝1∶2， S△DCE＝a，那么S△ABC等于 ( ) (金华市中考试题)
A．4a B．9a C．16a D．25a

6．如图，已知M是YABCD边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分面积与YABCD的面积之比为（ ） （山西省中考试题）
A． B． C． D．
7． 如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若S△ADE＝2S△DCE，则等于( )
(浙江省宁波市中考试题)
A． B． C． D．
8．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（ ）cm2. (广东省竞赛试题)
A．4 B．2 C．3 D．4

9． 如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD和 A′B′C′D′，且正方形A′B′C′D′的顶点A′在正方形ABCD的中心，当正方形A′B′C′D′绕A′ 转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值. 这个结论对吗？证明你的判断. （“希望杯”邀请赛试题）









10．如图，设凸四边形ABCD的一组对边AB，CD的中点分别为K，M.求证：S四边形ABCD＝S△ABM＋S△DCK..

11．如图1，AB，CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC，S△DAC，S△DBC分别表示△DMC，△DAC，△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC＝………..①.
(1) 如图2，若图1中AB与CD不平行时，①式是否成立？请说明理由.
(2) 如图3，若图1中AB与CD相交于点O时， 问S△DMC与S△DAC和S△DBC有何相等关系？试证明你的结论. （安徽省中考试题）





12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C′.
(1) 如图1，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D，证明：△A′CD是等边三角形；
(2) 如图2，连接A′A，B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3.
(3) 如图3，设AC的中点为E，A′B′的中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝_____时，EP长度最大，最大值是____________. （安徽省中考试题）




B 级
1．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7cm2和11cm2，则△CDE的面积等于___________cm2. （武汉市竞赛试题）
2．如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝PB＝10，并且P到CD边的距离也等于10，那么正方形ABCD的面积是_______________. (北京市竞赛试题)
3．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在BC，DC上，＝1，＝2，若△ADF的面积为m，四边形AECF的面积为n (n＞m)，则四边形ABCD的面积为___________. (全国初中数学联赛试题)


4．如图，图形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△OCD的面积为S2，则＋＝_________. (山东省竞赛试题)

5．如图，分别延长△ABC的三边AB，BC，CA至A′，B′，C′，使得AA′＝3AB，BB′＝3BC，CC′＝3AC，若S△ABC＝1，则S△A′B′C′等于 ( ).
A．18 B．19 C．24 D．27
(山东省竞赛试题)
6．如图，若ABCD是2×2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点，AF与DE相交于点I，BD和AF相交于点H，那么四边形BEIH的面积是 ( )
A． B． C． D．
(江苏省竞赛试题)

7．如图，矩形ABCD中，E是BC上的一点，F是CD上的点，已知S△ABE＝S△ADF＝SABCD，则的值等于 ( ) (北京市竞赛试题)
A．2 B．3 C．4 D．5

8．(1) 探究：如图1，在YABCD的形外分别作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE，∠FAB＝∠EAD＝90°，连接AC，EF. 在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明.
(2) 应用：以YABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF，GH，IJ，KL，若YABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为____________. （长春市中考试题）

9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2cm，BC＝4cm，在等腰△PQR中，∠QPR＝120°，底边QR＝6cm， 点B，C，Q，R在同一条直线l上，且C，Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为Scm2.
(1) 当t＝4时，求S的值；
(2) 当4≤t≤10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值. (广州市中考试题)

10．有一根直尺的短边长为2cm，长边长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边长为12cm，如图1将直尺的短边DE放置与直角三角纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合 将直尺沿AB方向平移，如图2，设平移的长为cm(0≤≤10)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积Scm2.
(1) 当＝0时，S＝________，当时，S＝________；
(2) 当0＜≤4时，求S关于的函数关系式；
(3) 当4＜＜10时，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值. (徐州市中考试题)



11．如图，设H是等腰三角形ABC的三边上的高线的交点，在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时的值变大、变小、还是不变?证明你的结论. (全国初中数学联赛试题)


12．(1) 请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
(2) 如图2，点M是矩形ABCD内一定点，请你在图2中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
(3) 如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB＝6，BC＝4，CD＝4. 开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4，2)处. 为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分. 你认为直线l是否存在?若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由. (陕西省中考试题)



专题23 面积的计算
例1．22 提示：连接AF．
例2．选C 提示：连接DE．
例3． 提示：连接GA，HB，EC，FD，AC，BD，则
，同理，
故，同理.
例4． 提示：过E作EF∥BC交AB于F，△AEF≌△ADE≌△ADQ，又△AED∽△PEC，
则，积AD·CE=PC·DE．
例5． 提示：（1）（0≤x≤4）
（2），当x=2时，S最大值=6.
例6．（1）如图，分别过P，A作BC的垂线，垂足为P1，A1．

．
同理，，
故．
（2）.
A级
1．54cm 2．18cm 3．32 4．315 5．C
6．C 7．D 8．C
9．提示：当正方形ABCD 与正方形A’B’C’D’的对应边平行时，两者重合部分面积为正方形面积的；转动后，两者重合面积仍为定值．
10． 提示：过A、K、B分别作CD的垂线．
11．（1）结论仍然成立，证明略．
（2）
12．（1）略 （2）△ACA’∽△BCB’ （3）120°，
B 级
1． 2．256 3．
4． 提示：S梯形ABCD=
5．B 6．C 7．D 8．（1）略 （2）10
9．提示：（1）当t=4时，Q与B重合，P与D重合，如图a，重合部分是△BDC，
S△BDC=．
（2）①当4≤t≤6时，如图b，BQ=t－4，CR=6－4，
由△PQR∽△BQM∽△CRN，
得＝()2＝()2，
∴S＝S△PQR－S△BQM－S△CRN＝．
当t＝5时，S最大值＝．
②当6＜t≤10时，如图c，BR＝10－t，BK⊥RK，且∠KRB＝30°，所以BK＝BR＝(10－t)，KR＝(10－t)，S＝BK·KR＝(10－t)2．
当t＝6时，S最大值＝2．
综合①②，当t＝5时，S最大值＝．

10．提示：（1）S＝2cm2；S＝2cm2．
（2）当0＜x≤4时，如图a，DG＝AD＝x，AE＝EF＝x＋2，
S＝＝2x＋2cm2．
（3）当4＜x＜10时，应分两种情况进行讨论：
①当4＜x＜6时，如图b，DG＝AD＝x，EF＝BE＝12－x－2＝10－x，S＝S△ABC－S△ADG－S△BEF＝－x2＋10x－14＝－(x－5)2＋11，故当x＝5时，S最大值＝11．
②当6≤x＜10时，如图c，BD＝DG＝12－x，EF＝BE＝10－x，S＝22－x，当x＝6时，S最大值＝10．
综上所述，4＜x＜10时，S的最大值为11cm2．

11．∵∠HBD＝∠HAE，∴Rt△BDH∽Rt△ADC．
∴．又BD＝DC＝BC，
∴AD·HD＝BD·DC＝BC2．
∴S△ABC·S△HBC＝(AD·BC)(HD·BC)＝BC4．而BC是不变的，∴当点A至BC的距离变小时，乘积S△ABC·S△HBC保持不变．

12．（1）（2）略
（3）如图，存在符合条件的直线l．过点D作DA⊥OB于A，则点P(4，2)为矩形ABCD的对称中心．
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可．
易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将△DOA的面积平分，从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，直线PH即为所求直线l．
设直线PH的表达式为y＝kx＋b，且点P(4，2)，
∴2＝4k＋b，即b＝2－4k，∴y＝kx＋2－4k．
∵直线OD的表达式为y＝2x，
∴，解得，
∴点H的坐标为(，)．
∴PH与线段AD的交点F的坐标为(2，2－2k)，
∴0＜2－2k＜4，∴－1＜k＜1．
∴S△DHF＝(4－2＋2k)·(2－)＝××2×4，解得k＝(k＝不合题意，舍去)．∴b＝8－2，∴直线l的表达式为y＝x＋8－2．