2024高考数学一轮总复习（导与练）第十章第2节　二项式定理

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第2节　二项式定理 [选题明细表] 知识点、方法题号二项展开式的特定项或项的系数1,2,3,4,7,11,13二项式系数的性质、系数和5,6,9,14二项式定理的简单应用8,10,12,151.设(1+3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a5=a6,则n等于(　B　)A.6    B.7    C.10    D.11解析:因为a5,a6分别为x5,x6项的系数,则a5=·35,a6=·36,所以·35=·36,解得n=7.2.(2022·湖南怀化一模)二项式(x+) 12的展开式中的常数项是(　C　)A.第7项 B.第8项C.第9项 D.第10项解析:二项式(x+) 12的展开式的通项为Tr+1=·x12-r·() r=·2r·,令12-r=0,解得r=8.因此,二项式(x+) 12的展开式中的常数项是第9项.3.已知(-) 5的展开式中含的项的系数为30,则a等于(　D　)A.       B.-        C.6       D.-6解析:二项式(-) 5展开式的通项是Tr+1=()5-r(-) r=(-a)r,由题意得=,所以r=1.所以(-a)1=30,所以a=-6.4.(2022·广西柳州二模)(1+x)(1-2x)5展开式中x2的系数为(　B　)A.5    B.30    C.35    D.40解析:二项式(1-2x)5的通项为Tr+1=·15-r·(-2x)r=·(-2)rxr,所以(1+x)(1-2x)5展开式中x2的系数为·(-2)2+·(-2)=30.5.(2022·山西临汾二模)(+) 5的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值,则a的值为(　A　)A.2 B.3 C.4 D.-2解析:因为(+) 5的展开式的通项为Tr+1=()5-r() r=ar,令=1,即r=1时,x的系数为5a,而二项式系数最大值为=10,所以5a=10,即a=2.6.(2022·北京卷)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4等于(　B　)A.40   B.41 C.-40   D.-41解析:法一(赋值法)　依题意,令x=1,可得1=a4+a3+a2+a1+a0,令x=-1,可得81=a4-a3+a2-a1+a0,以上两式相加可得82=2(a4+a2+a0),所以a0+a2+a4=41.法二(通项公式法)　二项式(2x-1)4的通项为Tr+1=(2x)4-r(-1)r,令r=4,2,0,可分别得a0=1,a2=24,a4=16,所以a0+a2+a4=41.7.在(x-) n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最小的项的系数为(　C　)A.-126     B.-70   C.-56   D.-28解析:因为只有第5项的二项式系数最大,所以n=8,(x-) 8的展开式的通项为Tk+1=(-1)k(k=0,1,2,…,8).所以展开式中奇数项的二项式系数与相应项的系数相等,偶数项的二项式系数与相应的项的系数互为相反数.而展开式中第5项二项式系数最大,因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小,为(-1)3=-56.8.(2022·湖南长沙模拟)已知(-x)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式中系数为有理数的项的个数是　　　　. 解析:依题意,知2n=64=26,n=6,则展开式的第k+1项为Tk+1=()6-k(-x)k=(-1)kxk(k=0,1,…,6),当k=0,2,4,6时,项的系数为有理数,所以展开式中系数为有理数的项的个数为4.答案:49.已知(x+1)n的展开式二项式系数的和为128,则-2+4+…+(-2)n=　　　　. 解析:由已知可得2n=128,解得n=7,所以二项式(x+1)7=(1+x)7的展开式的通项为Tr+1=xr.令x=-2,则二项式的展开式为×(-2)0+×(-2)1+×(-2)2+…+×(-2)7=-×2+×4+…+×(-2)7=(1-2)7=-1.答案:-110.(2022·湖北十堰高三期末)如图,杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》.它揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.由此可得图中第9行从左到右数第5个数是　　　,第9行排在奇数位置的所有数字之和为　　　.解析:由题意得第0行有1个数,为1,第1行有2个数,依次是,,第2行有3个数,依次是,,,…则第9行有10个数,其中第5个数为==126.第9行排在奇数位置的所有数字之和为+++…+=29-1=256.答案:126　25611.(2023·山西模拟)(x2-2x+)·(1-) 5展开式中的常数项为(　B　)A.-15    B.0    C.15    D.80解析:(1-) 5展开式的通项为Tr+1=(-2)r=(-2)r,当2-r=0时,r=4;当1-r=0时,r=2.则(x2-2x+)(1-) 5展开式中的常数项为x2·(-2)4x-2-2x(-2)2x-1=0.12.(多选题)已知(3x2+) 4的展开式中各项系数之和为A,第2项的二项式系数为B,则下列说法正确的是(　ABD　)A.A=256B.A+B=260C.展开式中存在常数项D.展开式中含x2项的系数为54解析:令x=1,得(3x2+) 4的展开式中各项系数之和为A=44=256,A正确;(3x2+) 4的展开式中第2项的二项式系数为B==4,A+B=260,B正确;(3x2+) 4的展开式的通项为Tr+1=(3x2)4-r() r=34-rx8-3r,令8-3r=0,则r=,所以展开式中不存在常数项,C错误;令8-3r=2,则r=2,所以展开式中含x2项的系数为34-2×=54,D正确.13.(2022·江苏徐州模拟)已知(3x-1)(x+1)n的展开式中所有项的系数之和为64,则展开式中含x4的项的系数为(　B　)A.20   B.25    C.30    D.35解析:因为所有项的系数之和为64,所以(3-1)(1+1)n=64,所以n=5.(3x-1)(x+1)n=(3x-1)(x+1)5,(x+1)5展开式的第r+1项Tr+1=x5-r,当r=2时,T3=x3=10x3,3x·10x3=30x4,当r=1时,T2=x4=5x4,(-1)×5x4=-5x4,30x4-5x4=25x4.14.已知(x2+) n的展开式中,第4项的系数与倒数第4项的系数之比为,则展开式中最大的二项式系数值为　　　　. 解析:由题意(x2+) n的展开式的通项为Tr+1=(x2)n-r() r=·2r·,所以展开式中第4项的系数为·23,倒数第4项的系数为·2n-3,所以=,即=⇒n-6=1,得n=7,所以展开式中最大的二项式系数值为=35或=35.答案:3515.(多选题)(2022·湖北黄冈模拟)设(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,下列结论正确的是(　ACD　)A.a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36B.a2+a3=100C.a1+2a2+3a3+…+6a6=12D.当x=999时,(2x+1)6除以2 000的余数是1解析:在展开式中令x+1=-1,即x=-2,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-4+1)6=36,A正确;(2x+1)6=[-1+2(x+1)]6,所以a2=(-1)4·22=60,a3=(-1)3·23=-160,a2+a3=-100,B错误;令t=x+1,则(2t-1)6=a0+a1t+a2t2+…+a6t6,两边对t求导得12(2t-1)5=a1+2a2t+3a3t2+…+6a6t5,令t=1得a1+2a2+…+6a6=12,C正确;当x=999时,(2x+1)6=1 9996=(2 000-1)6=2 0006-2 0005+…-×2 000+1,展开式右边共7项,前6项都是2 000的整数倍,因此它除以2 000的余数是1,D正确.