2024高考数学一轮总复习（导与练）第四章 第5节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用

第5节　函数y=Asin(ωx+)的图象与性质及三角函数模型的应用

[选题明细表]

1.函数y=sin(2x-)在区间[-,π]上的简图是(　A　)

解析:令x=0得y=sin(-)=-,排除B,D项,由f(-)=0,f()=0,排除C项.

2.(2022·浙江卷)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+)图象上所有的点(　D　)

A.向左平移 个单位长度

B.向右平移 个单位长度

C.向左平移 个单位长度

D.向右平移 个单位长度

解析:因为y=2sin(3x+)=2sin[3(x+)],所以要得到函数y=sin 3x的图象,只要把函数y=2sin(3x+)的图象上所有的点向右平移个单位长度即可.

3.函数y=Asin(ωx+)在一个周期内的图象如图,则此函数的解析式为(　A　)

A.y=2sin(2x+) 

B.y=2sin(2x+)

C.y=2sin(-) 

D.y=2sin(2x-)

解析:由已知可得函数y=Asin(ωx+)的图象经过点(-,2)和点(,-2),则A=2,T=π,所以ω=2,则函数的解析式为y=2sin(2x+),

将(-,2)代入得-+=+2kπ,k∈Z,

所以=+2kπ,k∈Z,

当k=0时,=,此时y=2sin(2x+).

4.设ω>0,函数y=sin(ωx+)-1的图象向左平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是(　D　)

A.   B. C.   D.3

解析:因为图象向左平移个单位长度后与原图象重合,所以是一个周期,

所以=T≤,ω≥3,所以最小值是3.

5.(多选题)健康成年人的收缩压和舒张压一般为90～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,

读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=

a+bsin ωt(ω>0),其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),其函数图象如图所示,则下列说法正确的是(　BCD　)

A.ω=80π

B.收缩压为120 mmHg

C.舒张压为70 mmHg

D.每分钟心跳80次

解析:由题图知T=2×(-)=,

所以=,可得ω=160π,故选项A不正确;

所以p(t)=a+bsin 160πt(t≥0),

由题图知p(t)在一个周期内最大值为120,最小值为70,

所以收缩压为120 mmHg,舒张压为70 mmHg,故选项B,C正确;

每分钟心跳数为频率f====80,故选项D正确.

6.将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　　　　　　　. 

解析:将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=3sin[2(x-)+]=3sin(2x-).

由2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,

当k=-1时,对称轴方程为x=-,当k=0时,对称轴方程为x=,故平移后的图象中与y轴最近的对称轴方程是x=-.

答案:x=-

7.已知函数y=Asin(ωx+)+n的最大值为4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图象的一条对称轴,若A>0,ω>0,0<<,则函数解析式为　　　　　　　. 

解析:依题意可得,A==2,n==2,

ω==4,所以y=2sin(4x+)+2,

又直线x=是函数图象的一条对称轴,

所以4×+=kπ+,k∈Z,

得=kπ-,k∈Z.

因为0<<,所以k=1,=.

所以函数解析式为y=2sin(4x+)+2.

答案:y=2sin(4x+)+2

8.已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,||<)的部分图象如图所示,则ω=　　　　,函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　　　　.

解析:由图象知=-(-)=,

则最小正周期T=π,

即=π,

则ω=2,

所以f(x)=2sin(2x+).

又2×(-)+=2kπ,k∈Z,||<,

所以=,

则f(x)=2sin(2x+).

令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

得-+kπ≤x≤kπ+,k∈Z,

即函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).

答案:2　[-+kπ,+kπ](k∈Z)

9.(2023·天津模拟)将函数y=sin 2x的图象向左平移(0≤<)个单位长度后,得到函数y=cos(2x+)的图象,则等于(　　)

A.  B.   C.   D.

解析:y=sin 2x=cos(2x-).

将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度后,

得到函数y=cos[2(x+)-]

=cos(2x+2-)

=cos(2x+),

由题意知2-=+2kπ(k∈Z),

则=+kπ(k∈Z),

又0≤<,所以=.故选C.

10.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(2x+)(0<<π)的图象关于点(,0)中心对称,则(　AD　)

A.f(x)在区间(0,)上单调递减

B.f(x)在区间(-,)上有两个极值点

C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴

D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线

解析:因为函数f(x)的图象关于点(,0)中心对称,

所以sin(2×+)=0,可得+=kπ(k∈Z),

结合0<<π,得=,所以f(x)=sin(2x+).

对于A,由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),

得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),当k=0时,-≤x≤.

因为(0,)⊆(-,),所以函数f(x)在区间(0,)上单调递减,故A正确;

对于B,由2x+=kπ+(k∈Z),得x=-(k∈Z),当k=0时,x=-,当k=1时,x=,当k=2时,x=,所以函数f(x)在区间(-,)上只有一个极值点,故B不正确;

对于C,由选项B的分析知,

函数f(x)图象的对称轴方程为x=-(k∈Z),

而方程-=(k∈Z)无解,故C不正确;

对于D,因为f′(x)=2cos(2x+),若直线y=-x为曲线y=f(x)的切线,则由2cos(2x+)=-1,得2x+=2kπ+或2x+=2kπ+(k∈Z),所以x=kπ(k∈Z)或x=kπ+(k∈Z).当x=kπ(k∈Z)时,f(x)=,则由=-kπ(k∈Z),解得k=0;当x=kπ+(k∈Z)时,f(x)=-,方程-=-kπ-(k∈Z)无解.综上所述,直线y=-x为曲线y=f(x)的切线,故D正确.

11.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点做逆时针匀速圆周运动,旋转一周的时间恰好是12 s,已知时间t=0 s时,点A的坐标是(,),则动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数在下列哪个区间上单调递增(　D　)

A.[0,3] B.[3,6] C.[6,9] D.[9,12]

解析:因为动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,故A=1,12 s旋转一周,故T=12,ω=.

时间t=0时,点A的坐标是(,),故=,

故动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数解析式为y=sin(t+)

(t≥0).

由-+2kπ≤t+≤+2kπ,k∈N*,

得t∈[-4+12k,2+12k],k∈N*,

即函数y=sin(t+)的单调递增区间为[-4+12k,2+12k],k∈N*,

所以当k=1时,单调递增区间为[8,14].

12.如图,某大风车的半径为2 m,每12 s旋转一周,它的最低点O离地面1 m,点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40 s后到达点P,则点P到地面的距离是　　 m.

解析:以圆心O1为原点,以水平方向为x轴方向,以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系,则根据大风车的半径为2 m,圆上最低点O离地面1 m,12 s转动一周,设∠OO1P=θ,运动t s后与地面的距离为f(t).

又周期T=12,所以θ=t,

则f(t)=3+2sin(θ-)=3-2cos t(t≥0),

当t=40 s时,f(t)=3-2cos(×40)=4.

答案:4

13.(2022·全国乙卷)记函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　. 

解析:因为T=,f()=,所以cos(2π+)=,即cos =.又0<<π,所以=.因为x=为f(x)的零点,所以ω+=+kπ(k∈Z),解得ω=9k+3(k∈Z).又ω>0,所以当 k=0时,ω取最小值,且最小值为3.

答案:3

14.已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式及f(x)的单调递增区间;

(2)把函数y=f(x)图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求关于x的方程g(x)=m(0<m<2)在x∈[-,]上所有的实数根之和.

解:(1)由题中图象知,A=2,最小正周期T=-(-)=π,所以ω==2.

因为点(-,0)在函数图象上,

所以2sin(-2×+)=0,

即sin(-)=0.

又因为-<<,

所以-<-<,

所以-=0,从而=.

故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).

令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

故f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.

(2)依题意得g(x)=2sin(x+).

因为g(x)=2sin(x+)的最小正周期T=2π,

所以g(x)=2sin(x+)在x∈[-,]内有2个周期.

令x+=kπ+(k∈Z),

得x=kπ+(k∈Z),

即函数g(x)=2sin(x+)的图象的对称轴为直线x=kπ+(k∈Z).

由x∈[-,],得x+∈[0,4π].

又0<m<2,

所以g(x)=m在x∈[-,]内有4个实数根.

将实数根从小到大依次设为xi(i=1,2,3,4),则=,=.

所以关于x的方程g(x)=m(0<m<2)在x∈[-,]上所有的实数根之和为x1+x2+x3+x4=.

15.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cos(ωx+)的部分图象如图所示,则满足条件(f(x)-f(-))·(f(x)-f())>0的最小正整数x为　　　　. 

解析:由题图可知,T=-=(T为f(x)的最小正周期),得T=π,

所以ω=2,

所以f(x)=2cos(2x+).

点(,0)可看作“五点法”中的第二个点,

则2×+=,得=-,

所以f(x)=2cos(2x-),

所以f(-)=2cos[2×(-)-]

=2cos(-)

=2cos

=1,

f()=2cos(2×-)=2cos =0,

所以(f(x)-f(-))(f(x)-f())>0,

即(f(x)-1)f(x)>0,

可得f(x)>1或f(x)<0,

所以cos(2x-)>或cos(2x-)<0.

当x=1时,2x-=2-∈(,),cos(2x-)∈(0,),不符合题意;

当x=2时,2x-=4-∈(π,),cos(2x-)<0,符合题意.所以满足题意的最小正整数x为2.

答案:2