2024高考数学一轮总复习（导与练）第二章 第4节　幂函数与二次函数

第4节　幂函数与二次函数

 [选题明细表]

1.(2023·山东济南质检)若f(x)是幂函数,且满足=3,则f()等于(　C　)

A.3 B.-3 

C.    D.-

解析:设f(x)=xα,则=2α=3,所以f()=()α=.

2.若幂函数y=(m2+3m+3)的图象不过原点且关于原点对称,则(　A　)

A.m=-2         B.m=-1

C.m=-2或m=-1   D.-3≤m≤-1

解析:根据幂函数的概念,

得m2+3m+3=1,

解得m=-1或m=-2,

①若m=-1,则y=x-4,

令f(x)=x-4,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=(-x)-4=x-4≠-f(x),

显然幂函数为偶函数,不是奇函数,图象不关于原点对称,不符合题意,舍去;

②若m=-2,则y=x-3,

令f(x)=x-3,其定义域为R,且f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),

即幂函数为奇函数,图象关于原点对称,符合题意.

所以m=-2.

3.(多选题)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=ax2+x+1和函数g(x)=ax+1的图象可能是(　ABD　)

解析:若a=0,则f(x)=x+1,g(x)=1,A符合;若a<0,则f(x)的图象开口向下,过点(0,1),对称轴的方程为x=-,g(x)的图象过点(0,1)和(-,0),且-<-,B符合;若0<a<,则f(x)的图象开口向上,与x轴有两个交点,过点(0,1),对称轴的方程为x=-,g(x)的图象过点(0,1)和(-,0),且->-,C不符合;若a>,则f(x)的图象开口向上,与x轴没有交点,过点(0,1),对称轴的方程为x=-,g(x)的图象过点(0,1)和(-,0),且->-,D符合.

4.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有(　ACD　)

A.函数f(x)为增函数

B.函数f(x)为偶函数

C.若x>1,则f(x)>1

D.若0<x1<x2,则<f()

解析:将点(4,2)代入函数f(x)=xα,得2=4α,

解得α=,所以f(x)=.

显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,A正确;

f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,B不正确;

当x>1时,>1,即f(x)>1,C正确;

当0<x1<x2时,

[]2-[f()]2

=()2-()2

=-

==-<0,

即<f()成立,D正确.

5.(多选题)(2022·山东泰安二模)已知函数f(x)=-x2+2x+1的定义域为(-2,3),则函数f(|x|)的单调递增区间是(　BC　)

A.(-∞,-1)  B.(-3,-1)

C.(0,1)     D.(1,3)

解析:因为函数f(x)=-x2+2x+1的定义域为(-2,3),对称轴为直线x=1,开口向下,所以函数f(|x|)满足-2<|x|<3,所以-3<x<3.

又f(|x|)=-x2+2|x|+1=且y=-x2-2x+1图象的对称轴为直线x=-1,所以由二次函数的图象与性质可知,函数f(|x|)的单调递增区间是(-3,-1)和(0,1).

6.(2022·河北张家口检测)已知幂函数f(x)=mxn+k的图象过点(,),则m-2n+3k=　　　　. 

解析:因为f(x)是幂函数,所以m=1,k=0,

又f(x)的图象过点(,),

所以()n=,

解得n=,

所以m-2n+3k=0.

答案:0

7.已知函数f(x)同时满足①f(0)=0;②在[1,3]上单调递减;③f(1+x)=f(1-x),则该函数的表达式可以是f(x)=　　　　. 

解析:由f(1+x)=f(1-x)可知y=f(x)的图象关于直线x=1对称,可设f(x)为二次函数,又f(0)=0且f(x)在[1,3]上单调递减,所以可设f(x)=2x-x2.

答案:2x-x2(答案不唯一)

8.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.若b<1,且函数g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,则m的取值范围是　　　　　　. 

解析:由f(x)=a(x-1)2+2+b-a可得二次函数图象的对称轴为直线x=1.

当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数,

可得所以a=1,b=0.

当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数,

可得解得a=-1,b=3(舍去).

则f(x)=x2-2x+2,

g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2.

因为g(x)在[2,4]上单调,

所以≤2或≥4,即m≤2或m≥6,

故m的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞).

答案:(-∞,2]∪[6,+∞)

9.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+1.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)当x∈[t,t+2](t∈R)时,求函数f(x)的最小值g(t)(用t表示).

解:(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x+1,

所以

则

所以解得因此f(x)=x2+2.

(2)因为f(x)=x2+2的图象的对称轴为直线x=0,且图象的开口向上,

所以当t≥0时,f(x)=x2+2在x∈[t,t+2]上单调递增,

则f(x)min=f(t)=t2+2;

当t+2≤0,即t≤-2时,

f(x)=x2+2在x∈[t,t+2]上单调递减,

则f(x)min=f(t+2)=(t+2)2+2=t2+4t+6;

当t<0<t+2,

即-2<t<0时,f(x)min=f(0)=2,

综上,g(t)=

10.(多选题)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1<x2,则下列结论正确的是(　ABD　)

A.当m=0时,x1=2,x2=3

B.m>-

C.当m>0时,2<x1<x2<3

D.当m>0时,x1<2<3<x2

解析:当m=0时,(x-2)(x-3)=0,所以x1=2,x2=3,故A正确;

方程(x-2)(x-3)=m化为x2-5x+6-m=0,

由方程有两个不等实根得Δ=25-4(6-m)=1+4m>0,所以m>-,故B正确;

当m>0时,画出函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m的图象,如图所示,

由(x-2)(x-3)=m得,函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m图象的交点横坐标分别为x1,x2,由图可知,x1<2<3<x2,故C错误,D正确.

11.(2023·安徽合肥质检)已知函数f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是(　B　)

A.(-∞,2] B.[4,+∞)

C.[2,+∞) D.(-∞,4]

解析:因为f(x)>0的解集为(-1,3),故-2x2+bx+c=0的两个根为-1,3,

所以即令g(x)=f(x)+m,则g(x)=-2x2+4x+6+m=-2(x-1)2+8+m,由x∈[-1,0]可得g(x)min=m,

又g(x)≥4在[-1,0]上恒成立,故m≥4.

12.已知实数a,b满足等式a3=b5,给出下列五个关系式:①1<b<a;②a<b<-1;③0<b<a<1;④-1<a<b<0;⑤a=b,其中可能成立的关系式有(　C　)

A.1个 B.2个

C.3个 D.5个

解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=x3和y=x5的图象,

如图所示.

数形结合可知,在(1)处a<b<-1;在(2)处-1<b<a<0;在(3)处0<a<b<1;在(4)处1<b<a;在a=b=1或a=b=-1处也满足,故①②⑤可能成立.

13.已知函数f(x)=2x2-ax+1,x∈[-1,a],且f(x)的最大值为f(a),则实数a的取值范围为　　　　. 

解析:由题设知f(x)图象的对称轴为直线x=且开口向上,

所以当a>0时,有-1<<a,若≤,即a≥2时,f(x)max=f(a),符合题意;若>,即0<a<2时,f(x)max=f(-1),不符合题意;

当a=0时,有f(x)=2x2+1,图象的对称轴为直线x=0且开口向上,f(x)在[-1,a]上单调递减,f(x)max=f(-1),不符合题意;

当-1<a<0时,有-1<a<,f(x)在[-1,a]上单调递减,则f(x)max=f(-1),不符合题意.

综上,a∈[2,+∞).

答案:[2,+∞)

14.已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.

(1)求a,b的值;

(2)若存在x∈[3,4],使g(x)<2m2-tm+7对任意的t∈[0,5]都成立,求m的取值范围;

(3)设f(x)=,若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.

解:(1)g(x)=ax2-2ax+1+b=a(x-1)2+1+b-a.

因为a>0,所以g(x)在[2,3]上单调递增,

所以⇒⇒

(2)由(1)得g(x)=x2-2x+1,

因为存在x∈[3,4],使g(x)<2m2-tm+7对任意的t∈[0,5]都成立,

所以g(x)min=g(3)=4<2m2-tm+7对任意的t∈[0,5]都成立,

即-mt+2m2+3>0对任意的t∈[0,5]都成立,其中t看作自变量,m看作参数,

所以

解得m<1或m>,

得m∈(-∞,1)∪(,+∞).

(3)由(1)得f(x)===x+-2,

所以f(2x)-k·2x=2x+-2-k·2x≥0,

令2x=t(≤t≤2),

则不等式可化为k≤1+-,

因为不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,所以k≤(1+-)max,

又因为1+-=(-1)2,

≤t≤2⇒≤≤2,所以(1+-)max=1,

所以k≤1,即实数k的取值范围是(-∞,1].

15.已知函数f(x)=-x+3,g(x)=x2-2ax+2a-1(a∈R).

(1)若函数g(x)的值域为[0,+∞),求a的取值集合;

(2)若对于任意的x1∈[-2,2],总存在x2∈[-2,2],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.

解:(1)因为函数g(x)=x2-2ax+2a-1的值域为[0,+∞),

所以Δ=(2a)2-4(2a-1)=0,

解得a=1.

所以a的取值集合为{1}.

(2)由题意可知

对于函数f(x)=-x+3在[-2,2]上是减函数,

所以f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(-2)=5,

函数g(x)=x2-2ax+2a-1图象开口向上,对称轴为直线x=a.

①当a≤-2时,函数g(x)在[-2,2]上为增函数,g(x)min=g(-2)=6a+3,

g(x)max=g(2)=-2a+3,

所以此时a≤-2;

②当-2<a≤0时,函数g(x)在区间[-2,a]上为减函数,在[a,2]上为增函数,g(x)min=g(a)=-a2+2a-1,

g(x)max=g(2)=-2a+3,

所以此时-2<a≤-1;

③当0<a<2时,函数g(x)在区间[-2,a]上为减函数,

在[a,2]上为增函数, 

g(x)min=g(a)=-a2+2a-1,

g(x)max=g(-2)=6a+3,

所以此时≤a<2;

④当a≥2时,函数g(x)在[-2,2]上是减函数,

所以g(x)max=g(-2)=6a+3,

g(x)min=g(2)=-2a+3,

所以此时a≥2.

综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[,+∞).

16.设函数f(x)的定义域为R,满足3f(x)=f(x+1),且当x∈(0,1]时,f(x)=x2-x,若对任意x∈(-∞,a],都有f(x)≥-,则实数a的取值范围是(　A　)

A.(-∞,] B.(-∞,]

C.(-∞,2] D.(-∞,3]

解析:因为f(x)=x2-x的对称轴为直线x=,

所以当x∈(0,1]时,f(x)=x2-x的最小值为-;

当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],f(x+1)=(x+1)2-(x+1),由3f(x)=f(x+1)知,f(x)=f(x+1)=[(x+1)2-(x+1)],其最小值为-;同理,当x∈(1,2]时,f(x)=3[(x-1)2-(x-1)],其最小值为-;

当x∈(2,3]时,f(x)=9[(x-2)2-(x-2)],其最小值为-.作出函数f(x)的简图,因为-<-<-,所以要使f(x)≥-,则有9[(x-2)2-(x-2)]≥-,解得x≤或x≥.要使对任意x∈(-∞,a],都有f(x)≥-,则实数a的取值范围是(-∞,].