2024高考数学一轮总复习（导与练）第十章第5节　离散型随机变量的数字特征

第5节　离散型随机变量的数字特征

 [选题明细表]

1.已知离散型随机变量X的分布列为

则P(∈Z)等于(　A　)

A.0.9    B.0.8   C.0.7   D.0.6

解析:由分布列的性质得0.5+1-2q+q=1,

解得q=0.3,

所以P(∈Z)=P(X=0)+P(X=1)=0.5+1-2×0.3=0.9.

2.(2022·陕西宝鸡二模)已知随机变量X,Y满足Y=2X+3,Y的期望E(Y)=,X的分布列为:

则a,b的值分别为(　C　)

A.a=,b=   B.a=,b=

C.a=,b=   D.a=,b=

解析:因为E(Y)=2E(X)+3=,所以E(X)=-,

则有

解得a=,b=.

3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是(　B　)

A.      B.      C.     D.

解析:X的可能值是0,1,2,同时抛掷两枚质地均匀的硬币向上的面的情形有:正正,正反,反正,反反,其中有3种说明试验成功.因此一次试验成功的概率P=,P(X=0)=(1-) 2=,

P(X=1)=2××=,

P(X=2)=() 2=,

所以E(X)=1×+2×=.

4.设随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=1,2,5),a∈R,E(X),D(X)分别为随机变量X的数学期望与方差,则下列结论正确的是(　C　)

A.P(0<X<3.5)= B.E(3X+2)=7

C.D(X)=2     D.D(3X+1)=6

解析:因为随机变量X的分布列为P(X=k)=(k=1,2,5),由分布列的性质可知,

P(X=1)+P(X=2)+P(X=5)=++=1,解得a=1.P(0<X<3.5)=P(X=1)+

P(X=2)=+=,故A不正确;因为E(X)=1×+2×+5×=2,所以E(3X+2)=3E(X)+2=3×2+2=8,故B不正确;D(X)=×(1-2)2+×(2-2)2+

×(5-2)2=2,故C正确;因为D(X)=2,所以D(3X+1)=9D(X)=18,故D不正确.

5.(多选题)设0<a<1,则随机变量X的分布列是

则当a在(0,1)内增大时,(　AD　)

A.E(X)增大

B.D(X)减小

C.D(X)先增大后减小

D.D(X)先减小后增大

解析:由分布列得E(X)=0×+a·+1×=a+,所以当a在(0,1)内增大时,E(X)增大,故选项A正确.D(X)=×+×+×=(a2-a+1)=,当0<a<时,D(X)减小;当<a<1时,D(X)增大,所以D(X)先减小后增大,故选项D正确.

6.一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可获利50元,生产出一件乙等品可获利30元,生产一件次品,要赔20元,已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品,平均预期可获利　　　元. 

解析:由题意可得,设这台机器每生产一件产品可获利X,则X可能取的数值为50,30,-20,所以X的概率分布为P(X=50)=0.6,P(X=30)=

0.3,P(X=-20)=0.1,所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利50×0.6+30×0.3-20×0.1=37(元).

答案:37

7.某日A,B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同,已知A市或B市至少有一个城市受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)=　　　　. 

解析:设A,B两市受台风袭击的概率均为p,则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1-p)2=1-0.36,解得p=0.2或p=1.8(舍去),则P(X=0)=

1-0.36=0.64,P(X=1)=2×0.8×0.2=0.32,P(X=2)=0.2×0.2=0.04,所以E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.

答案:0.4

8.已知随机变量X的分布列如表所示,

则a+b的取值范围是　　　　,D(X)取最大值时a的值为　　　　. 

解析:依题意(b-a)+b+a=1,解得b=,

又所以0≤a≤,

所以≤a+b≤1.

E(X)=b+2a=+2a,D(X)=E(X2)-(E(X))2=+4a-(+2a) 2=-4(a-) 2+,所以当a=时,D(X)取得最大值.

答案:[,1]　

9.(2023·北京模拟)某商家为了促销,规定每个消费者均可免费参加一次抽奖活动,活动规则如下:在一不透明纸箱中有8张相同的卡片,其中4张卡片上印有“幸”字,另外4张卡片上印有“运”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片,若抽到的4张卡片上都印有同一个字,则获得一张10元代金券;若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字,则获得一张5元代金券;若抽到的4张卡片是其他情况,则不获得任何奖励.

(1)求某个消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率;

(2)记随机变量X为某个消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数,求X的分布列、数学期望E(X);

(3)该商家规定,消费者若想再次参加该项抽奖活动,则每抽奖一次需支付3元.若你是消费者,是否愿意再次参加该项抽奖活动?请说明

理由.

解:(1)记“某个消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有′幸′字”为事件A,

则P(A)==,所以某个消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸”字的概率为.

(2)依题意随机变量X的所有可能取值为0,5,10,则P(X=0)==,

P(X=5)==,P(X=10)==,

所以X的分布列为

所以E(X)=10×+5×+0×=.

(3)记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益,则Y=X-3,所以E(Y)=E(X-3)=E(X)-3=-3=-<0,所以我不愿意再次参加该项抽奖

活动.

10.(2022·河南郑州二模)甲、乙、丙三人参加某比赛三个赛区的志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则(　D　)

A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)

B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)

C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)

D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)

解析:由题意得X的可能取值为1,2,3,

则P(X=1)==,P(X=2)==,

P(X=3)==,所以E(X)=1×+2×+3×=,D(X)=×+

×+×=,Y=3-X,所以E(Y)=3-E(X)=3-=,

D(Y)=D(X)=,

所以E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).

11.(多选题)已知A=B={1,2,3},分别从集合A,B中随机取一个数a,b,得到平面上一个点P(a,b),事件“点P(a,b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X,P(X=n)=Pn,X的数学期望和方差分别为E(X),

D(X),则(　BCD　)

A.P4=2P2   B.P(3≤X≤5)=

C.E(X)=4   D.D(X)=

解析:因为A=B={1,2,3},点P(a,b)恰好落在直线x+y=n上,所以X的值可以为2,3,4,5,6,而从A,B中分别任取1个数,共有9种情况,

所以P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)==,P(X=5)=,P(X=6)=,

对于A,P4=3P2,故A不正确;

对于B,P(3≤X≤5)=++=,故B正确;

对于C,E(X)=2×+3×+4×+5×+6×==4,故C正确;

对于D,D(X)=(2-4)2×+(3-4)2×+(4-4)2×+(5-4)2×+(6-4)2×=,故D正确.

12.某实验测试的规则如下:每名学生最多可做3次实验,一旦实验成功,则停止实验,否则做完3次为止.设某学生每次实验成功的概率为p(0<p<1),实验次数为随机变量X,若X的数学期望E(X)>1.39,则p的取值范围是　　　　. 

解析:由题意得X的所有可能取值为1,2,3,

P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=1-p-(1-p)p=(1-p)2,

所以E(X)=1·p+2×(1-p)p+3×(1-p)2=p2-3p+3,

令E(X)=p2-3p+3>1.39,解得p<0.7或p>2.3,又因为0<p<1,所以0<p<0.7.

答案:(0,0.7)

13.(2022·山西运城高三二模)家用自来水水龙头由于使用频繁,很容易损坏.受水龙头在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每件水龙头的利润与该水龙头首次出现损坏的时间有关.某阀门厂生产尺寸都为4分(指的是英制尺寸)的甲(不锈钢阀芯)、乙(黄铜阀芯)两种家用水龙头,保修期均为1年(4个季度).现从该厂已售出的这两种水龙头中各随机抽取200件,统计数据如表所示,

将频率视为概率,解答下列问题:

(1)从该厂生产的甲、乙两种水龙头中各随机抽取一件,求恰有一件首次出现损坏发生在保修期内的概率;

(2)由于资金限制,只能生产其中一种水龙头.若从水龙头的利润的均值考虑,你认为应选择生产哪种水龙头比较合理?

解:(1)设“甲种水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件A,则P(A)==;

设“乙种水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件B,则P(B)=

=.

设“恰有一件首次出现损坏发生在保修期内”为事件C,则P(C)=

P()P(B)+P(A)P()=×+×=.

(2)记生产1件甲种水龙头的利润为X1元,生产1件乙种水龙头的利润为X2元,则X1的分布列为

则E(X1)=3.6×+5.8×=5.58.

X2的分布列为

则E(X2)=2×+4×+6×=5.68.

因为E(X1)<E(X2),

所以选择生产乙种水龙头比较合理.

14.(2022·广东深圳二模)2022年北京冬奥会后,由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队,与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛.约定赛制如下:业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛,若甲连续赢两场则专业队获胜;若甲连续输两场则业余队获胜;若比赛三场还没有决出胜负,则视为平局,比赛结束.已知各场比赛相互独立,每场比赛都分出胜负,且甲与乙比赛,乙赢的概率为;甲与丙比赛,丙赢的概率为p,其中<p<.

(1)若第一场比赛,业余队可以安排乙与甲进行比赛,也可以安排丙与甲进行比赛.请分别计算两种安排下业余队获胜的概率;若以获胜概率大为最优决策,问:业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛?

(2)为了激励专业队和业余队,赛事组织规定:比赛结束时,胜队获奖金3万元,负队获奖金1.5万元;若平局,两队各获奖金1.8万元.在比赛前,已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛,设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元,求X的数学期望E(X)的取值范围.

解:(1)第一场比赛,业余队安排乙与甲进行比赛,业余队获胜的概率P1=·p+·p×=p;第一场比赛,业余队安排丙与甲进行比赛,业余队获胜的概率P2=·p+(1-p)×·p=-p2+p,因为<p<,所以P1-P2=

p2-p=p(p-)>0,所以P1>P2.

所以业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.

(2)由题意,得X=4.5万元或X=3.6万元.

由(1)知,业余队最优决策是第一场安排乙与甲进行比赛.此时,业余队获胜的概率P1=p,

专业队获胜的概率P3=×(1-p)+×(1-p)×=-p,

所以非平局的概率为P(X=4.5)=P1+P3=-p,

平局的概率为P(X=3.6)=1-P1-P3=+p.

所以X的分布列为

数学期望为E(X)=4.5×(-p)+3.6×(+p)=4.4-0.3p.

因为<p<,

所以E(X)的取值范围为(4.25,4.3)(单位:万元).