2024高考数学一轮总复习（导与练）第七章第1节　立体图形及其直观图、 简单几何体的表面积与体积

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第1节 立体图形及其直观图、
简单几何体的表面积与体积
[选题明细表]
1.给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是
圆锥;
④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( A )
A.0B.1C.2D.3
解析:①不一定,只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线;
②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图所示;
③不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,是由两个同底圆锥组成的几何体;
④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.
2.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是( C )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.一般的平行四边形
解析:在原图形OABC中,应有OA?CB,所以四边形OABC为平行四边形,OD=2O′D′=2×22=42(cm),CD=C′D′=2 cm,所以OC=
OD2+CD2=(42)2+22=6(cm),所以OA=OC,故四边形OABC是
菱形.
3.《算术书》竹简于二十世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的数学著作,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V=136l2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V≈25942l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取( C )
A.227 B.258 C.15750 D.355113
解析:V=13πr2h=13π·(l2π)2h=112πl2h.由112π≈25942,得π≈15750.
4.如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图,已知扇形所在圆的半径R=5,扇形弧长l=4π,则该圆锥的表面积为( B )
A.2π
B.(4+25)π
C.(3+5)π
D.8π+5
解析:圆锥的侧面展开图中,扇形所在圆的半径R=5,扇形弧长l=4π,
所以扇形的面积为S扇形=12×5×4π=25π.
设圆锥的底面圆半径为r,则2πr=4π,解得r=2,
所以底面圆的面积为S底面圆=π×22=4π.
所以该圆锥的表面积为S=25π+4π=(4+25)π.
5.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积是球的表面积的( A )
A.316 B.916 C.38 D.58
解析:如图所示的是过球心的截面图,r=R2-14R2=32R,S圆S球=π(32R) 24πR2=316.
6.如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,A1A=4,AB=1.一只蚂蚁从A点出发,沿每个侧面爬到A1,路线为A→M→N→A1,则蚂蚁爬行的最短路程是
.
解析:将三棱柱的侧面展开得如图,
所以蚂蚁爬行的最短路程是线段AA1=32+42=5.
答案:5
7.某公园设置了一些石凳供大家休息,每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的,如图所示.如果一张石凳的体积是0.18 m3,那么原正方体石料的体积是 m3.
解析:设正方体的棱长为a,则正方体的体积为a3,每一个截去的四面体的体积为13×12·a2·a2·a2=a348,由题意可知a3-8·a348=0.18,得a3=0.216.
答案:0.216
8.已知圆锥同时满足条件:①侧面展开图为半圆;②底面半径为正整数,请写出一个这样的圆锥的体积V= .
解析:设底面半径r=1,母线长为l,由展开图为半圆,可知2π=l·π,所以l=2,所以圆锥的高h=l2-r2=3,则体积V=13πr2·h=3π3.
答案:3π3(答案不唯一)
9.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,
BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.
解:法一 如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.
所以V几何体=V三棱柱+V四棱锥.
由题意知三棱柱ABCNDM的体积为V1=12×8×6×3=72.
四棱锥DMNEF的体积为V2=13·S梯形MNEF·DN=13×12×(1+2)×6×8=24,则几何体的体积为V=V1+V2=72+24=96.
法二 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA′=BB′=
CC′=8,所以V几何体=12V三棱柱=12·S△ABC·AA′=12×24×8=96.
10.(多选题)如图所示的是水平放置的三角形直观图,D′是
△A′B′C′中B′C′边上的一点,且D′C′y′轴,那么原△ABC的AB,AD,AC三条线段中( AD )
A.最长的是AB B.最长的是AC
C.最短的是AC D.最短的是AD
解析:由题意得到原△ABC的平面图如图所示.
其中,AD⊥BC,BD>DC,所以AB>AC>AD,
所以AB,AD,AC三条线段中最长的是AB,最短的是AD.
11.(多选题)(2022·广东广州三模)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=2 cm,且CD=2AB,则下列说法正确的是( BCD )
A.该圆台的高为1 cm
B.该圆台轴截面面积为33 cm2
C.该圆台的体积为73π3 cm3
D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点,所经过的最短路程为5 cm
解析:如图(1)所示,作BE⊥CD交CD于点E,易得CE=CD-AB2=1,
则BE=22-12=3,则圆台的高为3 cm,A错误;
圆台的轴截面面积为12×(2+4)×3=33 cm2,B正确;圆台的体积为13×3×(π+4π+π·4π)=73π3 cm3,C正确;
将圆台一半侧面展开,如图(2)阴影部分所示,设P为AD的中点,
由O2B∶O1C=1∶2可得OB∶OC=1∶2,则OC=4,∠COD=4π24=π2,
又OP=OA+AD2=3,则CP=42+32=5,
即点C到AD的中点所经过的最短路程为5 cm,D正确.
12.(2022·河南郑州二模)在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,P是线段BC1上的一动点,则A1P+PC的最小值为 .
解析:如图,连接A1B,A1C1,将△BCC1沿BC1翻折到与△A1BC1在同一个平面,如图所示.
已知△A1BC1为等边三角形,△BCC1为等腰三角形,两个三角形有公共边BC1,则当P是BC1的中点时,A1,P,C三点共线,此时A1P+PC取最小值6+2.
答案:6+2
13.如图所示,O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图,其中
O′A′=3,O′C′=1,B′C′=1.
(1)画出四边形OABC的平面图形,标出边长,并求平面四边形OABC的面积;
(2)若该四边形OABC以OA所在直线为旋转轴,旋转一周,求旋转形成的几何体的体积及表面积.
解:(1)平面四边形OABC的平面图形如图所示.
由图可知,平面四边形OABC为直角梯形,其面积为(1+3)×22=4.
(2)旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥,
由(1)可知几何体底面圆半径r=2,圆柱高h1=1,
圆锥的高h2=2,圆锥的母线长l=22,
所以体积V=V柱+V锥=πr2h1+13πr2h2=4π+8π3=20π3,
所以表面积S=πr2+2πrh1+πrl=4π+4π+42π=(8+42)π.
14.已知圆锥的侧面展开图为半圆,母线长为23.
(1)求圆锥的底面积;
(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的体积.
解:(1)设OB=R,由题意,AB=23,
因为圆锥的侧面展开图为半圆,则2πR=23π,
所以R=3,故圆锥的底面积为πR2=3π.
(2)设圆柱的高OO1=h,OD=r,
在Rt△AOB中,AO=AB2-OB2=3,
因为△AO1D1∽△AOB,
所以AO1AO=O1D1OB,即3-h3=r3,h=3-3r,
S圆柱侧=2πrh=2πr(3-3r)=-23π(r2-3r)=-23π(r-32)2+33π2,
所以当r=32,h=32时,
圆柱的侧面积最大,此时圆柱的体积V=πr2h=9π8.
15.中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分,计算其体积所用的“幂势既同,则积不容异”是中国古代数学的研究成果,根据此原理,取牟合方盖的一半,其体积等于与其同底等高的正四棱柱中,去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积(如图1所示).现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上,三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等,三个圆柱的公共部分为如图2所示的几何体,该几何体中间截面三角形边长为833,则该几何体的体积为
.
解析:根据题意,题图2立体图形的一半,其体积等于与其同底等高的正三棱柱中,去掉一个与其同底等高正的三棱锥之后的体积,因为该几何体中间截面三角形边长为833,
所以该底面积S=12×833×833sin 60°=1633,
因为圆柱的直径为4,
所以该几何体一半的高为2,
所以对应正三棱柱及三棱锥的高均为2,所以对应正三棱柱的体积V=1633×2=3233,
正三棱锥的体积V1=13×1633×2=3239,
所以该几何体的体积为2(V-V1)=12839.
答案:12839知识点、方法
题号
空间几何体的结构特征、直观图
1,2,10
空间几何体的表面积与体积
3,4,5,7,8,9
折叠与展开问题
6,12
综合问题
11,13,14,15