2024高考数学一轮总复习（导与练）第八章第6节　双曲线

第6节　双曲线

[选题明细表]

1.(2022·福建三明模拟)已知双曲线C1:x2+=1(m≠0)与C2:-=1共焦点,则C1的渐近线方程为(　D　)

A.x±y=0      B.x±y=0

C.x±y=0   D.x±y=0

解析:由C2:-=1的方程可知a2=b2=2,则c2=a2+b2=4,且焦点在x轴上,

所以1-m=4,解得m=-3,因此双曲线C1的方程为x2-=1,所以渐近线的方程为x±y=0.

2.(2022·河北廊坊高三检测)青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品,也是中国瓷器的主流品种之一.已知某青花瓷花瓶的外形上下对称,可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面,如图所示.若该花瓶的瓶口直径是8,瓶身最小的直径是4,瓶高是6,则该双曲线的标准方程是(　B　)

A.-=1   B.-=1

C.-=1   D.-y2=1

解析:设该双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),

则由双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,点(4,3)在该双曲线上可知解得a=2,b=,故该双曲线的标准方程是-=1.

3.双曲线+y2=1的焦距是虚轴长的2倍,则m等于(　A　)

A.-    B.-3    C.-5    D.-

解析:将方程+y2=1化为y2-=1,则a2=1,b2=-m,因此c2=1-m,由焦距是虚轴长的2倍知c=2b,即c2=4b2,

所以1-m=-4m,即m=-.

4.(2023·四川成都模拟)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的左、右焦点,点P在双曲线C的右支上,当|PF1|=6时,△PF1F2的面积为(　B　)

A.4    B.3    C.    D.6

解析:由双曲线方程知,a=1,b=,c=2,

又点P在双曲线C的右支上,|PF1|=6,

所以|PF1|-|PF2|=2a,即6-|PF2|=2,

得|PF2|=4,又|F1F2|=2c=4,

所以△PF1F2面积为×6×=3.

5.(多选题)已知P是双曲线C:-=1右支上一点,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P又在以F2为圆心,为半径的圆上,则下列结论正确的是(　AD　)

A.△PF1F2的面积为

B.双曲线C的渐近线方程为y=±x

C.点P到双曲线C左焦点的距离是

D.双曲线C的右焦点到渐近线的距离为3

解析:由方程-=1,得a=4,b=3,则c=5.

由题意知|PF2|=,|PF1|=2a+|PF2|=,

|F1F2|=10,则|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,

所以PF2⊥F1F2.

因此△PF1F2的面积为S=×10×=,故A正确,C错误;C的渐近线方程为y=±x,故B错误;双曲线的右焦点为F2(5,0),根据双曲线的对称性取渐近线方程y=x,即3x-4y=0,则双曲线C的右焦点到渐近线的距离为=3,故D正确.

6.如图所示,F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线与C的左、右两支分别交于A,B两点.若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=

3∶4∶5,则双曲线的离心率为(　C　)

A.2    B.    C.    D.

解析:因为|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5,

设|AB|=3,|BF2|=4,|AF2|=5.

因为|AB|2+|BF2|2=|AF2|2,

所以∠ABF2=90°.

由双曲线的定义得|BF1|-|BF2|=2a,

|AF2|-|AF1|=2a,

所以|AF1|+3-4=5-|AF1|,

所以|AF1|=3,

所以|BF1|-|BF2|=3+3-4=2a,即a=1.

在Rt△BF1F2中,

|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52,

又|F1F2|2=4c2,

所以4c2=52,

所以c=,

所以双曲线的离心率e==.

7.在平面直角坐标系中,已知圆M:(x+2)2+y2=12,点N(2,0),Q是圆M上任意一点,线段NQ的垂直平分线与直线MQ相交于点P,设点P的轨迹为曲线E,则曲线E的方程为　　　　　　. 

解析:因为P在线段NQ的垂直平分线上,所以|PQ|=|PN|,

所以||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=r=2<|MN|=4,由双曲线的定义知点P的轨迹是以M,N为焦点,2为实轴长的双曲线,则c=2,a=,

得b=1,所以曲线E的方程为-y2=1.

答案:-y2=1

8.(2022·山西朔州二模)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,且其虚轴长大于1,则双曲线C的一个标准方程可以为　  　.

解析:依题意取b=2,由题可得

解得a=1,b=2,c=,

故双曲线的标准方程为x2-=1(答案不唯一).

答案:x2-=1(答案不唯一)

9.(1)已知平面上两定点A(-,0),B(,0),平面上满足kPA·kPB=动点P的轨迹为E,求E的方程;

(2)设点M是圆O:x2+y2=1上的动点,P是(1)中轨迹E在y轴右侧的

动点,证明:若C(2,0)且OM⊥OP时,|PM|-|PC|为定值.

(1)解:设P(x,y),则由kPA·kPB=可知·=,

整理可得-y2=1(x≠±),即E的方程为-y2=1(x≠±).

(2)证明:根据题意,设P(a,b)(a>),

则有-b2=1,则|OP|2=a2+b2.

又OM⊥OP,则|PM|===a.

又C(2,0),且|PC|===(a-),

则|PM|-|PC|=a-(a-)=×=.故|PM|-|PC|为定值.

10.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2分别是C的左、右两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是(　A　)

A.(-,)     B.(-,)

C.(-,)   D.(-,)

解析:由题意得F1(-,0),F2(,0),

因为M(x0,y0),

所以=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),-=1.

因为·<0,

所以·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)

=(--x0)(-x0)+

=+-3

=2+2+-3=3-1<0,

解得-<y0<.

11.(2022·湖南衡阳三模)已知双曲线C:-x2=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P在x轴上,线段PF1交C于点Q,△PQF2的内切圆与直线QF2相切于点M,则线段MQ的长为(　D　)

A.1    B.2    C.    D.

解析:如图,设|QM|=x,|F2M|=y,则|QN|=x,|F2H|=y,因为|PF1|=|PF2|,

所以|NF1|=|HF2|,故x+|QF1|=y,

即|QF1|=y-x.

由双曲线的定义可知|QF2|-|QF1|=2a=2,即x+y-y+x=2,解得x=.

12.(多选题)(2022·浙江嘉兴高三月考)已知双曲线-=1(m>0),

则下列说法正确的是(　BCD　)

A.离心率的最小值为4

B.当m=2时,离心率最小

C.离心率最小时,双曲线的标准方程为-=1

D.离心率最小时,双曲线的渐近线方程为x±y=0

解析:由双曲线的方程可得a2=m,b2=m2-m+4,

所以c2=a2+b2=m+m2-m+4=m2+4,

所以双曲线的离心率e===≥=2,当且仅当m=,即m=2时,取等号,所以A不正确,B正确;离心率最小时m=2,

这时双曲线的标准方程为-=1,所以C正确;可得渐近线的方程为±=0,即x±y=0,所以D正确.

13.双曲线的光学性质为:从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图,F1,F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若从右焦点F2发出的光线在C上的点A,B处反射后射出(A,B,F2共线),且∠CAB=

∠ABD=120°,则C的离心率为　　　　　　. 

解析:因为∠CAB=∠ABD=120°,

所以∠F1AB=∠F1BA=60°,

即△F1AB为等边三角形.

由双曲线的对称性可知F1F2⊥AB,

因此|AF2|=,|F1F2|=2c,∠AF1F2=30°.

因为tan 30°=,

所以=,

整理得3e2-2e-3=0,

解得e=或e=-(舍去).

答案:

14.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若C上存在点P,使得=2,则C的离心率的取值范围为　　　　. 

解析:在△PF1F2中,由正弦定理知=,

因为=2,

即|PF2|=2|PF1|.①

又因为P在双曲线上,所以|PF2|-|PF1|=2a.②

两式联立可得|PF1|=2a,由双曲线的几何性质可得|PF1|>c-a,

即2a>c-a,即c<3a,

所以e=<3,

又e>1,所以C的离心率取值范围为(1,3). 

答案:(1,3)

15.过点M(-m,0)(m≠0)的直线l与直线3x+y-3=0垂直,直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,求双曲线C的渐近线方程和离心率.

解:因为过点M(-m,0)(m≠0)的直线l与直线3x+y-3=0垂直,

所以直线l的方程为x-3y+m=0.①

双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x.②

联立方程①②,可得A(,),B(-,),

所以AB的中点坐标为N(,).

因为点P(m,0)满足|PA|=|PB|,

所以点P(m,0)在线段AB的中垂线上,

即PN⊥AB,

所以=-3,

所以a=2b,则=,e===,

所以渐近线方程为y=±x,离心率为.