数列-浙江省温州高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编

这是一份数列-浙江省温州高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编，共16页。试卷主要包含了多选题，单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数列-浙江省温州高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编 一、多选题1．（2023·浙江温州·统考二模）是等比数列的前项和，若存在，使得，则（    ）A． B．是数列的公比C． D．可能为常数列 二、单选题2．（2022·浙江温州·三模）是数列的前项和，则“数列为常数列”是“数列为等差数列”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2021·浙江温州·统考二模）已知递增等差数列的前项和为，若，且成等比数列，则（    ）A． B． C． D． 三、填空题4．（2023·浙江温州·统考二模）若数列满足，则称此数列为“准等差数列”．现从这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是__________． 四、双空题5．（2023·浙江温州·统考二模）若递增数列满足：，，，则实数的取值范围为________，记的前项和为，则________.6．（2021·浙江温州·统考三模）已知为数列的前n项和，，且，则_________，的最小值为________． 五、解答题7．（2023·浙江温州·统考二模）已知是首项为1的等差数列，公差是首项为2的等比数列，．(1)求的通项公式；(2)若数列的第项，满足__________（在①②中任选一个条件），，则将其去掉，数列剩余的各项按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和．①②．8．（2023·浙江温州·统考二模）设为正项数列的前项和，满足.（1）求的通项公式；（2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围；（3）设（其中是自然对数的底数），求证：.9．（2022·浙江温州·三模）数列满足，.(1)证明：；(2)若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.10．（2022·浙江温州·统考二模）已知首项为-2的等差数列的前项和为，数列满足，.(1)求与；(2)设，记数列的前项和为，证明：当时，.11．（2021·浙江温州·统考三模）已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项．（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；（2）设，为前n项和，证明：．12．（2021·浙江温州·统考二模）已知数列的前项和为，且．（1）求及通项公式；（2）记，求数列的前项的和．
参考答案：1．ABC【分析】设等比数列的公比为，当时，，结合题意可判断D选项；当时，结合等比数列的前项和公式可得，结合题意可得，进而判断A、B、C选项.【详解】设等比数列的公比为.当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错；当，所以，即，，所以ABC对．故选：ABC.2．A【分析】首先看充分性，数列为常数列可以得到数列为等差数列，而数列为等差数列，举一反例即可证明数列不为常数列，即可得解.【详解】若数列为常数列，则是公差为的等差数列；若数列为等差数列，例如则数列不为常数列．故选：A.3．D【分析】结合题中所给的条件，利用等差数列通项公式和求和公式以及三数成等比数列的条件，列出等量关系式，求得其首项和公差，进一步求其前10项和，从而得到正确答案.【详解】因为是递增等差数列，，所以，即，①由成等比数列，所以，整理得，即，②①②联立求得，或（舍去）所以，故选：D.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数列的问题，正确解题的关键是熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式，以及三数成等比数列的条件.4．【分析】先列举基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】和为5有2种组合，和为6有2种组合，和为7有3种组合，和为8有3种组合，和为9有4种组合，和为10有4种组合，和为11有5种组合，和为12有4种组合，和为13有4种组合，和为14有3种组合，和为15有3种组合，和为16有2种组合，和为17有2种组合，所以.故答案为：5．          【分析】分类讨论，根据递推公式可以判断出数列的所有奇数项、偶数项成等比数列，结合递增数列的性质、等比数列前项和公式进行求解即可.【详解】当为奇数时，，所以数列的所有奇数项构成首项为，公比为2的等比数列；同理当为偶数时，数列的所有偶数项构成首项为，公比为2的等比数列，因此要想数列是递增数列，则有，即，解得.由等比数列的前项和公式得：奇偶.故答案为：；【点睛】本题考查了已知数列单调性求参数取值范围，考查了等比数列的判定，考查了等比数列的前项和公式的应用，考查了数学运算能力.6．          3【分析】由给定递推公式求出数列的通项，把建立起关于m的函数，利用函数单调性即可得解.【详解】依题意，，则，两式相减得，，而，即，数列是公比为3的等比数列，则；因，则，，，因函数是R上增函数，则数列{}是递增数列，m=1时，，不符合要求，m=2时，，所以的最小值为3.故答案为：；3【点睛】思路点睛：数列是一类特殊的函数，研究数列单调性可借助对应的函数单调性解决.7．(1)(2) 【分析】（1）根据等差和等比数列的通项公式，列出基本量方程组，即可求解；（2）若选择①，得，可知剩下的项就是原数列的奇数项，代入等比数列求和公式，即可求解；若选择②，，根据，讨论为奇数和偶数两种情况，即可判断求解.【详解】（1）设的公差为的公比为，因为，所以，联立消得，解得或与矛盾，故，代回计算得，所以（2）若选①，则有，所以剩余的项就是原数列的奇数项，相当于剩余的项以2为首项，4为公比的等比数列，所以；若选②，则有，因为，所以当时，对应的为整数，满足，当时，对应的不为整数，不满足，所以剩余的项就是原数列的奇数项，相当于剩余的项以2为首项，4为公比的等比数列，所以；8．（1）（2）（3）证明见解析；【分析】（1）根据题中的关系式，利用得出数列是等差数列，可得通项公式；（2）时，求出的范围，接着证明的此范围对的正整数都成立，首先由，放缩，然后结合二项式定理证明结论；（3）根据（1）中的结论得到数列的通项公式，求出变形并放缩，再由当时，放缩裂项相消法求和证明结论.【详解】（1）∵，∴，两式相减，得，即，∴，∵为正项数列，∴，又由，解得或（舍去），∴.（2），即，当时，，解得且，下面证明当且时，对任意正整数都成立，当时，，∴，又当时，上式显然成立，故只要证明对任意正整数都成立即可，又，∴实数的取值范围为.（3）证明：由题得，∵，∴.当时，，∴.【点睛】本题考查已知与关系求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题以及不等式的证明．在利用时，注意，数列不等式恒成立，可从特殊值出发，如时成立得出参数的范围，然后再考虑它对时是否也成立．不等式的证明，根据不等式的形式首先考虑能否求和，.由于是不等式可能考虑用放缩法，适当放缩后再求和．本题对学生分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力要求较高，属于困难题．9．(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）首先从函数的角度证明不等式的右边成立，再运用数学归纳法或求通项的方法证明不等式右边成立，在利用求通项的方法时，需要给出数列的单调性说明才能证得结果；（2）根据（1）运用放缩法，将进行放缩，进而表示出，再运用不等式的性质证得结论成立.【详解】（1）证明：右边：，左边：法一（数学归纳法）：，，当时，假设当时，成立即，即成立则当时，综上所述，.法二（求通项）：，，两边同时取对数得：数列是以首项为，公比为的等比数列， 数列单调性证明：思路1：由复合函数的单调性，知单调递增，；思路2：，；思路3：，；综上所述，.（2）证明：法一：放缩到裂项因为，所以，由（1）知所以所以所以，又，所以，所以.法二：放缩到等比，所以，所以，所以所以.10．(1)，；(2)证明过程见解析. 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式、等差数列的通项公式，结合对数式与指数式互化公式进行求解即可；（2）运用数学归纳法进行证明即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以由，即，即，所以，而，所以；（2）由（1）可知：，，所以有，当时，，不等式成立，当时，，不等式成立，假设当时，不等式成立，即，当时，，因为所以，即，因此，综上所述：当时，成立.11．（1）证明见解析；；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得， 从而得是以为首项，公差为2的等差数列，根据等差数列的通项公式可得，再运用累加法求得，由此可得的通项公式；（2）由（1）得，运用放缩法有，再裂项相消不等式可得证.【详解】（1）证明：由题知，即有， 所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，当时，，当时，也符合题意，      所以，又，所以：；    （2）由（1）得，因为所以，所以，即，所以所以得证.【点睛】方法点睛：证明数列不等式的常用方法之一：放缩法，即是从不等式的一边着手， 用不等式的传递性等性质， 舍去(或添上) 一些正项或者负项， 扩大或缩小分式的分子、 分母， 逐渐适当地有效放大或缩小到所要求的目标，注意放缩时要适度， 否则就不能同向传递．在数列求和型不等式证明中， 一般来说有先放缩再求和或先求和再放缩两种形式。若数列易于求和， 则选择先求和后再放缩； 若数列不易求和， 要考虑先放缩后再求和的证明方法 ．本例题选择先放缩再求和， 但切记放缩后要易于求和且放缩得当， 若从第 1 项开始放大， 则会放得过大， 导致证明失败， 故在证明过程中选择从数列第 2 项开始放大， 恰到好处 ．12．（1），，； （2）.【分析】（1）由，求得，再由，求得，分为奇数和偶数，根据，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）知，当为奇数时，得到；当为偶数时，得到，根据中包含着个奇数项和个偶数项，分别设为，分别利用错位相减法和等比数列的求和公式可求得结果.【详解】（1）由题意，数列的前项和为，且，所以，解得，又由，解得，当为奇数时，可得，当为偶数时，可得，所以.（2）由（1）知，当为奇数时，可得；当为偶数时，可得，即，因为中包含着个奇数项和个偶数项，设个奇数项的和为，个偶数项的和为，由，可得,所以，所以.【点睛】方法点睛：分组求和的解题策略：1、一个数列的的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减；2、分组转化求和的常见类型：①若数列满足（为等差或等比数列），可分组求和；②若（为等差或等比数列），可分组求和.