2024高考数学一轮总复习（导与练）第十章第4节　相互独立事件的概率、条件概率与全概率公式

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第4节　相互独立事件的概率、条件概率与全概率公式 [选题明细表] 知识点、方法题号相互独立事件及其概率4,5,8,13,14条件概率及全概率公式1,2,3,6,7,9综合应用10,11,12,151.(2022·北京二模)小王每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为(　B　)A.0.13     B.0.17    C.0.21     D.0.3解析:由题意在6:30至6:50出发上班迟到的概率为0.3×0.1+0.7×0.2=0.17.2.已知某种传染性病毒使人感染的概率为0.95,在感染该病毒的条件下确诊的概率为0.84,则感染该病毒且确诊的概率是(　A　)A.0.798    B.0.884    C.0.889   D.0.95解析:记“感染该病毒”为事件A,“确诊”为事件B,则P(A)=0.95,P(B|A)=0.84,所以P(AB)=P(B|A)P(A)=0.84×0.95=0.798,即感染该病毒且确诊的概率是0.798.3.已知P(B|A)=0.4,P(A)=0.6,则P(A)等于(　D　)A.0.12 B.0.18 C.0.21 D.0.36解析:由P(B|A)===0.4,解得P(AB)=0.24,所以P(A)=P(A)-P(AB)=0.6-0.24=0.36.4.(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　B　)A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立解析:事件甲发生的概率P(甲)=,事件乙发生的概率P(乙)=,事件丙发生的概率P(丙)==,事件丁发生的概率P(丁)==.事件甲与事件丙同时发生的概率为0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故A错误;事件甲与事件丁同时发生的概率为=,P(甲丁)=P(甲)P(丁),故B正确;事件乙与事件丙同时发生的概率为=,P(乙丙)≠P(乙)P(丙),故C错误;事件丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D错误.5.(多选题)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是(　ACD　)A.2个球都是红球的概率为B.2个球不都是红球的概率为C.至少有1个红球的概率为D.2个球中恰有1个红球的概率为解析:设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,则P(A1)=,P(A2)=,且A1,A2相互独立.2个球都是红球为A1A2,其概率为×=,A正确;“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,B错误;2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-×=,C正确;2个球中恰有1个红球的概率为×+×=,D正确.6.一个袋子里面装有白球4个,黑球3个,所有的球除颜色外完全相同,每次从袋子中随机摸出1个球不再放回,在前两次都摸出白球的条件下,第三次摸出黑球的概率是　　　　. 解析:记前两次摸到白球为事件A,第三次摸到黑球为事件B,则P(A)=×=,P(AB)=×=,所以P(A)===.答案:7.足球比赛中点球射门是队员练习的必修课.已知某足球队员在进行点球射门时命中率为87%,由于惯用脚的原因,他踢向球门左侧的概率为70%,踢向球门右侧的概率为30%.经统计,当他踢向球门左侧时,球进的概率为90%,那么他踢向球门右侧时,球进的概率为　　　　. 解析:设该队员踢向球门右侧时,球进的概率为x,则由题可知70%×90%+30%·x=87%,解得x=80%.答案:80%8.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,且是互相独立的.将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路,在如图的电路中,电路不发生故障的概率是　　　　. 解析:记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,不发生故障为事件(A2∪A3)A1,则不发生故障的概率P=P[(A2∪A3)A1]=[1-P()P()]P(A1)=(1-×)×=.答案:9.甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球,丙袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋,再从该袋中先随机取1个球不放回,接着再从该袋中取1个球.(1)求第一次取出的球为红球的概率;(2)求第一次取出的球是红球的前提下,第二次取出的球是白球的概率.解:(1)设第一次取出的球为红球为事件A,取到甲袋、乙袋、丙袋为事件B1,B2,B3,则P(B1)=P(B2)=P(B3)=,由全概率公式可得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)·P(B3)=×+×+×=.(2)设第二次取出的球是白球为事件C,由全概率公式可得P(AC)=P(AC|B1)P(B1)+P(AC|B2)P(B2)+P(AC|B3)P(B3)=××+××+××=,所以P(C|A)===.10.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则(　D　)A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大解析:法一　设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为p甲,在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为p乙,在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为p丙,由题意可知,p甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3,p乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3,p丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3,所以p丙-p甲=2p2(p3-p1)>0,p丙-p乙=2p1(p3-p2)>0,所以p丙最大.法二(特殊值法)　不妨设p1=0.4,p2=0.5,p3=0.6,则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率p甲=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=0.4;在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率p乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=0.52;在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率p丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=0.6.所以p丙最大.11.(2023·广东广州模拟)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制(无平局),甲在每局比赛中获胜的概率均为,且每局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下,比赛进行了三局的概率为(　B　)A.     B.     C.    D.解析:设事件A表示“甲获得冠军”,事件B表示“冠军产生时恰好进行了三局比赛”,则A包括“第一局甲获胜、第二局甲获胜”“第一局甲获胜、第二局乙获胜、第三局甲获胜”“第一局乙获胜、第二局甲获胜、第三局甲获胜”,则P(A)=×+××+××=,事件AB包括“第一局甲获胜、第二局乙获胜、第三局甲获胜”“第一局乙获胜、第二局甲获胜、第三局甲获胜”,则P(AB)=××+××=,P(B|A)===.12.(多选题)(2022·江苏南京三模)连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次,每次结果要么正面向上,要么反面向上,且两种结果等可能.记事件A表示“3次结果中有正面向上,也有反面向上”,事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”,事件C表示“3次结果中没有正面向上”,则下列结论正确的是(　BCD　)A.事件B与事件C互斥B.P(A)=C.事件A与事件B独立D.记C的对立事件为,则P(B|)=解析:由于B发生的情况中包含C,故事件B与事件C可同时发生,A错误;P(A)=1-×2=,B正确;P(B)=+×=,P(AB)=×==P(A)P(B),故事件A与事件B独立,C正确;P(C)==,P(B|)===,D正确.13.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.则顾客抽奖1次能获奖的概率为　　　　. 解析:记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽奖1次能获奖}.由题意知A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1∪B2,因为P(A1)==,P(A2)==,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))P(A2)=×(1-)+(1-)×=.故所求概率为P(C)=P(B1∪B2)=P(B1)+P(B2)=+=.答案:14.甲、乙、丙三人进行摔跤比赛,比赛规则如下:①每场比赛有两人参加,另一人当裁判,没有平局;②每场比赛结束时,负的一方在下一场当裁判;③累计负两场者被淘汰;④当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人累计负两场被淘汰,另一人最终获得冠军,比赛结束.已知在每场比赛中,甲胜乙和甲胜丙的概率均为,乙胜丙的概率为,各局比赛的结果相互独立.经抽签,第一场比赛甲当裁判.(1)求前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率;(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率;(3)求甲最终获胜的概率.解:(1)记事件A为甲胜乙,则P(A)=,P()=,事件B为甲胜丙,则P(B)=,P()=,事件C为乙胜丙,则P(C)=,P()=,前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率为P1=P(CC)+P(CAB)=××+××=.(2)只需四场比赛就决出冠军的概率为P2=P(CC)+P( )+P(CABA)+P(BAB)=×××+×××+×××+×××=.(3)由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为,且乙胜丙和丙胜乙的概率均为,第一场比赛甲当裁判,以后的比赛相对于甲,可视乙、丙为同一人,设甲胜为事件D,甲当裁判为事件E,P3=P(EDDD)+P(EDDD)+P(EDED)+P(EEDD)=××+×××+××+××=.15.(2022·新高考Ⅰ卷,节选)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据: 不够良好良好病例组4060对照组1090从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.(1)证明:R=·;(2)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(1)的结果给出R的估计值.(1)证明:R=∶=·=·==·=·.(2)解:利用调查数据,P(A|B)==,P(A|)==,P(|B)==,P(|)==,所以R=×=6.