2024高考数学一轮总复习（导与练）第二章 第8节　函数与方程

第8节　函数与方程

 [选题明细表]

1.(2022·天津模拟)函数f(x)=ln x+2x-3的零点所在的大致区间是(　A　)

A.(1,2) B.(2,3)

C.(3,4) D.(4,5)

解析:因为f(x)=ln x+2x-3在(0,+∞)上是增函数,f(1)=-1<0,

f(2)=ln 2+1>0,所以f(2)·f(1)<0,根据零点存在定理,可得函数f(x)=ln x+2x-3的零点所在区间为(1,2).

2.函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内的零点的个数为(　C　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),在同一平面直角坐标系中画出函数y1=|x-2|(x>0),y2=ln x(x>0)的图象,如图所示.由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.

3.若函数f(x)=4x-m·2x+m+3有两个不同的零点x1,x2,且x1∈(0,1),

x2∈(2,+∞),则实数m的取值范围为(　C　)

A.(-∞,-2)

B.(-∞,-2)∪(6,+∞)

C.(7,+∞)

D.(-∞,-3)

解析:设t=2x,由x1∈(0,1),x2∈(2,+∞)可知t1∈(1,2),t2∈(4,+∞),即函数f(t)=t2-mt+m+3在区间(1,2),(4,+∞)上各有一个零点,所以即解得m>7.

4.(2023·山西模拟)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-2有三个零点,则实数a的取值范围是(　C　)

A.(-∞,2) B.(-3,4)

C.(-3,6)    D.(-3,+∞)

解析:当x≥1时,f(x)=ln x+1,

令ln x+1-2=0,解得x=e,

所以x=e是函数y=f(x)-2的一个零点,

所以当x<1时,y=x2+4x+a-2有两个零点,即x2+4x+a-2=0在(-∞,1)上有两个不同的实数解,

所以解得-3<a<6.

5.(多选题)记函数f(x)=x+ln x的零点为x0,则关于x0的结论正确的是(　BC　)

A.0<x0<    B.<x0<1

C.-x0=0 D.+x0=0

解析:由于函数f(x)=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,

且f()=-ln 2<0,f(1)=1>0,

所以<x0<1.由x0是函数f(x)=x+ln x的零点,得x0+ln x0=0,

即ln x0=-x0,所以x0=,即-x0=0,则+x0=2>0,故A,D选项错误,B,C选项正确.

6.函数f(x)=的零点个数为　　　　. 

解析:当x≤0时,f(x)=x+2有一个零点x=-2;

当x>0时,f(x)=x+e2>0,无零点,

故函数f(x)=的零点个数为1.

答案:1

7.若函数f(x)=有且仅有两个零点,试写出一个满足题意的实数b的取值为　　　　. 

解析:因为当x≥0时,f(x)=,

令f(x)=0,解得x=0,

又因为f(x)有且仅有两个零点,

所以当x<0时,f(x)=0仅有一个零点,

即2x-b=0在(-∞,0)上仅有一个解,

等价于2x=b在(-∞,0)上仅有一个解,

又因为当x<0时,0<2x<1,

所以只需满足0<b<1即可.

答案:(答案不唯一)

8.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点,则实数k的取值范围是　　　　. 

解析:由题意可得函数f(x)的图象与直线y=k有两个不同的交点,如图所示.

故实数k的取值范围是(,1).

答案:(,1)

9.(2022·陕西咸阳三模)设函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是　　　　. 

解析:函数f(x)=的图象如图所示.

若存在互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)=k,

则k∈(-3,4),

不妨令x1<x2<x3,

则x1∈(-,0),x2+x3=6,

故x1+x2+x3∈(,6).

答案:(,6)

10.下列四个函数中,使得方程f(f(x))=x的实根个数恰为4个的是(　D　)

A.f(x)=2x2+x    B.f(x)=2x

C.f(x)=       D.f(x)=|3x-1|

解析:因为2f2(x)+f(x)=x⇒2(2x2+x)2+(2x2+x)=x,所以x2(2x2+2x+1)=0,所以x=0,故A错误;2f(x)=x⇒=x⇒2x=log2x,方程不可能有四个解,故B错误;=x⇒=x⇒x=1,故C错误;|3f(x)-1|=x⇒3f(x)-1=x或3f(x)-1=-x,则3|3x-1|=x+1或3|3x-1|=1-x,解得x=或x=或x=或x=,故D正确.

11.(2022·山东模拟)已知函数f(x)=|x+2|+ex+2+e-2-x+a有唯一零点,则实数a等于(　D　)

A.1 B.-1 

C.2 D.-2

解析:因为f(x)=|x+2|+ex+2+e-2-x+a,定义域为R,f(-4-x)=|-4-x+2|+

e-4-x+2+e-2-(-4-x)+a=|-x-2|+e-2-x+ex+2+a=|x+2|+e-2-x+ex+2+a=f(x),

即f(-4-x)=f(x),因此,函数f(x)的图象关于直线x=-2对称.要使f(x)=|x+2|+ex+2+e-2-x+a有唯一零点,则f(-2)=0,

即f(-2)=|-2+2|+e0+e0+a=a+2=0,

所以a=-2,因此实数a的值为-2.

12.设函数f(x)定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x∈(-1,1)时,f(x)=-x2+1,则函数y=f(x)+lg x的零点个数为(　C　)

A.4 B.5 C.6 D.7

解析:y=f(x)+lg x的零点个数即y=f(x),y=-lg x的图象的交点个数,

因为f(x-1)为奇函数,故f(x-1)关于原点对称,故f(x)关于(-1,0)

对称,又f(x+1)为偶函数,故f(x)关于直线x=1对称,

又当x∈(-1,1)时,f(x)=-x2+1,

画出图象,易得函数y=f(x),y=-lg x的图象有6个交点.

13.设f(x)和g(x)是定义在同一个区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“集团关联函数”,区间[a,b]称为“集团关联区间”.若f(x)=x2-2x+m与g(x)=-x2-x-m在[0,3]上是“集团关联函数”,则m的取值范围是　　　　. 

解析:因为f(x)=x2-2x+m,g(x)=-x2-x-m,

所以y=f(x)-g(x)=(x2-2x+m)-(-x2-x-m)=2x2-x+2m,

由题意可知函数y=f(x)-g(x)在x∈[0,3]上有两个不同的零点,

得2x2-x+2m=0在[0,3]上有两个不同的根,

则y=2x2-x与y=-2m的图象在[0,3]上有两个不同的交点,

作出y=2x2-x,x∈[0,3]的图象如图所示,

当x=时,y=-,

由图象可知,-<-2m≤0,

解得0≤m<.

答案:[0,)

14.(2022·浙江杭州模拟)已知函数f(x)=那么f(f(4))=　　　　,若存在实数a,使得f(a)=f(f(a)),则a的个数是　　　　. 

解析:由f(4)=-2,得f(f(4))=f(-2)=1.

设f(a)=t,由f(a)=f(f(a)),得t=f(t),

即图象与y=x有交点,可得t=1或t=-1,

由图象可知,

当t=1时,即f(a)=1,可得a=1或a=-2,

当t=-1时,即f(a)=-1,可得a=3或a=0或a=-1.

综上,存在实数a,使得f(a)=f(f(a)),且a的个数是5.

答案:1　5

15.已知函数f(x)=恰有两个零点,则实数λ的取值范围为　　　　　　　　. 

解析:当x≤λ时,令x2-2x-3=0,

得x=-1或x=3;

当x>λ时,令ln(x-1)=0,得x=2,

若f(x)的两个零点是-1和3,则

解得λ≥3,

若f(x)的两个零点是-1和2,则

解得-1≤λ<2,

若f(x)的两个零点是2和3,则

此不等式组无解.

综上所述,λ的取值范围为-1≤λ<2或λ≥3.

答案:[-1,2)∪[3,+∞) 

16.(多选题)(2022·辽宁鞍山二模)已知函数f(x)=

若f(x)=a有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,且满足x1<x2<x3<x4,则下列命题正确的是(　ACD　)

A.0<a<1

B.x1+2x2∈[2,)

C.x1+x2+x3+x4∈(10,)

D.2x1+x2∈[2,3)

解析:在同一坐标系中作出函数y=f(x),y=a的图象,如图所示,

由图象知,若f(x)=a有四个不同的实数解,则0<a<1,故A正确;因为|log2x1|=|log2x2|,

即-log2x1=log2x2,所以=x2,

所以x1+2x2=+2x2,1<x2<2,因为y=+2x2在(1,2)上单调递增,所以+2x2∈(3,),故B错误;因为x1+x2=+x2,1<x2<2,y=+x2在(1,2)上单调递增,所以+x2∈(2,),而x3+x4=8,所以x1+x2+x3+x4∈(10,),故C正确;因为2x1+x2=+x2,1<x2<2,y=+x2在(1,)上单调递减,在(,2)上单调递增,则+x2∈[2,3),故D正确.