2023年吉林省长春市净月高新区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年吉林省长春市净月高新区中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级抽取成绩的平均数等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市净月高新区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  计算的结果等于(    )A.  B.  C.  D. 2.  同学们，你们知道吗？年卡塔尔世界杯主场馆卢塞尔体育场，是中国铁建国际集团承建的，这是中国以设计施工总承包身份建设的首个世界杯体育场项目，广受好评，总耗资约美元，这个数用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图是由个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是(    )A.
B.
C.
D. 4.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯的坡角为，乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度为米，则自动扶梯的长为(    )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米6.  如图，四边形内接于，，则等于(    )A.
B.
C.
D.
 7.  如图，在中，，图中所作直线与射线交于点，点在边上，根据图中尺规作图痕迹，判断以下结论正确的是(    )A.
B.
C.
D. 8.  如图是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现如图是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法不正确的是(    )
A. 与的函数关系式是
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，的取值范围是二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.  分解因式：______．10.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．11.  我国古代孙子算经中有记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是“每人共乘一辆车，最终剩余辆车；每人共乘一辆车，最终有人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”则乘车人数为______ 人12.  如图，矩形的对角线、相交于点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、若，，则图中阴影部分的面积为______结果保留
 13.  如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格线交点，则的度数为______ ．
 14.  在平面直角坐标系中，若点，在二次函数的图象上，且总满足，则的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.  本小题分
先化简：再求值：，其中．16.  本小题分
年月日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从，，，四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
“志愿者被选中”是______事件填“随机”、“不可能”或“必然”；
用画树状图或列表的方法求出，两名志愿者同时被选中的概率．17.  本小题分
年是中国农历癸卯兔年春节前，某商场进货员预测一种“吉祥兔”布偶能畅销市场，就用元购进一批这种“吉祥兔”，面市后果然供不应求，商场又用元购进了第二批这种“吉祥兔”，所购数量是第一批购进量的倍，但每件的进价贵了元该商场购进第一批、第二批“吉祥兔”每件的进价分别是多少元？18.  本小题分
如图，在中，，点在上，以点为圆心，长为半径的圆与、分别交于点、，且．
求证：是的切线；
若：：，，则的长为______ ．
19.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
网格中的形状是______．
在图中确定一点，连结、，使与全等．
在图中的边上确定一点，连结，使∽．
在图中的边上确定一点，在边上确定一点，连结，使∽，且相似比为：．20.  本小题分
某校举办以年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
数据分成组，，，，，

：七年级抽取成绩在这一组的是：
，，，，，，，，
，，，，，，，．
：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七年级八年级请结合以上信息完成下列问题：
七年级抽取成绩在的人数是______，并补全频数分布直方图；
表中的值为______；
七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是，则______填“甲”或“乙”的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
七年级的学生共有人，请你估计七年级竞赛成绩分及以上的学生人数．21.  本小题分
甲乙两人相约一起去登山，登山过程中，甲先爬了米、乙才开始追赶甲甲、乙两人距地面的高度米与登山时间分之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
甲登山的速度是每分钟______ 米；
若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的倍，请求出乙提速后距离地面的高度米与登山时间分之间的函数关系，并写出相应自变量取值范围；
直接写出甲乙相遇后，甲再经过多长时间与乙相距米？
22.  本小题分
【感知】如图，将▱沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，连结若，则四边形的周长为______ ．
【探究】如图，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，点恰好落在边上．
求证：四边形为菱形．
若，，，，则的面积为______ ．
 23.  本小题分
如图，在中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点匀速运动，过点作交折线于点，连结，将绕点逆时针旋转得到设点的运动时间为秒．
______ ．
用含的代数式表示线段的长．
当点落在边上时，求的值．
当与重叠部分为三角形时，直接写出的取值范围．
24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线为常数，经过点，点在抛物线上，其横坐标为，将此抛物线上、两点间的部分包括、两点记为图象．
求抛物线的解析式．
若点是抛物线上一点，横坐标为过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连结，求的面积．
当抛物线的顶点是图象的最高点，且图象的最高点与最低点到轴的距离和为定值时，求的取值范围．
已知点、、，顺次连接、、、得到矩形，当图象与该矩形的边有两个公共点时，直接写出的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：

，
故选：．
运用有理数乘法法则进行求解．
此题考查了有理数乘法的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算．
 2.【答案】 【解析】解：由题意可得，，
故选：．
根据科学记数法的定义写成是整数，即可得到答案．
本题考查科学记数法：将一个数写成是整数的方法叫科学记数法，等于小数点移动的位数．
 3.【答案】 【解析】解：从上面看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列居上是一个小正方形．
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 4.【答案】 【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为，
故选：．
根据解一元一次不等式组的步骤，先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可确定答案．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：在中，，
则米．
故选：．
根据正弦的定义计算，则得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正弦的定义是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：，
，
四边形为内接四边形，
，
．
故选：．
先利用圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
 7.【答案】 【解析】解：由作图得：，垂直平分，
，
，
，
，
，
故B是错误的，是正确的；
，，
和不全等，
，不正确；
故选：．
根据角平分线和线段的垂直平分线的性质判断求解．
本题考查了基本作图，掌握角平分线和线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：设与的函数关系式是，
该图象经过点，
，
，
与的函数关系式是，故选项A正确不符合题意；
当时，，故选项B正确，不符合题意；
反比例函数随的增大而减小，
当时，，故选项C错误，符合题意；
时，，当时，，
当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意；
故选：．
由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：原式
．
故答案为：
本题首先提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 11.【答案】 【解析】解：设共有人，
根据题意得．
解得：，
故答案为：．
利用车的数量不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：如图，
在中，，，
，，
矩形的对角线、相交于点，
，
由题意可得阴影部分与阴影部分的面积相等，
，
故答案为：．
根据矩形的性质以及扇形面积的嗯就是方法进行计算即可．
本题考查矩形的性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及矩形的性质是正确解答的前提．
 13.【答案】 【解析】解：连接，，如右图所示，
由图可得，≌，
，
，
设每个小正方形网格的边长为，
则，
，
，
是直角三角形，，
，
故答案为：．
先作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的性质和勾股定理的逆定理，可以得到的度数，从而可以求得的度数．
本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 14.【答案】 【解析】解：二次函数中，，
图象开口向上，
点，在二次函数的图象上，且总满足，
又抛物线的对称轴是直线，
，
解得．
故答案为：．
由题意可知点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得出，解不等式求出的范围即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
 15.【答案】解：原式

；
当时
原式

． 【解析】根据平方差公式以及完全平方公式化简后，再把的值代入计算即可．
本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式是解答本题的关键．
 16.【答案】解： 随机；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中，两名志愿者同时被选中的结果有种，
，两名志愿者同时被选中的概率为． 【解析】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件的概念．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中，两名志愿者同时被选中的结果有种，再由概率公式求解即可．
 17.【答案】解：设商场购进第一批“吉祥兔”每件的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
元，
答：商场购进第一批“吉祥兔”每件的进价为元，第二批“吉祥兔”每件的进价为元． 【解析】设商场购进第一批“吉祥兔”每件的进价为元，根据第二批购进数量是第一批购进数量的倍列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 18.【答案】 【解析】证明：连接，

点在上，
，
，
，
，
，
，
，即，
点在上，
是的切线；

解：连接，
：：，设，则，，
是直径，
，
，
又，
∽，
，
，
．
连接，根据，得到，根据得到，结合即可得到答案；
连接，根据，得到∽，即可得到，即可得到答案．
本题考查切线证明及相似三角形判定与性质，解题的关键是作出辅助线得到角度相等的条件．
 19.【答案】直角三角形 【解析】解：，，，
，
为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
如图，点即为所求答案不唯一．
如图，点即为所求．
如图，点，即为所求．

利用勾股定理及勾股定理的逆定理可得出结论．
取格点，使，即可．
过点作于点，可得，进而可得∽．
取格点，在上取格点，连接，交于点，可得∽，则，可得，即∽，且相似比为：．
本题考查作图应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
 20.【答案】解：，
频数直方图如图所示：

 ；
 甲；
人，
即估计七年级竞赛成绩分及以上的学生人数为． 【解析】【分析】
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
根据各组人数求出的人数，并补全频数分布直方图；
根据中位数的定义求解即可；
根据该学生的成绩大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数，即可判断；
用乘以样本中竞赛成绩分及以上人数所占比例可得．
【解答】
解：成绩在的人数为人
成绩在的人数为人，
故答案为：，补全频数分布直方图见答案；
第，名学生的成绩分别为，，所以，
故答案为：；
大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数．
甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
故答案为：甲；
见答案．  21.【答案】 【解析】解：由图象可知，甲登山的速度为米分钟，
故答案为：；
当时，，
当时，，
乙提速后距地面的高度米与登山时间分之间的函数关系式为；
甲登山全程中，距地面的高度米与登山时间分之间的函数关系式为，
当时，
解得：；
，
解得，
；
当甲距离山顶米时，
此时分，
答：甲乙相遇后，甲再经过分或分与乙相距米．
根据速度高度时间即可算出甲登山上升的速度；
当时，根据高度初始高度速度时间即可得出关于的函数关系；
先求出甲、乙相遇时所用时间，在路程之间的关系列出方程求解即可．
本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式．
 22.【答案】  【解析】【感知】
解：如图：

▱沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
，
四边形的周长为，
故答案为：；
【探究】
证明：如图：

将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，
，，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形；
解：过作交延长线于，如图：

设，则，
四边形为菱形，
，
，
，
，，
在中，，
，
解得，
，
，
将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，
，
故答案为：．
【感知】根据▱沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得，，，而，即得，故DF，可知四边形的周长为，
【探究】由将四边形沿折叠，点、的对应点分别为、，得，，即得，，故AE，而，从而可证四边形为菱形；
过作交延长线于，设，则，可知，由，得，有，，在中，，得，故HG，从而，即可得．
本题考查四边形综合应用，涉及翻折变换，菱形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握翻折的性质．
 23.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
，
．
故答案为：；

如图中，当点在线段上时，，

，
，

如图中，当点在线段上时，．

，
，
综上所述，；

如图中，当点落在上时，，

，
，
解得，
时，点落在上；

如图中，当点落在边上时，，

，
解得，．
观察图象可知当时，点落在内部．
综合可知，当或在内部时，与重叠部分为三角形，
当点与重合时，，
解得，
满足条件的的值为：或．
在中，，可得，再利用勾股定理求出；
分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在线段上时，分别求出即可；
如图中，当点落在上时，，根据，构建方程求解即可；
当或在内部时，与重叠部分为三角形，求出几个特殊位置的的值，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 24.【答案】解：把代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
如图：

在中，令得，
，
在中令得或，
，
，
，
的面积是；
，
抛物线的对称轴为直线，顶点为，
抛物线的顶点是图象的最高点，
，
关于直线的对称点为，
图象的最高点与最低点到轴的距离和为定值，
为图象的最低点，
，
范围是；
点在抛物线上，其横坐标为，
，
当的纵坐标与，相等时，
，
解得或，
如图：

由图可知，图象与该矩形的边有两个公共点，的范围是；
当与，横坐标相等时，
，
解得，
若与重合，则，
解得，
如图：

由图可得，图象与该矩形的边有两个公共点，的范围是，综上所述，图象与该矩形的边有两个公共点，的范围是或． 【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为；
画出图形，求得，，可得，故；
求得抛物线的对称轴为直线，顶点为，根据抛物线的顶点是图象的最高点，知，而关于直线的对称点为，图象的最高点与最低点到轴的距离和为定值，知为图象的最低点，故范围是；
当的纵坐标与，相等时，可得或，画出图形，数形结合可得图象与该矩形的边有两个公共点，的范围是；当与，横坐标相等时，，与重合，，画出图形可得图象与该矩形的边有两个公共点，的范围是，即可得到答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，矩形等知识，解题的关键是数形结合思想的应用．