广东省汕头市金山中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份广东省汕头市金山中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题，共15页。
广东省汕头市金山中学 级高一第二学期期中考试数学科试卷命题人：欧钟湖 审核人：张海兵一. 选择题: 共 小题, 共 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知 为实数, 且 ( 为虚数单位), 则 A.           B.           C.           D. 2. 已知集合 , 则 A.           B.           C.          D. 3. 已知函数 在区间 上单调递增, 则实数 的取值范围是A.          B.           C.          D. 4. 在 中, , 则 的值等于A.          B.           C.           D. 5. 已知空间中不过同一点的三条直线 . 则 “ 共面” 是 “ 两两相交” 的 (   )A. 充分不必要条件          B. 必要不充分条件          C. 充分必要条件          D. 既不充分也不必要条件6. 为了测量河对岸两点 间的距离, 现在沿岸相距 的两点 处分别测得 , 则 , 间的距离为 (    )A.           B.           C.           D. 7. 设 , 则 的大小关系是A.           B.           C.           D. 8. 如图, 在 中, 分别是 的中点, 是线段 上两个动点, 且 , 则 的最小值为 A.           B.           C.           D. 二. 多选题:共 小题, 共 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 分, 部分选对的得 分, 有选错的得 分.9. 在复平面内, 下列说法正确的是 )A. 若复数 ( 为虚数单位), 则 B. 若复数 满足 , 则 C. 若复数 , 则 为纯虚数的充要条件是 D. 若复数 满足 , 则复数 对应点的集合是以原点 为圆心, 以1为半径的圆10. 等腰直角三角形直角边长为 , 现将该三角形绕其某一边旋转一周, 则所形成的几何体的表面积可以为(    )A.           B.           C.           D. 11. 的内角 的对边分别为 , 则下列说法正确的是    )A. 若 , 则 B. 若 , 则 是针角三角形C. 若 , 则符合条件的 有两个D. 若 , 则角 的大小为 12. 关于函数 , 下列说法正确的有 A. 函数 是周期为 的周期函数B. C. 不等式 的解集是 D. 若存在实数 满足 , 则 的取值范围是 三. 填空题: 共 小题, 共 分.13. 已知向量 , 若 与 共线, 则实数                     .14. 已知三棱雉 所有顶点均在球 的球面上, 且 两两垂直, ,则球 的体积为                    .15. 已知圆台的上底半径为 , 下底半径为 , 圆台的高为 , 则圆台的侧面积为                    .16. 已知锐角 的内角 所对的边分别为 , 若 , 则 的取值范围为                    .四. 解答题: 共 小题, 题 分, 其它每题 , 共 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在(1) , (2) 这两个条件中任选一个,补充在下列问题中, 并解答.已知 的角 对边分别为 , 而且                    .(1)求 ;(2)求三角形 面积的最大值.18. 如图, 在正三棱柱 中, , 点 为 的中点.(1)求证: 平面 .(2) 求三棱雉 的体积.19. 已知函数 .(1) 求函数 的单调减区间;(2)将函数 的图象向左平移 个单位, 再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变, 得到函数 的图象, 求 在 上的值域.20. 已知函数 .(1)若 对任意的 恒成立, 求实数 的取值范围;(2)若 在 上单调递减, 求实数 的取值范围;(3) 解不等式 .21. 随着二胎开放, 儿童数量渐增, 某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园, 如图所示: 在直径为 的半圆 空地上, 设置扇形区域OMB作为大人休息区, 规划两个三角形区域做成小喷泉区( 区域)和沙坑滑梯区( 区域), 其中 为直径 延长线上一点, 且 为半圆周上一动点, 以 为边作等边 .(1) 若等边 的边长为 , 试写出 关于 的函数关系式;(2)问 为多少时, 儿童游玩区 的面积最大? 这个最大面积为多少?22. 已知二次函数 (1)若函数在区间 上存在零点, 求实数 的取值范围;(2) 问: 是否存在常数 , 当 时, 的值域为区间 , 且 的长度为 . (注:区间 的长度为 ) 2021级高一第二学期期中考试参考答案BCCA   BBDB  AD  AB  ABD   BCD1          8.如图，在中，，分别是，的中点，，是线段上两个动点，且，则的最小值为
A.  B.  C.  D. 解：由，，三点共线，，，三点共线可得，
存在实数，，，，使得
，，
，，
由，，，共线，，，
，
可得，，
所以，即，
点，是线段上两个动点，，，
那么，
当且仅当时取等号，则的最小值为．故选：．    12.关于函数，下列说法正确的有A. 函数是周期为的周期函数          B.
C. 不等式的解集是
D. 若存在实数满足，则的取值范围是解：函数，
作出图象如图所示，

根据的图象可知，函数不是周期函数，故选项A错误；
，故选项B正确；
当时，若，则，即，解得或，
当时，若，则，即，解得，
结合的图象可得，不等式的解集是，故选项C正确；
设存在实数满足，
则函数与的图象有三个不同的交点，
其中和关于的对称轴对称，故，
当时，，
故的取值范围是，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，
当时，的值为，当时，的值为，
故的取值范围为，故选项D正确．    故选：．16.已知锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为          ．解：由题意可得，，且由余弦定理可得

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，
又因为为锐角三角形，所以，即
结合可得，解得，
所以
设，，
根据对勾函数的性质可得，当，有最大值，
综上所述，的取值范围为  ，故答案为  ．           17.在，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的角，，对边分别为，，，，而且________．求；求三角形面积的最大值．解：选因为，
所以，
因为，
所以，
即，
又因为，所以，
所以，
；
选，中，角，，的对边分别是，，，
，
由正弦定理得，
即，
，
由，
；
由知，，
在三角形中，由余弦定理得
即≥，当且仅当=时等号成立．
 面积的最大值为． 18.如图，在正三棱柱中，，，点为的中点．求证：平面．求三棱锥的体积．证明：连接交于点，连接，
三棱柱中，侧面是平行四边形，
是中点，
是中点，
，
又平面，平面，
平面D.
是等边三角形，边长为，
，
．
，
则三棱锥的体积．     19.已知函数．求函数的单调减区间；将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．解：函数
，
当，
解得：，
因此，函数的单调减区间为；
将函数的图象向左平移个单位，
得的图象，
再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，
，
，
故的值域为．       20.已知函数，．若对任意的恒成立，求实数的取值范围；若在上单调递减，求实数的取值范围；解不等式．解：因为对任意的恒成立，则判别式，即所以．因为函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，因为在上单调递减，所以，所以由得：，由得或2当时，不等式的解集是当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是．综上，当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集是21.随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图所示：在直径为的半圆空地上，设置扇形区域作为大人休息区，规划两个三角形区域做成小喷泉区区域和沙坑滑梯区区域，其中为直径延长线上一点，且，为半圆周上一动点，以为边作等边．
若等边的边长为，，试写出关于的函数关系式；
问为多少时，儿童游玩区的面积最大？这个最大面积为多少？解：在中，，，，，
所以，
则，；
因为，
，
所以，
因为，
所以，
故当，即时，取得最大值为．
所以当为时，儿童游玩区的面积最大为．      22.已知二次函数：
若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为．解：二次函数的对称轴是，
函数在区间上单调递减，
要使函数在区间上存在零点，须满足，
即，
解得，
所以使函数在区间上存在零点的实数的取值范围是．
当时，即时，的值域为：，
即，
，
，，
经检验不合题意，舍去，故，
当时，即时，的值域为：，
即，
，
，舍去，
当时，的值域为：，
即，
，
，或，
经检验或满足题意，
所以存在或或，的值域为区间，且的长度为