2024高考数学一轮总复习（导与练）第二章 第9节　函数模型及其应用

第9节　函数模型及其应用

 [选题明细表]

1.(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:

由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　D　)

A.y=a+bx B.y=a+bx2

C.y=a+bex D.y=a+bln x

解析:散点图中点的分布形状与对数函数的图象类似.

2.有一个盛水的容器,由悬在它的上空的一条水管均匀地注水,最后把容器注满,在注水过程中时刻t,水面高度y的关系如图所示,图中PQ为一线段,与之对应的容器的形状是(　B　)

解析:由函数图象可判断出该容器必定有不同规则形状,并且一开始先慢后快,所以下边粗,上边细,再由PQ为线段可知是均匀变化的,容器上端必是直的一段,故排除A,C,D.

3.视力检测结果有两种记录方式,分别是小数记录与五分记录,其部分数据如下表:

现有如下函数模型:①y=5+lg x,②y=5+lg ,x表示小数记录数据,y表示五分记录数据,请选择最合适的模型解决如下问题:小明同学检测视力时,医生告诉他的视力为4.7,则小明同学的小数记录数据约为(附:100.3≈2,5-0.22≈0.7,10-0.1≈0.8)(　B　)

A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8

解析:由表格中的数据可知,函数单调递增,

故合适的函数模型为y=5+lg x,

令y=5+lg x=4.7,解得x=10-0.3≈0.5.

4.(2020·全国Ⅲ卷)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95 K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)(　C　)

A.60 B.63 C.66 D.69

解析:由题意可得,当I(t*)=0.95 K时,=0.95 K,

所以=,所以ln 19=0.23(t*-53),所以t*-53≈13,

所以t*≈66.

5.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12),不考虑树的粗细.现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图象大致是(　B　)

解析:设AD长为x,则CD长为16-x.

又因为要将点P围在矩形ABCD内,

所以a≤x≤12.

则矩形ABCD的面积为x(16-x).

当0<a≤8时,当且仅当x=8时,u=64.

当8<a<12时,u=a(16-a),

所以u=

分段画出函数图象,可得其形状与B选项中图象接近.

6.(2022·北京一模)调查显示,垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益.为激励居民垃圾分类,某市准备给每个家庭发放一张积分卡,每分类投放1 kg积1分,若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg,则额外奖励x分(x为正整数).月底积分会按照

0.1元/分进行自动兑换.

(1)当x=10时,若某家庭某月产生120 kg生活垃圾,该家庭该月积分卡能兑换　　　　元; 

(2)为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%,则x的最大值为　　　　. 

解析:(1)若某家庭某月产生120 kg生活垃圾,则该家庭月底的积分为120+10=130(分),

故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1=13(元).

(2)设每个家庭每月产生的垃圾为t kg,每个家庭月底积分卡能兑换的金额为f(t)元.

当0≤t<100时,f(t)=0.1t<0.34t·0.4=0.136t恒成立;

当t≥100时,f(t)=0.1t+0.1x≤0.34t·0.4,

可得x≤(0.36t)min=36.

故x的最大值为36.

答案:(1)13　(2)36

7.一种药在病人血液中的量不少于1 500 mg才有效,而低于500 mg病人就有危险.现给某病人注射了这种药2 500 mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减,为了充分发挥药物的利用价值,那么从现在起经过　　　 　小时向病人的血液补充这种药,才能保持疗效.

(附:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,结果精确到0.1 h) 

解析:设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药,

则500≤2 500×(1-20%)x≤1 500,

整理可得0.2≤0.8x≤0.6,

所以log0.80.6≤x≤log0.80.2.

因为log0.80.6===≈2.3,log0.80.2==≈7.2,

所以2.3≤x≤7.2,即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这

种药.

答案:2.3

8.某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品,每袋桃酥的成本为6元,预计当一袋桃酥的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为

万袋,并且全年该桃酥食品共需支付3x万元的管理费,一年的利

润=一年的销售量×售价-(一年销售桃酥的成本+一年的管理费)(单位:万元).

(1)求该超市一年的利润L(单位:万元)与每袋桃酥食品的售价x的函数解析式;

(2)当每袋桃酥的售价为多少元时,该超市一年的利润L最大,并求出L的最大值.

解:(1)由题意知,该超市一年的利润L(单位:万元)与售价x的函数解析式为L=·x-(6×+3x)=-3x,x∈[9,11].

(2)L=-3x=48--3(x-5)-15=33--3(x-5),因为9≤x≤11,

所以+3(x-5)≥2=24,当且仅当=3(x-5),即x=9时,取等号,此时L最大,为9万元.当每袋桃酥的售价为9元时,该超市一年的利润最大,且最大利润为9万元.

9.(2022·山东肥城高考模拟)已知某种垃圾的分解率v与时间t

(单位:月)满足函数解析式v=a·bt(其中a,b为非零常数).若经过6个月,这种垃圾的分解率为5%,经过12个月,这种垃圾的分解率为10%,那么这种垃圾完全分解(分解率为100%)至少需要经过(参考数据:

lg 2≈0.3)(　B　)

A.40个月   B.32个月 

C.28个月   D.20个月

解析:依题意有

解得b=,a=0.025,故v(t)=0.025×()t.

令v(t)=1,得()t=40,故t=lo40==≈=32.

10.(多选题)(2022·福建厦门一模)某医药研究机构开发了一种新药,据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物,注射后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定,当每毫升血液中含药量不少于

0.125微克时,治疗该病有效,则(　AD　)

A.a=3

B.注射一次治疗该病的有效时长为6小时

C.注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

D.注射一次治疗该病的有效时长为5小时

解析:由函数图象可知y=当t=1时,y=4,即()1-a=4,解得a=3,所以y=故A正确;设药物刚好起效的时间为t1,则4t1=0.125,解得t1=,设药物刚好失效的时间为t2,则()=0.125,解得t2=6,故药物有效时长为t2-t1=6-=5(小时),药物的有效时长不到6个小时,故B错误,D正确;注射该药物小时后每毫升血液含药量为4×=0.5(微克),故C错误.

11.经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤120)的数据如表所示.

为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.04v+3.6,

Q(v)=0.5v+a,Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v,选出最符合实际的函数模型,解决下列问题:某高速公路共有三个车道,分别是外侧车道、中间车道、内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120]

(单位:km/h).为使百千米耗油量W(单位:L)最小,该型号汽车行驶的车道与速度为(　A　)

A.在外侧车道以80 km/h行驶

B.在中间车道以90 km/h行驶

C.在中间车道以95 km/h行驶

D.在内侧车道以115 km/h行驶

解析:由题意,符合的函数模型需要满足在40≤v≤120,v都可取,且由表可知,Q随v的增大而增大,则该函数模型应为增函数,因此Q(v)=0.5v+a不符合;

若选择Q(v)=0.04v+3.6,则Q(90)=0.04×90+3.6=7.2,

Q(100)=0.04×100+3.6=7.6,Q(120)=0.04×120+3.6=8.4,与实际数据相差较大,所以Q(v)=0.04v+3.6不符合;

若选择Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v,则Q(40)=5.2,Q(60)=6,

Q(90)=8.325,Q(100)=10,Q(120)=15.6,

所以Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v最符合实际.

因为W=·Q=0.002 5·v2-0.4v+25=0.002 5(v-80)2+9,当v=80时,

W取得最小值为9.

12.(2022·山东滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度,他认为,成年男子身高160 cm及其以下不算高个子,其高个子系数k应为0;身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子,其高个子系数k应为1,请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(单位:cm)的函数解析式    

         　. 

解析:由题意知函数k(x)在[160,190]上单调递增,

设k(x)=ax+b(a>0),x∈[160,190],

由解得

所以k(x)=x-,

所以k=

答案:k=(只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增,且过点(160,0)和(190,1)即可,答案不唯一)

13.某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=x2+2x;当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln x+-17.已知每件产品售价为6元,假若该同学生产的产品当年全部售完.

(1)写出年利润P(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本);

(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(e3≈20).

解:(1)因为每件商品售价为6元,则x万件商品销售收入为6x万元.依题意得当0<x<7时,P(x)=6x-(x2+2x)-2=-x2+4x-2,

当x≥7时,P(x)=6x-(6x+ln x+-17)-2=15-ln x-.

所以P(x)=

(2)当0<x<7时,

P(x)=-x2+4x-2=-(x-6)2+10,

此时,当x=6时,P(x)取得最大值P(6)=10(万元),

当x≥7时,P(x)=15-ln x-.

结合P′(x)=-+=,可知当7≤x<e3时,P′(x)>0,函数P(x)单调递增;当x>e3时,P′(x)<0,函数P(x)单调递减.

所以当x=e3时,P(x)取得最大值P(e3)=15-ln e3-1=11(万元).

因为10<11,所以x=e3≈20时,P(x)取得最大值11万元,所以当年产量约为20万件时,该同学的这一产品所获年利润最大,最大年利润为

11万元.

14.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从

4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表.

(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogb t,并说明理由;

(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.

解:(1)由所提供的数据可知,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数,若用函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogb t中的任意一个来反映时都应有a≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,可得

解得a=,b=-,c=,

所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数解析式为Q=t2-t+.

(2)当t=-=150(天)时,芦荟种植成本最低为Q=×1502-×150+

=100(元/10 kg).