八年级数学竞赛培优专题及答案 17 等腰三角形的判定

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专题17  等腰三角形的判定 阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等．2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：   例题与求解【例1】如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则CF的长为____________．                   （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M”．    【例2】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系是（     ） A．AC＞2AB  B．AC＝2AB  C．AC≤2AB  D．AC＜2AB(山东省竞赛试题) 解题思路：如何条件∠B=2∠C，如何得到2AB，这是解本题的关键．     【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME，MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE≌△BAC出发，先确定△ADB的形状，为判断△EMC的形状奠定基础．      【例4】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠FAE=∠AEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．    【例5】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=200，在边AB上取点D，使AD=BC，求∠BDC度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC为边在△ABC内作等边△BCO；如图②，以AC为边作等边△ACE．      能力训练A级1．已知△ABC为等腰三角形，由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半，则∠BAC=__________．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠ABC=660，△ABC以点C为中点旋转到△A′B′C的位置，顶点B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，则∠BDC=_________． 3．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=_______．                                                     （天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1，9，9，5，那么这个六边形的周长是____________．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=360，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有（               ）A．3个      B．4个  C．5个      D．6个6．若△ABC的三边长是，，，且满足，，，则△ABC（   ）A．钝角三角形  B．直角三角形 C．等腰直角三角形  D．等边三角形                                                    （“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（     ）A．300  B．300或1500      C．1200或1500         D．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（                ）A．2个        B．4个     C．6个      D．8个                                          （江苏省竞赛试题）         第5题图             第8题图               第9题图  9．如图在等腰Rt△ABC中，∠ACB=900，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．⑴ 求证：AD⊥CF；⑵ 连结AF，度判断△ACF的形状，并说明理由．       10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD．                               （天津市竞赛试题） 11．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．                              （江苏省竞赛试题）  12．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F． ⑴ 求证：CE=CF；⑵ 将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．                                                        （山西省中考试题）      B级1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠B：∠C的值=__________． 2．如图，△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC+∠DAE=1500，则∠BAC的度数是____________．3．在等边△ABC所在平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有_________个．4．如图，在△ABC中，∠ABC=600，∠ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，则图中的等腰三角形的个数是（                            ）    A．2       B．3      C．4  D．5 5．如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=1200，EA=AB=BC=DC=DE，则∠D=（   ）   A．300       B．450        C．600            D．67.50                                    （“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（                 ）   A．A5     B．A6      C．A7         D．A87．若P为△ABC所在平面内一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=1200，则点P叫作△ABC的费尔马点，如图1． ⑴若点P为锐角△ABC的费尔马点，且∠ABC=600，PA=3，PC=4，则PB的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费尔马点P，且BB′=PA+PB+PC．                                                  （湖州市中考试题）    8．如图，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．                         （全国初中数学联赛试题）       9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=(AB+AC)．                          （重庆市竞赛试题）     10．在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE=600，DE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？证明你的结论．                                                    （《学习报》公开赛试题）           11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线：与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线沿轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与，轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．                                                     （宁波市江东区模拟题）    12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴ 求B点坐标；⑵ 如图2，若C为轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶ 如图3，过点A作轴于E，F为轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作轴垂线交EH于点M，连接FM，等式=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．            专题17    等腰三角形的判定例1 延长MF，BA交于E，延长FM至点P，使MP=MF，连BP，则△BMP≌△CMF，∴BP=CF.∵AD平分∠BAC，AD∥FM，∠BAD=∠DAC=∠MFC=∠AFE=∠E=∠P，∴AE=AF，BE=BP，即AB+AE=AB+AF=AB+AC-CF=CF，∴CF=(AB+AC)= (7+11)=9.例2   D例3 提示：△EMC为等腰直角三角形，连AM，易证：△ADE≌△BAC.∴AD=AB， 又∠DAB=90°.又∵M为BD中点，∴AM⊥DB且DM=BM=AM. 又∵∠MDE=∠MAC=105°，∴△EDM≌△CAM. ∴EM=MC，∠DME=∠AMC ，∴∠DME+∠EMA=∠AMC +∠EMA=90°.∴△EMC为等腰直角三角形.例4延长AD至G，使DG=AD，连接BG.由△ADC≌△GDB，得AC=BG，AC∥BG.∵BE=AC，∴BE=BG，得∠BED=∠BGD，∴∠FAE=∠BGD=∠BED=∠AEF，故AF=EF. 例5  提示：结合图1，给出解答过程.由图形的轴对称性知：△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO=10°，∴∠ABO=∠ACO=20°，∴∠AOB=∠AOC=150°.又∵BO=BC=CO= AD，∴△ACD≌△CAO，∴∠AOC=∠CDA=150°，故∠BDC=30°.A级1.90°或75°或15°       2.72°       3.2        4.375.D         6.D  提示：将三式相加     7.D        8.C9.⑴先证△ACD≌△CBF，∴∠CAD=∠BCF.又∵∠CAD+∠CDG=∠BCF+∠CDG=90°，∴∠CGD=90°，∴AD⊥CF.⑵△ACF为等腰三角形.10.提示：延长DB至E，使BE=AB，连结AE，证明∠E=∠C，AC=AE.11. 提示：证明△DCA≌△ECB、△DCM≌△ECN，∠NCM=60°.12. ⑴提示：先证明∠CEF=∠CFE.⑵作EG⊥AC于G，证明△CEG≌△BE´D´，可得CE= BE´，又CF=CE，BE´=CF.B级1.2:1         2.110°        3.10       4.D5.C  提示：在五边形内作等边三角形ABF，则E、F、C在一条直线上.6.B7.  提示：⑴    ⑵ 在BB´上取点P，使∠BPC=120°，再在PB´上取点E使PE=PC，连结CE. 则由△PCE为等边三角形，可得：PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB´=120°∵△ACB´为正三角形，∴可证：△ACP≌△B´CE. ∴∠APC=∠B´EC=120°，PA=EB´.∴∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，∴P为△ABC的费马点.∴BB´过△ABC的P，且BB´=EB´+PB+PE=PA+PB+PC.8.  提示：延长AB至M，使BM=BP，连结PM，则AB+BP=AM，可证明BQ=QC.∴AQ+QB=AQ+QC=AC，又由△AMP≌△ACP得AM=AC，故AB+BP=AQ+BQ.9.  提示：延长FM至P，使PM=FM，连结BP，则△BMP≌△CMF，AE=AF，BE=BP.10.  提示：当D为BC的端点，显见△AED是等边三角形；当D为BC边的中点，取AC的中点F，连接DF，易证△CDF为等边三角形，又△ADF≌△EDC，故△ADE为等边三角形．猜测：当D为BC上任意点时，△ADE也为等边三角形．11．（1）；（2）过点C作CH⊥y轴于H，证明△AOB≌△BHC即可；（3）符合条件的P点共有5个，分别为．12．提示：（1）B(8，0)；       （2）如图a，过A作AS⊥OB于S，过D作DT⊥x轴于T．∵△OAB为等腰直角三角形，∴OS=AS=BS，再由△ASC≌△CTD，可得：AS=CT，SC=TD．∴CT=AS=OS，∴OT=CS=TD．∴∠TOD=45°，则∠AOD=90°；（3）等式成立，理由如下：如图b，在AM上截取AS=OF，连ES，可证△EAS≌△EOF，可得：ES=EF，∠AES=∠OEF∴∠SEF=∠AEO=90°，∴∠FEM=∠SEM=45°．又∵EM=EM，∴△EFM≌△ESM，∴FM=SM，∴AM=AS+SM=OF+FM，∴．