八年级数学竞赛培优专题及答案 09 二次根式的概念与性质

专题09   二次根式的概念与性质

阅读与思考

式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：

    1．．说明了与、2一样都是非负数．

2．＝（≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．

3． 揭示了与绝对值的内在一致性．

    4． （≥0，≥0） ．

    5 ．（≥0，＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．

    6．若＞＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．

    运用二次根式性质解题应注意：

    （1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；

（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．

例题与求解

   【例1】设，都是有理数，且满足方程，那么的值是____________．                                                    （“希望杯”邀请赛试题）

    解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．

【例2】 当1≤≤2，经化简，＝___________．

解题思路：从化简被开方数入手，注意中≥0的隐含制约．

【例3】若＞0，＞0，且，求的值．

    （天津市竞赛试题）

 解题思路：对已知条件变形，求，的值或探求，的关系．

【例4】若实数，，满足关系式：

   ，试确定的值．

    （北京市竞赛试题）

    解题思路：观察发现（－199＋）与（199－－）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．

【例5】已知，求＋＋的值．

  （山东省竞赛试题）

解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.

【例6】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

    （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．

    （2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC三边的长分别为，2，（＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的△ABC，并求出它的面积．

    （3）若△ABC三边的长分别为，，2 （＞0，＞0，且≠）试运用构图法求出这个三角形的面积．

（咸宁市中考试题）

    解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．

能力训练

A级

1．要使代数式有意义．则的取值范围是_____________．

    （“希望杯”邀请赛试题）

2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．

已知为实数，化简．

解：原式＝．

3．已知正数，，有下列命题：

（1）若＝1，＝1，则1；

（2）若＝，＝，则；

（3）若＝2，＝3，则；

（4）若＝1，＝5，则3．

根据以上命题所提供的信息，请猜想：若＝6，＝7，则________．

    （黄冈市竞赛试题）

4．已知实数，，满足，则（＋）的值为_______．

5．代数式的最小值是（    ）．

    A．0          B．1＋          C．1           D．不存在

6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（    ）．

   A．和2              B．3和3

   C．和               D．和

（“希望杯”邀请赛试题）

7．化简的结果是（    ） ．

   A．6－6        B．－6＋6        C．－4              D．4

 （江苏省竞赛试题）

8．设是一个无理数，且，满足－－＋l＝0，则是一个（    ）．

   A．小于0的有理数                B．大于0的有理数

   C．小于0的无理数                D．大于0的无理数

    （武汉市竞赛试题）

9．已知，其中≠0，求的值．

    （山东省中考试颗）

10．已知与的小数部分分别是，，求的值．

    （浙江省竞赛试题）

11．设，，为两两不等的有理数．

求证：为有理数．

（北京市竞赛试题）

12．设，都是正整数，且使，求的最大值．

    （上海市竞赛试题）

B级

1．已知，为实数，y＝，则5＋6＝_________．

2．已知实数满足，则－19992＝___________．

3．正数，满足＋4－2－4＋4＝3，那么的值为_______．

 （北京市竞赛试题）

4．若，满足3＝7，则=的取值范围是________．

    （全国初中数学联赛试题）

5．已知整数，满足＋2＝50，那么整数对（，）的个数是（     ）

  A．0           B．1              C．2                D．3

    （江苏省竞赛试题）

6．已知＝1，那么代数式的值为（     ）

  A．        B．－          C．－           D．

    （重庆市中考试题）

7．设等式在实数范围内成立，其中，，是两两不同的实数．则代数式的值为（      ） ．

   A．3          B．              C．2                D．

8．已知，则的值为（      ） ．

   A．3          B．4              C．5               D．6

9．设，，是实数，若＋＋＝2＋4＋6－14，求

   的值．

（北京市竞赛试题）

10．已知3＝3＝cz3，＋＋＝1，求证：＋＋．

11．已知在等式中，，，，都是有理数，是无理数．求：

（1）当，，，满足什么条件时，是有理数，

（2）当，，，满足什么条件时，是无理数．

（“希望杯”邀请赛试题）

12．设＝，求不超过的最大整数[s]．

13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝．

（1）用含的代数式表示AC＋CE的长；

（2）请问点C满足什么条件是AC＋CE的值最小？

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．

专题09  二次根式的概念与性质

(3)构造△ABC如图b所示，

.

A级

1..

2. 不正确，正确的答案是

3.     4.     5.B     6.D     7.D    8.B   9.  10.

11. 提示:设法证明

12.∵都为整数，

必为整数.

设得

即=216=4×54=2×108.

当时，的值最大，最大值为108.

B 级

1.-16  2.2000  提示：由得   3.   

4.   提示：      5.D

6.D   提示：由得    7.B     8.C    9.66

10.提示：令,则

11.(1)当时，是有理数;当时，,其中是有理数，是无理数,是有理数;要使s为有理数，只有，即.综上知，当且时，s是有理数.

(2)当时，且是无理数;当时，,

其中是有理数，是无理数，是有理数，所以，当，即为无理数.

综上知，当或是无理数.

12. ∵

.

13.(1)AC+CE=.

(2)当A,C,E三点共线时，AC十CE的值最小.

(3)如图，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作DE⊥BD，且使AB=2,DE=3，连结AE交BD于点C，设BC=x，则CD =12-x,AE的长即为的最小值，过点A作AF//BD交ED的延长线于点F，则DF=AB=2，EF=ED+DF=5，

AF=BD = 8 , AE= = =13，即原式的最小值为13.