2024高考数学一轮总复习（导与练）第八章第8节　直线与圆锥曲线中的定点与定值问题

第8节　直线与圆锥曲线中的定点与定值问题

 [选题明细表]

1.已知点M在抛物线C1:x2=12y的准线l1上,动点A在C1上,C1在点A处的切线l2交y轴于点B,设=+,求证:点N在定直线上,并求该定直线的方程.

解:抛物线x2=12y的准线l1的方程为y=-3,依题意设M(m,-3).

抛物线C1的方程可化为y=,所以y′=,设A(x1,y1),则以A为切点的切线l2的斜率k=,

所以切线l2的方程为y=x1(x-x1)+y1.

令x=0,得y=-+y1=-×12y1+y1=-y1,即点B坐标为(0,-y1),

所以=(x1-m,y1+3),=(-m,-y1+3),

所以=+=(x1-2m,6),

所以=+=(x1-m,3).

设点N坐标为(x,y),则y=3,

所以点N在定直线y=3上.

2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线x=1被椭圆截得的弦长为.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设直线y=kx+m交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点M在直线x=1上,求证:线段AB的中垂线恒过定点.

(1)解:由直线x=1被椭圆截得的弦长为,

得椭圆过点(1,),即+=1,

由e===,

得a2=4b2,

所以a2=4,b2=1,

即椭圆的标准方程为+y2=1.

(2)证明:由

消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.

由Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=-16m2+64k2+16>0,得m2<1+4k2.x1+x2=-.

设AB的中点M为(x0,y0),得x0=-=1,即1+4k2=-4km,

所以y0=kx0+m==-,

所以AB的中垂线方程为y+=-(x-1),

即y=-(x-),

故AB的中垂线恒过点(,0).

3.已知椭圆C1:+=1(a>),C1的左、右焦点F1,F2是双曲线C2的左、右顶点,C1的离心率为,C2的离心率为,点E在C2上,过点E和F1,F2分别作直线交椭圆C1于点F,G和点M,N,如图所示.

(1)求C1,C2的方程;

(2)求证:直线EF1和EF2的斜率之积为定值;

(3)求证:+为定值.

(1)解:由题意知,椭圆C1的离心率=,解得a2=18,所以c2=12,

所以F1(-2,0),F2(2,0).

因为椭圆C1的左、右焦点F1,F2是双曲线C2的左、右顶点,所以设双曲线C2:-=1(n>0),

由C2的离心率=,解得n2=12,

所以椭圆C1的标准方程为+=1,双曲线C2的标准方程为-=1.

(2)证明:因为点E在C2上,

所以设E(x0,y0),则=-12,

所以·==1,

所以直线EF1和EF2的斜率之积为定值1.

(3)证明:设直线EF1和EF2的斜率分别为k1,k2,则k1k2=1.

设F(x1,y1),G(x2,y2),

EF1:y=k1(x+2)与C1方程联立,消去y,得

(3+1)x2+12x+18(2-1)=0,

x1+x2=-,x1x2=,

则|FG|==,

同理,|MN|===,

所以+===.

4.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F2,点F2到E的一条渐近线的距离为,过点F2的直线与E相交于A,B两点.当AB⊥x轴时,|AB|=2.

(1)求双曲线E的方程;

(2)若M(,0),N是直线x=1上一点,当B,M,N三点共线时,判断直线AN的斜率是否为定值.若是定值,求出该值;若不是定值,说明理由.

解:(1)根据对称性,不妨设F2(c,0)到直线bx+ay=0的距离为,

则==b=,

令x=c,则-=1,解得y=±,

所以当AB⊥x轴时,|AB|==2,则a=.

故双曲线E的方程为-=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).

当直线AB的斜率不为0时,

设直线AB的方程为x=my+2,

联立得方程组

消去x,得(m2-1)y2+4my+2=0,

由得m≠±1,

则y1+y2=-,y1y2=,

设N(1,t),因为B,M,N三点共线,

所以=,整理得t=-.

因为y1-t=y1+====0,

所以kAN==0,即直线AN的斜率为定值0.

当直线AB的斜率为0时,A,B,M,N都在x轴上,则直线AN的斜率为定值0.

综上所述,直线AN的斜率为定值0.

5.已知双曲线方程为-=1,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,离心率为2,点P为双曲线在第一象限上的一点,且满足·=0,

|PF1||PF2|=6.

(1)求双曲线的标准方程;

(2)过点F2作直线l交双曲线于A,B两点,则在x轴上是否存在定点Q(m,0)使得·为定值?若存在,请求出m的值和该定值;若不存在,请说明理由.

解:(1)由题意可得e==2,

可得c=2a,b2=c2-a2=3a2,所以b=a,

又因为·=0,|PF1||PF2|=6,

所以PF1⊥PF2,

由|PF1|-|PF2|=2a,

得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2,

而|PF1|2+|PF2|2=4c2,

所以4c2-12=4a2,可得b2=3,a2=1,

所以双曲线的方程为x2-=1.

(2)由(1)可得F2(2,0),假设存在Q(m,0)满足题意.

当直线l的斜率为0时,方程为y=0,

此时A(-1,0),B(1,0),

则·=m2-1;

当l的斜率不为0时,

设方程为x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立

消去x,得(3t2-1)y2+12ty+9=0,

因为有两个交点,所以3t2-1≠0,且Δ=(12t)2-4×9(3t2-1)=

36(t2+1)>0,

所以y1+y2=,y1y2=.

因为·=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=(ty1+2-m)(ty2+2-m)+y1y2=

(t2+1)y1y2+(2-m)t(y1+y2)+(2-m)2=(t2+1)·+(2-m)t·+

(2-m)2=+(2-m)2,

要使·为定值,则=,

解得m=-1,则·=0,

所以Q(-1,0),定值为0.

6.(2022·江苏南京模拟)已知椭圆C:+=1(a>0,b>0)的离心率为,且经过M(1,),经过定点T(1,0)斜率不为0的直线l交C于E,F两点,A,B分别为椭圆C的左、右顶点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线AE与BF的斜率分别为k1,k2,求的值;

(3)设直线AE与BF的交点为P,求证:点P在一条定直线上.

(1)解:由题意可得

解得

所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)解:由(1)可知A(-2,0),B(2,0),

设直线l的方程为x=my+1,则

联立方程

消去x,得(m2+4)y2+2my-3=0,

设E(x1,y1),F(x2,y2),

则y1+y2=-,y1y2=-,

所以=,即2my1y2=3(y1+y2),

所以======.

(3)证明:由(2)知,=,由题意可得直线AE:

y=k1(x+2),BF:y=k2(x-2),

联立方程

解得x=-=-=4,

所以点P在定直线x=4上.