2024高考数学一轮总复习（导与练）第七章第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系

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[选题明细表]
1.下列结论正确的是( A )
A.梯形可以确定一个平面
B.若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行
C.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α
D.如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合
解析:因为梯形的上、下两底平行,所以梯形是平面图形,故A正确;若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线可能相交、平行或异面,故B错误;当直线和平面相交时,该直线上也有无数个点不在平面内,故C错误;如果两个平面有三个公共点且它们共线,那么这两个平面可能相交,故D错误.
2.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,B1C1的中点,则与直线CF互为异面直线的是( D )
A.CC1 B.B1C1 C.DE D.AE
解析:显然CF与CC1,B1C1都相交,连接EF(图略),易证明CF∥DE.CF与AE为异面直线.
3.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”,反之不成立.所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
4.(2021·全国乙卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( D )
A.π2 B.π3
C.π4 D.π6
解析:如图,连接BC1,PC1,
因为AD1∥BC1,
所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角,
因为BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥PC1,
又PC1⊥B1D1,BB1∩B1D1=B1,
所以PC1⊥平面PBB1,所以PC1⊥PB,
设正方体棱长为2,则BC1=22,PC1=12D1B1=2,
sin∠PBC1=PC1BC1=12,所以∠PBC1=π6.
5.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为棱AB,A1D1,C1D1的中点,正方体被经过E,F,G三点的平面所截,则截面图形的面积为( B )
A.32 B.334 C.1 D.2
解析:取BC中点M,A1A中点H,CC1中点N,连接EH,HF,GN,MN,ME,
则EH∥NG,HF∥MN,GF∥EM,
且EH=HF=FG=GN=MN=ME=14+14=22,所以六边形EHFGNM是正六边形,所以过E,F,G三点的平面截正方体所得截面为正六边形EHFGNM,截面面积为6×(12×22×22×sin 60°)=334.
6.如图,在四棱锥PABCD中,O为CD上的动点,VP-OAB恒为定值,且
△PDC是正三角形,则直线PD与直线AB所成角的大小是 .
解析:因为VP-OAB为定值,
所以S△ABO为定值,即O到AB的距离为定值.
因为O为CD上的动点,所以CD∥AB,
所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成的角.
因为△PDC为正三角形,所以∠PDC=60°.
所以直线PD与直线AB所成的角为60°.
答案:60°
7.给出以下四个命题:
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
其中正确命题的个数是 .
解析:①正确,可以用反证法证明:若其中任意三点共线,则四点必
共面;
②不正确,从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若A,B,C共线,则结论不正确;
③不正确,共面不具有传递性;
④不正确,因为空间四边形的四条边就不在一个平面上.
答案:1
8.有些在平面几何中成立的结论到了立体几何中不再成立,比如:“垂直于同一条直线的两条直线平行”;有些在平面几何中成立的结论到了立体几何中依然成立,比如:“平行于同一条直线的两条直线平行”.
请你写出满足下列条件的命题各一个.
在平面几何中成立而在立体几何中不成立的命题: ;
既在平面几何中成立又在立体几何中成立的命题: .
答案:两条平行直线中的一条直线与第三条直线相交,则另一条直线也与第三条直线相交(答案不唯一)
两条平行直线中的一条直线与第三条直线垂直,则另一条直线也与第三条直线垂直(答案不唯一)
9.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.
求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B.
因为E,F分别是AB,AA1的中点,
所以EF∥A1B.
又因为A1B∥CD1,所以EF∥CD1,
所以E,C,D1,F四点共面.
(2)因为EF∥CD1,EF所以CE与D1F必相交,设交点为P,
则由P∈直线CE,CE⊂平面ABCD,
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
所以P∈直线DA,所以CE,D1F,DA三线共点.
10.(多选题)设点B为圆O上任意一点,AO垂直于圆O所在的平面,且AO=OB,对于圆O所在平面内任意两条相互垂直的直线a,b,有下列结论,正确的有( BC )
A.当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角
B.当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角
C.直线AB与a所成角的最小值为45°
D.直线AB与a所成角的最小值为60°
解析:如图,AO=OB,直线a⊥b,
点D,M分别为BC,AC的中点,则∠ABC为直线AB与a所成的角,∠MDO为直线AB与b所成的角.设AO=OB=1,若∠ABC=60°,则OM=OD=MD,所以∠MDO=60°,故B正确,A不正确;因为AB与圆O所在平面所成的角为45°,即直线AB与平面内所有直线所成的角中的最小角为45°,所以直线a与AB所成角的最小值为45°,故C正确,D不正确.
11.四面体ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,则EF的长为 .
解析:如图,取BC的中点O,连接OE,OF,
因为OE∥AC,OF∥BD,
所以OE与OF所成的锐角即为AC与BD所成的角,而AC,BD所成的角为60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.
当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=12.
当∠EOF=120°时,取EF的中点M,
则OM⊥EF,EF=2EM=2×34=32.
答案:12或32
12.在直三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC是下底面.M是BB1上的点,AB=
3,BC=4,AC=5,CC1=7,过三点A,M,C1作截面,当截面周长最小时,截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为 .
解析:由AB=3,BC=4,AC=5得AB2+BC2=AC2,
所以AB⊥BC,
又AB⊥BB1,BC∩BB1=B,
所以AB⊥平面BB1C1C,
将侧面BCC1B1展开到平面ABB1A1内,如图,
连接AC′1,AC′1与BB1的交点即为M,此时截面周长最小,由相似可得BM=3,设四棱锥ABCC1M 的体积为V1,则V1=13×12×(3+7)×4×3=20,三棱柱ABCA1B1C1的体积V=12×4×3×7=42,所以当截面周长最小时,截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为V-V1V1=1110.
答案:1110
13.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BC12AD,BE12FA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?
(1)证明:由已知FG=GA,FH=HD,可得GH12AD.又BC12AD,所以GHBC,所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)解:因为BE12FA,G为FA的中点,所以BEFG,
所以四边形BEFG为平行四边形,
所以EF∥BG.
由(1)知BGCH,
所以EF∥CH,
所以EF与CH共面.
又D∈FH,
所以C,D,F,E四点共面.
14.已知E,F,G,H依次为空间四边形ABCD各边的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)若AC与BD相互垂直,BD=2,AC=4,求EG2+HF2;
(3)若EG=7,BD=2,AC=4,求直线BD与AC的夹角.
(1)证明:如图所示,因为E,F,G,H依次为空间四边形ABCD各边的
中点,
所以EF12AC,GH12AC,
所以EFGH,
所以四边形EFGH为平行四边形.
所以E,F,G,H四点共面.
(2)解:由(1)及AC=4得EF=2;同理EH=1.
又AC⊥BD,
所以EF⊥EH,
所以平行四边形EFGH为矩形.
所以EG2+HF2=2×(22+12)=10.
(3)解:由(1)可知,∠EFG或其补角为直线BD与AC的夹角.
且FG=1,EF=2,EG=7,
所以cs∠EFG=22+12-(7)22×2×1=-12,
所以直线BD与AC的夹角为60°.
15.如图,ABCDA′B′C′D′为正方体,任作平面α与对角线AC′垂直,使得α与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为l,则( B )
A.S为定值,l不为定值
B.S不为定值,l为定值
C.S与l均为定值
D.S与l均不为定值
解析:将正方体切去两个正三棱锥AA′BD与C′D′B′C后,得到一个以平行平面A′BD与D′B′C为上、下底面的几何体V(图略),V的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行,将V的侧面沿棱A′B′剪开,展开在一个平面上,得到一个平行四边形A′B′B1A1,如图所示.
而多边形W的周界展开后便成为一条与A′A1平行的线段(如图中
E′E1),显然,E′E1=A′A1,所以l为定值,当E′位于A′B′中点时,多边形W为正六边形,而当E′移到A′时,W为正三角形,周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为6×34×(l6)2=324l2,34×l32=336l2,所以S不是定值.知识点、方法
题号
平面的基本性质及应用
1,7,9
空间两条直线的位置关系
2,3,4,6,8
截面问题
5,12,15
综合问题
10,11,13,14