中图版 (2019)必修2 信息系统与社会2.1.1 系统练习题

这是一份中图版 (2019)必修2 信息系统与社会2.1.1 系统练习题，共18页。试卷主要包含了掌握Nyquist判据，相位裕度和幅值裕度的特点等内容，欢迎下载使用。
基本要求                        1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判据判定系统是否稳定。3.掌握Nyquist判据。  4.掌握Bode判据。5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。本章重点                          1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在Nyquist图和Bode图上的表示法。本 章 难 点 Nyquist判剧及其应用。
5.1          系统稳定的定义和条件1.几个例子 d     f c    b cMa 单摆 倒立摆 小球的稳定性2.系统稳定的定义若系统零输入响应随时间的推移，逐渐衰减并趋向于零(回到平衡 位置),则称该系统是稳定的；反之，若系统的零输入响应发散，则系统是不稳定的。
3.稳定性条件 对于线性微分方程
(an p
   an 1
pn1  a
p  a0
 )xo
 (t) 
xi (t)
 
闭环传递函数为:
G  (s)    G(s)   B 1  G(s)H (s)
est
 
特征方程为:
1  G(s)H (s)  0
其自由响应，即线性齐次方程的通解为: xo
nsi t tii1 0
 
稳定的条件：
lim x (t)  0t 
 系统稳定的充要条件：若系统的全部特征根（传递函数的全部极点） 全部具有负实部（位于[s]左半平面），则系统稳定。
      5.2                   稳定性的代数判据5.2.1        胡尔维茨(Hurwitz)稳定判据
1、系统的特征方程:1 G(s)H (s)  ans
   an-1
sn-1 a s  a  0
2、系统稳定的充要条件：
⊿1 ⊿2 ⊿3
(1)特征方程的各项系数均为正。
a n 1
a n  3
a n  5
... 0
ai ＞0 (i=0,1,2,…n)      (2)各项系数组成的胡尔维茨n阶行列式中各阶子行列式都大于零。
n n  2 a n  4n 1 n  30 a a
... 0... 0... 0
⊿i >0 (i=0,1,2,…n)
nn 0 0
n  20
3、特例：
    0
n  2: a2
  0,a1
  0,a0
  0;
a 0 02  a a 0
... a 0... a
n  3: a
  0,a
  0,a
  0,a
  0,a a
-a a
0; 脚 脚 0
3 2 1 0
2  1 3   0 标 标
n  4: a
 0,a  0,a  0,a  0,a
  0,a a a  -a a 2 -a 2a   0; 递 递
4 3 2 1 0
3   2  1 4  1 3 0 增 减
5.2.2        劳斯(Routh)稳定判据 
1、系统的特征方程: 1 G(s)H (s)  a
sn  a
sn-1 a s  a  0
 2、劳斯表：snsn-1
n    b1 
n-1    an1an2 anan3an1
1     c1 
0    b1an3 an1b2 b1
sn-2
 b2
 an1an4 anan5a
c  b1an5 an1b32 b
sn-3 c c
 a a
n1 1
1 2  
b3 
n1
n6 anan7an1
c  b1an7 an1b4b1
s d1 s e1
 3、系统稳定的必要条件：各项系数均为正，ai>0 (i=0,1,2,…n)。4、劳斯稳定判据的充要条件是：特征方程系数所组成的劳斯阵列第一列元素符号一致，则系统 稳定。否则系统不稳定。第一列元素符号改变次数就是特征方程中所包含的右根数目。
 
 例 设单位反馈控制系统的开环传递函数为试判断系统稳定时K的范围。
G(s) 
K s(s 1)(s  2)
 
解：其单位反馈系统的闭环传递函数为:
Xo (s) 
G(s)  K 
特征方程式为: 劳斯阵列为:
s3  3s2s3 1s2 3
   2s  K2K
Xi (s)
1 G(s)
s3  3s2  2s  K
s1 6  K3s0 KK  0
由劳斯稳定条件得:
 6  K  0
0  K  6
 3
      5.3                   稳定性的几何判据5.3.1        Nyquist稳定判据1.特征方程与开环、闭环传递函数的零点和极点的关系 
开环传递函数
GK (s)  G(s)H (s)   G(s)  
Xi ( s)
 ( s)
Xo ( s)
闭环传递函数
GB (s) 
1 G(s)H (s)
特征方程为 F (s)  1 G(s)H (s)  0 特征函数 F(s)的极点  开环 Gk(s)的极点。特征函数F(s)的零点              闭环 GB(s)的极点。  系统稳定的充要条件：GB (s)全部极点均须具有负实部，等价于F(s) 函数的全部零点均须具有负实部。
 2.幅角原理当ω从－∞→＋∞变化时，特征函数F(jω)的轨迹将绕原点O转N=P-Z圈。因GK(jω)=F(jω)-1，故GK(jω)的Nyquist曲线围绕(-1， j0)点的圈数为 N= P–Z。 (1)P:开环右极点数。(2)Z:闭环右极点数。(3)N>0:逆时针包围。N<0:顺时针包围。N=0:逆时针和顺时针包围圈数相等、或表示不包围(-1，j0)点、或表示通过(-1，j0)点。F ( j)与 GK ( j)的关系
 Nyquist稳定判据 当ω从0到＋∞变化时，GK(jω)的Nyquist轨迹逆时针包围(-1， j0)点的圈数N等于GK(jω)的右极点数的一半（P/2）时,则闭环系统 稳定，否则闭环系统不稳定。N=P/2(1)       P:开环右极点数；N>0:逆时针包围；N<0:顺时针包围；N=0:逆时针和顺时针包围圈数相等、或表示不包围(-1，j0)点、或表示通过(-1，j0)点。N=1/2: Nyquist图曲线始于(-1，j0)点左侧的实轴上，N=-1/2: Nyquist图曲线止于(-1，j0)点左侧的实轴上。
 (2）当开环传递函数含有积分环节时（即有位于原点的极点） 当趋向0时奈氏曲线沿某一坐标轴趋向∞开环曲线不封闭，可以通过作辅助曲线（圆）后再进行判别，辅助曲线是一半径为∞的圆弧，从奈氏曲线的起始端开始逆时针方向绕过 ×90º和实轴相交后即可。(              系统的型次）
例 已知系统开环传递函数为：G(s)H (s) 
1s(2s 1)(3s 1) Im
试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解：根据开环传递函数可绘制出其频率特性的奈奎斯特图如图所示。曲线包围了点(-1， j0)一圈N=-1（注意图中虚线）。由G(s)H(s) 表达式知， P=0，开环稳定，根据奈氏判据，N≠p/2,该系统闭环不稳定。
 (1.2, j0)(1, j0)   0
   0Re
  
(3）对于比较复杂的系统，不容易直接看出包围的圈数时，可采用“穿越”的概念，所谓“穿越”是指奈氏开环曲线穿过(-1，j0) 点左侧的实轴。穿越次数即为包围点(-1，j0) 的圈数，正穿越时包围圈数为正，负穿越则包围圈数为负。正穿越:由上向下穿越为正穿越(相角增加)。负穿越:由下向上穿越为负穿越(相角减少)。若曲线始于(-1，j0)点左侧的实轴上，穿越次数为1/2。若曲线止于(-1，j0)点左侧的实轴上，穿越次数为-1/2。
 a点、b点:正穿越， c点:负穿越，N=2-1=1=p/2，闭环系统稳定。
5.3.2        Bode图稳定判据Nyquist图与Bode图的关系开环Bode图与开环极坐标图有如下对应关系:(1)极坐标图上的单位圆相当于Bode图上的0分贝线，即对数幅频特性
图的横轴。
GK ( jc )
 1,20 lg GK ( jc )
 0dB
(2)极坐标图上的负实轴相当于Bode图上的-180o线，即对数相频特性
图的横轴。
GK ( j g )  180
      -90-18
 
正穿越：相频特性由下而上穿过－180o 线，图中b点(相角增加)。负穿越∶相频特性由上而下穿过－1800 线，图中a点(相角减少)。正半次穿越:对数相频特性曲线始于－180o 向上。负半次穿越:对数相频特性曲线始于－180o 向下。
  0 ( ) 0        -900-1800-2700
        GH正半次穿越 负半次穿越
      5.4          系统的相对稳定性相对稳定性：开环频率特性G(jω)H(jω)在GH平面上与（-1，j0）点  的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度，用幅值裕量和相位裕量来进行定量计算。
1.相位裕量幅值交界频率c
：开环频率特性的幅值
等于1时的频率，即 G( j )H ( j )  1
。也称为
幅值穿越频率、开环剪切频率。相位裕量 ：在系统的幅值交界频率  c处，使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相移（超前或迟后）量。   ( )  (180 )  ( )  180   -180
 
幅值裕量Kg相位交界频o
g ：开环频率特性的相位
等于-180 时的频率，即∠G(jω)H(jω)=-180o ,也称为相位穿越频率。幅值裕量Kg：在相位交界频率g 处开环频率特性幅值的倒数。kg  
 或 kg
(dB) 
20 lg 1
   0dB
 
 20 lg G(
j )H (
j )
  -1800
 相位裕量和幅值裕量在奈氏图、Bode图中的表示 
1             0 
 0dB  -180    0  0dB
cKg (dB)  g
   
  0 
-1800   0
 4.相位裕度和幅值裕度的特点（1）对于最小相位系统，必须同时具有正幅值裕度和正相位裕度，闭  环系统稳定。 （2）工程控制实践中，为使系统有满意的稳定性储备，一般希望    300 ~ 600Kg (dB)  6dB