2023届河北省张家口市高三一模数学试题含解析

这是一份2023届河北省张家口市高三一模数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河北省张家口市高三一模数学试题

一、单选题
1．已知集合，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简集合A，再利用并集和补集的运算求解.
【详解】解：由，得，故，
所以，，．
故选：B．
2．已知复数，，若，则实数（    ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的定义结合复数的乘法运算化简，再由相等复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，
所以，，解得．
故选：C．
3．是成立的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据诱导公式和三角函数绝对值即可求解.
【详解】因为，可得成立，
而由，可得，
所以不一定成立．
故选：A.
4．已知正方体，则下列选项不正确的是（    ）
A．直线与所成的角为 B．
C．平面 D．
【答案】D
【分析】运用作平行线求得异面直线所成角可判断A项，运用线面垂直判定定理及性质可判断B项、C项，运用同一个三角形的内角不可能有两个直角可判断D项.
【详解】如图所示，

对于A项，如图，因为，所以异面直线与所成的角为或其补角．
又因为为等边三角形，所以，故A项正确；
对于B项、C项，因为四边形为正方形，则．
又因为平面，
所以．
又因为平面，平面，，
所以平面．
又平面，
所以．
同理：，，
又平面，平面，，
所以平面，故B项、C项正确；
对于D项，∵面，
∴，即：在中，，
由三角形内角和可知，，故D项错误；
故选：D．
5．宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，它在公元前六世纪就被古希腊学者发现并研究．下图为一个黄金矩形，即．对黄金矩形依次舍去以矩形的宽为边长的正方形，可得到不断缩小的黄金矩形序列，在下面图形的每个正方形中画上四分之一圆弧，得到一条接近于对数螺线的曲线，该曲线与每一个正方形的边围成下图中的阴影部分．若设，当无限增大时，，已知圆周率为，此时阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得，则，在根据题意可得是等比数列，再根据等比数列前项和公式即可的解.
【详解】由，得，得，
因为，则，同理每一个小正方形的边长均为前一个正方形边长的倍，
设曲线与第一个正方形的边围成的阴影部分的面积为，，
从第二个正方形开始曲线与正方形的边围成的阴影部分的面积依次为，，．．．，，
设第个正方形的边长为，则第个正方形的边长，
所以曲线与第个正方形的边围成的阴影部分的面积为，
曲线与第个正方形的边围成的阴影部分的面积为
，
故，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
设阴影部分的面积为，则，
又当无限增大时，，
所以时，，
又，所以阴影部分的面积为．
故选：A．
6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则（    ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】运用双曲线定义求得a、c的值，进而求得两条渐近线方程，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由，得．
因为，
所以．
又因为，
所以，
故双曲线的方程为，
所以两条渐近线的方程为．
设，则，
故．
不妨设，则，
所以，
所以．
故选：B．
7．已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律得到，设，即可得到，再由求出的范围，即可得解.
【详解】由，得，即．
设，则，显然，
所以．
又，所以，
所以，即的最大值为．
故选：C．
8．已知实数a，b，c满足，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，可得，而，然后利用指数函数的性质可比较的大小，再求出，则可得，再根据对数函数和指数函数的性质逐个分析判断.
【详解】由，得，
所以，
又函数单调递减，，
所以，即，
所以
由，得，
所以，
所以函数在上单调递增，函数和在上单调递减，
故，，所以A错误；
，．
又，所以，，所以C错误；
由，得．
因为，所以，
故，所以B错误；
因为在上单调递增，且，
所以．
因为在上单调递减，且，
所以，故．
故选：D．

二、多选题
9．小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100．则下列说法正确的有（    ）
A．用简单随机抽样的方法从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是
B．这10个分数的第60百分位数为91
C．这10个分数的平均数大于中位数
D．去掉一个最低分和一个最高分后，平均数会变大，而分数的方差会变小
【答案】BD
【分析】对于A，根据古典概型的概率公式计算判断，对于B，根据百分位数的定义计算判断，对于C，计算出平均数和中位数进行判断，对于D，通过计算平均数和方差进行判断即可.
【详解】从10个分数中随机去掉2个分数，则每个分数被去掉的概率都是，故A错误；
，所以第60百分位数是第6个数90与第7个数92的平均数，即，所以B正确；
对于C选项：这10个数的平均数为．
因为，所以中位数是第5个数90与第6个数90的平均数90，所以C错误；
对于D选项：
10个数的方差为．
去掉70和10后，平均数为，
方差为，
，，所以D正确．
故选： BD．
10．已知O为坐标原点，过点的直线l与圆交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（    ）
A．直线l的斜率k的取值范围是
B．点M的轨迹为圆的一部分
C．为定值
D．为定值
【答案】ABD
【分析】利用直线和圆相交可求斜率范围，利用平面向量的数量积和直线与圆的位置关系即得结果.
【详解】对于A选项，方法1：设，，直线l的方程为．
由得，
所以，
解得，所以A正确；
方法2：如图，设直线l与圆的切点为，，在直角三角形中，，
所以，所以，由图形对称性可知，所以A正确；

对于B选项，由，可得，所以点的轨迹是以为直径的圆的一部分，故B正确；
对于C选项，由，可得，
又，所以C错误；
对于D选项，由，
得，，
，
又，，
所以

．故D正确．
故选：ABD．
11．已知函数，则下列结论正确的有（    ）
A．为偶函数
B．的最小值为
C．在区间上单调递增
D．方程在区间内的所有根的和为
【答案】ACD
【分析】运用函数奇偶性定义可判断A项，研究函数的周期性并画出图象可判断B项、C项，（也可运用整体法研究函数单调性可判断C项）运用对称性可判断D项.
【详解】对于A项，的定义域为，，故A项正确；
对于B项，由得：，
所以，
又因为，
所以函数是以为周期的周期函数，
所以，，
即，
故函数的图象如图所示．

则，
所以函数的最小值为，故B项错误；
对于C项，方法1：如图，当时，函数在上单调递增，故C项正确；
方法2：当时，，
所以，
所以函数在上单调递增，故C项正确；
对于D项，如上图可知，方程在区间有四个根，且，
所以，故D项正确．
故选：ACD．
12．已知圆锥PE的顶点为P，E为底面圆的圆心，圆锥PE的内切球球心为，半径为r；外接球球心为，半径为R．以下选项正确的有（    ）
A．当与重合时，
B．当与重合时，
C．若，则圆锥PE的体积的最小值为
D．若，则圆锥PE的体积的最大值为
【答案】BC
【分析】A.当与重合时，易得为等边三角形求解判断；B.当与重合时，由，求解判断；C.由，设圆锥底面半径为，则，设圆锥的高为，得到母线长为，轴截面的面积，进而得到，再由体积公式求解判断；D.由，设圆锥底面半径为，圆锥的高为，易得，再由圆锥的体积，利用导数求解判断.
【详解】设为底面圆的一条直径，
圆锥的内切球半径和外接球半径分别为其轴截面内切圆半径和外接圆半径．当与重合时，
如图，

为重合的圆心（球心），为一个切点，
由，，均为对应角的角平分线，
所以，所以，又，
所以为等边三角形，故，所以，所以A错误；
当与重合时，如图：

，
所以，故，
所以，故B正确；
若，设圆锥底面半径为，则，
设圆锥的高为，则母线长为，轴截面的面积，
即，平方整理得，
圆锥的体积，
所以当时，最小，最小值为，故C正确；
若，设圆锥底面半径为，圆锥的高为，
则，易得，
所以，圆锥的体积，则．
当 时，，当时，，
所以当时，最大，最大值为，故D错误．
故选BC．

三、填空题
13．已知是奇函数，则实数__________．
【答案】2
【分析】利用奇函数的定义代入函数式，化简即可求出所要的值.
【详解】由题意得，所以，解得．
14．已知点为椭圆的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为，则C的离心率为__________．
【答案】
【分析】运用点差法及中点坐标公式代入可求得a、c关系式 ，结合离心率公式即可求得结果.
【详解】设，，代入椭圆的方程可得，．
两式相减可得①，
又因为，，，
所以代入①可得：，化简得．
经检验符合题意.
又因为，
所以，
故离心率．
故答案为：.
15．小李在2005年10月18日出生，他在设置手机的数字密码时，打算将自己出生日期的后6个数字0，5，1，0，1，8进行某种排列，从而得到密码．如果排列时要求两个1不相邻，两个0也不相邻，那么小李可以设置的不同密码有__________个（用数字作答）．
【答案】84
【分析】先排1,5,8，再利用插空法把0排好，根据两个计数原理可得答案.
【详解】先排列1，1，5，8这四个数，当1和1不相邻时，有种排法，再插入两个0，有种排法；
当1和1相邻时，有种排法，再插入两个0，有种排法．
所以共有（种）排法．
故答案为：84.
16．已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则__________．
【答案】51
【分析】运用函数奇偶性及对称性可得函数的周期性，给x赋值可求得一个周期内的各式的值，进而求得结果.
【详解】由为奇函数，得，
所以①，
又因为②，
所以③，
所以
所以，
所以函数是以4为周期的周期函数，
因为，
所以将代入③得：，解得：，
将代入②得：，解得：，
将代入①得：，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：51.

四、解答题
17．已知数列满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由等比数列的定义证明即可；
（2）由错位相减法求和即可得出答案.
【详解】（1）因为，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）得数列，所以，
则数列的前项和：
①，
所以②．
由①-②，得，
所以
18．在中，．

(1)求；
(2)如图，为平面上外一点，且，，若，求四边形ABDC面积的最大值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由，利用二倍角公式得到求解；
（2）在中，利用余弦定理得到，易得为等边三角形，再由表示，然后由四边形的面积求解.
【详解】（1）解：由，
得，
化简得，
所以，故．
又，所以．
（2）在中，
．
由（1）知．又，所以为等边三角形，
所以的面积
．
又的面积，
故四边形的面积，
，
，
当时，四边形的面积最大，最大值为．
19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，为棱的中点，是棱上一点，且．

(1)证明：平面；
(2)若，直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取棱PB和PC的中点，利用平行四边形的判定及性质证明线线平行，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面角求得，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求两个平面夹角的余弦值.
【详解】（1）如图，设E，F分别为棱PB和PC的中点，连接AE，EF，FD，
则，且，

又，，所以，且，
所以四边形ADFE为平行四边形，故，
因为，E为棱PB的中点，所以，
又M为棱AP的中点，所以，故，
又平面PDC，平面PDC，所以平面PDC；
（2）设，所以，
又，所以，所以，所以和为等边三角形，
设O为棱CD的中点，连接OP，OB，故，
又，，，平面POB，平面POB，
所以平面POB．又平面ABCD，所以平面平面ABCD，
故直线PB与平面ABCD所成的角为，所以，
又，所以，
综上OP，OB，OC两两垂直，以为坐标原点，以OB，OC，OP分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

则，，，，
因为，所以，
又为棱的中点，则，
所以，，，
设为平面MCD的法向量，
则,即，令，可得，
设为平面BMD的法向量，
则，即，令，可得，
所以，
故平面BMD与平面MCD夹角的余弦值为.
20．某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．
(1)若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备"有关联？
单位：箱
是否有不合格品设备
无不合格品
有不合格品
合计
新



旧



合计



(2)若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为，且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为，求最大时的值．
(3)现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的作为的值．已知每个口罩的检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？
附表：

0.100
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
附：，其中．
【答案】(1)填表见解析；认为箱中有不合格品与新旧设备有关联
(2)
(3)应该对余下的480个口罩进行检验

【分析】（1）根据题中的条件可填写列联表，利用卡方计算公式计算出卡方值，结合标准误差可以判断出关联性；
（2）利用独立重复性实验的计算公式得出20个口罩中恰有3件不合格品的概率为的表达式，利用求导方法解出的最大时的；
（3）先设表示余下的480件产品中不合格品的数量，符合二项分布，解出期望，再设产品的检验费用与赔偿费用的和记为，找出、的等式关系，即可求出，进而判断结果.
【详解】（1）解：                                                                           单位：箱
是否有不合格品设备
无不合格品
有不合格品
合计
新
90
10
100
旧
75
25
100
合计
165
35
200
零假设为：有不合格品与新旧设备无关联．
由列联表可知的观测值
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为箱中有不合格品与新旧设备有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）由题意，得，
则，
令，又，得．
当时，，当时，，
所以最大时的值．
（3）由（2）知．
设表示余下的480件产品中不合格品的数量，依题意知，
所以．
若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，则，
所以．
如果对余下的产品做检验，这一箱产品所需要的检验费为（元）．
364远大于100，所以应该对余下的480个口罩进行检验．
21．如图，抛物线与圆交于A，B，C，D四点，直线AC与直线BD交于点E．

(1)请证明E为定点， 并求点E的坐标；
(2)当的面积最大时，求抛物线M的方程．
【答案】(1)证明见解析，
(2)

【分析】
（1）设出A、B两点的坐标，将抛物线与圆方程联立，消去，得到二元一次方程，表示出直线的方程，结合上面韦达定理和抛物线的点可得E点坐标；
（2）根据对称性，的面积可以由表示，利用第（1）问的韦达定理得出的结论化简，可找出的面积的表达式，结合函数的最值，求出，即可求出抛物线M的方程.
【详解】（1）证明：设，，则，．
由得，
则有
解得．又，所以．
由圆与抛物线的对称性可知，点在轴上，
设．直线的方程为，
则，所以．
又，得，
所以，所以为定点，坐标为．
（2）由题意知的面积与的面积相等，设的面积为．
如图，连接AD，BC，AB，CD四边形ABCD为等腰梯形，其面积为，
则

由（1）知，，，
所以，
所以
，
当时，的最大值为6，这时抛物线的方程为．
22．已知函数在区间上有两个极值点，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）函数在区间上有两个极值点，即方程在区间上有两个不等实根，即在区间上有两个不等实根．设，对求导，讨论的单调性和最值，即可得出答案；
（2）要证，即证，设，即证当时，成立，令，对求导，得到的单调性，即可证明.
【详解】（1）由题意得，
函数在区间上有两个极值点，即方程在区间上有两个不等实根．
又，所以在区间上有两个不等实根．
设，则．
当时，，函数单调递增，与方程在区间有两个根矛盾．
当时，由，得，
当时，，为单调递减函数；
当时，，为单调递增函数．
，，
当时，与方程在区间上有两个根矛盾．
当时，．
又，．
设，，
当时，，，
所以，
故函数在区间上和区间上各存在一个零点．
综上，时，函数在区间上有两个极值点．
（2）证明：不妨设，故有，
要证，即证，即．
由得
故．
要证，即证，
即证，即．
设，即证当时，成立．
设，．
所以在区间上为增函数，
故，即当时，成立，
综上，成立．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不不等式，等价转化的数学思想、同构的数学思想等知识，属于中等题，常用方法有如下几种：
方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略；
方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明；
方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立.