2023届贵州省贵阳市五校高三联合考试（五）数学（理）试题含解析

2023届贵州省贵阳市五校高三联合考试（五）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式，得到，结合集合的元素特征，得到交集.

【详解】，解得；集合A元素满足，

当时，满足要求，当时，满足要求，当时，满足要求，

其他均不合要求，故.

故选：C．

2．设复数，则z的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】利用复数运算法则计算出，进而得到，求出答案.

【详解】由题意得，z的共轭复数，z的共轭复数对应的点为，

位于第二象限，

故选：B．

3．根据如下样本数据得到回归直线方程，其中，则时y的估计值是（    ）

A．73.5 B．64.5 C．61.5 D．57.5

【答案】A

【分析】根据回归方程经过样本中心点和回归方程对数据的估计即可求解.

【详解】因为回归直线方程必过，

由题中表格数据得，

则，

故，

则当时，，

故选：A．

4．已知命题，有成立；命题 “”是“”的充要条件，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分别判断命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得解.

【详解】当时，，所以命题p是真命题，则为假命题，

由，得或，

所以“”是“”的充分不必要条件，故命题q是假命题，则为真命题，

所以，为假命题，，真命题，则为假命题.

故选：C．

5．设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，确定这三个数所在范围，即可比较出大小.

【详解】由题意得，即；

，即；

，即，

则a，b，c的大小关系为.

故选：D．

6．在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，向量减法的三角形法则，用基底表示，从而求得结果.

【详解】

由D为中点，根据向量的运算法则，

可得，

在中，.

故选:D．

7．等差数列的公差为2，若成等比数列，则的前项和

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：成等比数列

【解析】等差数列

8．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．

【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．

9．十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，（黄金分割比），则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造，根据题意推得.然后根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，即可得出答案.

【详解】如图：

过D作于E，则．

，

所以，.

故选：D．

10．在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案.

【详解】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，则由，得，

因为平面平面ABC，平面平面，平面，

所以平面ABC，则球心O在直线上．

连接OA，则，

因为，所以；

因为，所以.

因为，所以球心在线段上．

在中，由勾股定理，得，

即，解得，

所以三棱锥的外接球表面积为.

故选：B．

11．设点A为椭圆上的动点，点B为椭圆的上顶点，若的最大值为，则椭圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设动点，则，利用二次函数的性质求最大值，由的最大值为，求出即可.

【详解】由椭圆方程得，设动点，则，所以，

则

，

令，对称轴为．

①若，即时，在上单调递减，则，故舍去；

②若，即，在上单调递增，在上单调递减，则，解得，

故选: C．

12．已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，若则（    ）

A．10 B．-10 C． D．-

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性与对称性得函数的周期，再根据已知区间内的解析式求得的值，最后利用周期性即可求得的值.

【详解】由为奇函数可得：，即①，则关于点对称，令，则；

由②，得的图象关于直线对称；

由①②可得：，即，所以，故，所以函数的周期；

所以，即，

联立，解得，故.所以.

故选：A.

二、填空题

13．在的展开式中，常数项是___________.（用数字作答）

【答案】

【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案.

【详解】的展开式的通项公式为

，

令 ，

故常数项为 ，

故答案为：

14．已知等比数列的前n项和为，且，则__________．

【答案】54

【分析】先求出，根据与的关系得出当时，．又根据等比数列，可知.列出方程，即可求出的值，代入可得的通项公式.

【详解】当时，则.

当时，．

又因为是等比数列，所以，

所以，解得：，

所以，所以．

故答案为：54.

15．由直线x+2y7=0上一点P引圆x2+y22x+4y+2=0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为__________

【答案】

【分析】根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，即可得圆心坐标与半径，由直线与圆相切的性质可得|PA|2=|MP|2﹣r2=|MP|2﹣3，分析可得|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，据此分析可得答案．

【详解】根据题意，圆x2+y2﹣2x+4y+2=0的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=3，

则圆的圆心为（1，﹣2），半径r=，

设圆心为M，

则|PA|2=|MP|2﹣r2=|MP|2﹣3，

则|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，

且|MP|的最小值即M到直线x+2y﹣7=0的距离，|MP|最小值==2，

则|PA|最小值=，

故答案为．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆的一般方程变形为标准方程．

16．将函数向右平移个周期后所得的图象在内有个最高点和个最低点，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】求出平移后所得函数的解析式，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.

【详解】函数的最小正周期为，

将函数向右平移后的解析式为，

由，可得，

要使得平移后的图象有个最高点和个最低点，则需：，解得．

故答案为：.

三、解答题

17．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求C；

(2)若为锐角三角形，，求周长范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可；

（2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得.

【详解】（1）在中，由射影定理得，

则题述条件化简为，

由余弦定理得．

可得                  

所以.

（2）在中，

由正弦定理得，

则周长，

因为，则，

因为为锐角三角形，，

则得，

故．

18．某学校组织“消防”知识竞赛，有A，B两类题目．每位参加比赛的同学先在两类题目中选择一类并从中随机抽取一道题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得40分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得60分，否则得0分已知小明能正确回答A类问题的概率为0.7，能正确回答B类问题的概率为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

【答案】(1)分布列见解析

(2)小明应选择先回答A类问题，理由见解析

【分析】（1）由X的所有可能取值，计算对应的概率，列出分布列；

（2）分别计算先回答A类问题累计得分的期望和先回答B类问题累计得分的期望，比较即可.

【详解】（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，40，100，

则；

；

．

所以X的分布列为

（2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的期望为

．

若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，

则Y的所有可能取值为0，60，100，

，

，

，

则Y的期望为，

因为，

所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答A类问题．

19．如图，在三棱锥中，，O为AC的中点．

(1)证明：⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角为，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，利用空间向量及二面角列出方程，求出答案.

【详解】（1）在中，，O为AC的中点．

则中线，且；

同理在中有，则；

因为，O为AC的中点．

所以且；

在中有，则，

因为，平面ABC，

所以⊥平面ABC．

（2）由（1）得⊥平面ABC，故建立如图所示空间直角坐标系，

则，

设，则，

而，

，

，

设平面PAM的一个法向量为，

由得，，

令，

又x轴所在直线垂直于平面PAC，

∴取平面PAC的一个法向量，

，

平方得，令，

，

．

20．已知坐标原点为，抛物线为与双曲线在第一象限的交点为，为双曲线的上焦点，且的面积为3．

(1)求抛物线的方程；

(2)已知点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，，求与的面积之比．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求出双曲线的上焦点，设，，根据三角形面积求出，再代入双曲线方程求出，再根据点在抛物线上，即可求出，即可得解；

（2）设点，，利用导数表示出的方程，即可求出点坐标，同理可得，再将代入，即可得到的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，即可求出，再求出点到直线的距离，即可得到，再求出，即可得解.

【详解】（1）双曲线的上焦点为，设，，

由已知得：，则，

代入双曲线方程可得，解得或（舍去），所以，

又因为在抛物线上，所以，解得，故抛物线的方程为．

（2）设点，，对求导得，

则切线的方程为，

由整理得，

令，则，即，同理可求得．

将代入直线可得：，

同理可求得直线的方程：，

所以，的直线方程．

联立消去得，

则韦达定理：，

则弦长，

点到直线的距离，

所以，

又，

故．

21．设函数．（其中为自然对数的底数）

(1)若在区间内单调递增，求a的取值范围；

(2)证明：，当时，．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）在区间内单调递增可转化为在恒成立，然后分离参数转化为求函数最值问题.

（2）证明，即证，考虑到时，，可把放缩为证明，排除参数方便证明.

【详解】（1）解：由已知得：在恒成立，则分参得．

令函数，则只要大于或等于的最大值即可．

又，令得，当时，，当时，，

则函数在上单调递减，在上单调递增．

故函数，所以，即a的取值范围是．

（2）证明：由题要证成立，只需证，即证．

令，则，令，得，

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

所以，即，当且仅当时等号成立．

所以要证，只需证：．

令函数，则，

令函数，则，令，则．

当时，，单调递增，当时，，单调递减．

又，

故存在唯一使得，

当时，，即，单调递增，

当时，，即，单调递减．

又，

故此时恒成立，即不等式得证，则原不等式得证.

【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，直线l的普通方程为．

(1)将C的极坐标方程化为参数方程；

(2)设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程并判断与l的位置关系．

【答案】(1)其中为参数

(2)其中为参数,与l相离．

【分析】（1）根据极坐标方程转化为直角坐标方程再转化为参数方程即可；（2）根据参数方程和向量的坐标形式转化关系，以及参数方程转化为直角坐标方程和直线与圆的位置关系即可求解.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

整理得，

曲线C的直角坐标方程为，

所以其中为参数．

则对应的参数方程为其中为参数．

（2）由（1）参数方程可设，

则由，

得其中为参数．

对应的直角坐标方程为，

圆心到l距离，则与l相离．

23．已知函数

(1)求函数的最小值；

(2)若为正实数，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由绝对值的定义去掉绝对值符号后得函数的单调性，从而得最小值；

（2）结合（1）得出，然后利用柯西不等式可得最小值．

【详解】（1），

在上单调递减，在上单调递增，

所以；

（2）由已知得当时，则由得：

即：

则由柯西不等式得：

所以，当且仅当时等号成立.

所以的最小值为