江苏省镇江中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

这是一份江苏省镇江中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题，共20页。试卷主要包含了 复平面内表示复数的点位于， 的值是， 在中，，则， 已知为锐角，，则， 在中，若，则此三角形为， 以下说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
江苏省镇江中学2021-2022学年高一年级下学期期中考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复平面内表示复数的点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【1题答案】【答案】C【解析】【分析】由复数运算可得对应的点的坐标，由此可得结果.【详解】，对应的点为，位于第三象限.故选：C.2. 的值是（    ）A.  B.  C.  D. 【2题答案】【答案】A【解析】【分析】利用余弦两角和公式计算即可.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查余弦两角和公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.3. 在中，，则（    ）A  B.  C.  D. 【3题答案】【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理即可求得.【详解】在中，由正弦定理，可得，可得：，为锐角，．故选：B4. 已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（    ）A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D【4题答案】【答案】A【解析】【分析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因为，，，选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；故选：A.5. 已知为锐角，，则（    ）A.  B.  C. 3 D. 【5题答案】【答案】A【解析】【分析】利用两角和的正切公式求出后可得正确的选项.【详解】由题设可得，故选：A.6. 在中，若，则此三角形为（      ）A. 等边三角形 B. 等腰三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【6题答案】【答案】C【解析】【详解】在中，由以及正弦定理可知，，
即，∵，，∴，，
所以三角形为直角三角形.
故选：C.7. 关于函数y=sin（2x+φ）（）有如下四个命题：甲：该函数在上单调递增；乙：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数；丙：该函数图象的一条对称轴方程为；丁：该函数图像的一个对称中心为.如果只有一个假命题，则该命题是（    ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据题意首先求出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案.【详解】令，则函数的增区间为…①；函数图象向右平移个单位长度得到…②；令…③；令…④.若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令，由①，函数的增区间为，则甲正确，矛盾.令，由①，函数的增区间为，则甲错误，满足题意.由③，函数的对称轴方程为，时，，则丙正确.由④，函数的对称中心为，令，丁错误.不合题意；若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的的两个端点的中点为对称中心，由①，令，结合④，令，由函数的奇偶性，取k=0，，由③，，令，则丙错误.不合题意；若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，由①，函数的增区间为，甲正确.取区间中点，则丁错误.不合题意； 若丁错误，则甲乙丙正确. 由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，，由①，函数的增区间为，甲正确.由③，.k=-2时，，则丙正确.由④，，令，④错误.满足题意.综上：该命题是丁.故选：D.8. 课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以，由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图直线与的边、分别相交于点、．设，，，．则与的边和角之间的等量关系为（    ）A.  B. C.  D. 【8题答案】【答案】A【解析】【分析】过点作，取单位向量，由结合平面向量数量积的定义化简可得结果.【详解】如下图所示，过点作，在中，，取单位向量，则，即，，，，所以，，即.故选：A.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 与的夹角为【9题答案】【答案】BC【解析】【分析】由，，，求得，再逐项判断.【详解】，∴，∴，∴，，，∴与的夹角不是，故选：BC.10. 以下说法正确的有（    ）A. 若，则为钝角三角形B. 将图象先向左平移个单位，再将横坐标变为原来2倍，纵坐标不变，则解析式变为．C. D. 已知，则【10题答案】【答案】ABD【解析】【分析】对于A,可以求出，故三角形是钝角三角形，所以选项A正确；对于B，利用三角函数的图象的变换得到，所以选项B正确；对于C，所以，故选项C错误；对于D，计算得到所以选项D正确.【详解】解：对于A,中，已知三边边为最大边，由于，故三角形是钝角三角形，所以选项正确；对于B，将图象先向左平移个单位得到，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则解析式变为，所以选项B正确；对于C，，所以，故选项C错误；对于D，因为，所以，两边平方，可得，则所以选项D正确.故选：ABD11. 在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，为虚数单位，则下列判断中正确的有（    ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【11题答案】【答案】AC【解析】【分析】根据复数与向量的对应、向量的模、复数运算、数量积运算等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】对于A，，故A正确，对于B，令，满足，但，即，故B错误，对于C，令，，故C正确，对于D，如，但，所以D选项错误.故选：AC12. 在锐角中，角对边分别为，设向量，且，则下列选项正确的是（    ）A.  B. 的取值范围是C.  D. 【12题答案】【答案】CD【解析】【分析】利用正弦定理，余弦定理以及三角函数的和差公式，逐个选项进行验证求解【详解】在锐角中，角对边分别为，设向量，且，所以可得：，而，所以可得：，可得，故A错误由正弦定理可得：，所以可得或，可得或（舍）所以C正确，，所以所以，可得，可得由正弦定理可得，所以B错误；，所以所以D正确;故选：CD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知复数，则____.【13题答案】【答案】【解析】【详解】14. 中，∠B=60°，边AB=4，面积为，则AC=___________．【14题答案】【答案】2【解析】【分析】先利用三角形面积求得BC，再利用余弦定理求解.【详解】由，得，解得，由余弦定理得：，，解得，故答案为：215. 如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB､CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为___________米．【15题答案】【答案】【解析】【分析】在中利用锐角三角函数求出，再由正弦定理求出，最后根据锐角三角函数求出；【详解】解：在中，，解得，其中，在中，，所以，由正弦定理得，，故．在中，，所以，估算该雕像的高度为米．故答案为：16. 设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若，则___________.【16题答案】【答案】【解析】【分析】利用余弦方程，解出的值，然后得到，，代入，利用正切的两角差公式求出的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可.【详解】因为，则有或，，，解得或，，，又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，所以，，，，，，…，故，，所以，即，则，解得，故.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知复数(为虚数单位)．（1）若，求复数的共轭复数；（2）若z是关于x的方程的一个虚根，求实数m的值．【17题答案】【答案】（1）；    （2）2．【解析】【分析】(1)结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可；(2)将z代入二次方程即可求出m的值．【小问1详解】复数为虚数单位，，∴复数的共轭复数；【小问2详解】是关于的方程一个虚根，，整理得：，则2－m＝0，且2m－4＝0，故．19. （1）已知，求sin2α，cos2α，tan2α；（2）已知，求．【19题答案】【答案】（1）；； ；（2） ．【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、余弦公式求解；（2）设，利用二倍角的余弦公式求解.【详解】因，且，所以又因为，所以,所以；所以，，；（2）设，则，且，所以.20. 已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）设，，分别为内角，，的对边，已知，，且，求的值.【20题答案】【答案】（1）()；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式将函数化为，再利用整体法结合正弦函数的单调性即可求出的单调递增区间；（2）由求出角，再由，求出，最后根据结合余弦定理即可求出答案.【详解】解：（1），令得()，∴的单调递增区间为().（2）由得，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由余弦定理得，∴.21. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．（1）求与共线的单位向量的坐标；（2）求∠OCM的余弦值；（3）是否存在实数λ，使若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．【21题答案】【答案】（1）或；    （2）；    （3）存在；.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算和单位向量的定义可求得答案；（2）根据向量的夹角运算公式可求得答案；（3）设，根据向量垂直的坐标表示可求得．分，讨论可求得的范围.【小问1详解】解：因点，所以，所以或；【小问2详解】解：由题意可得，故．【小问3详解】解：设，其中．若，则，即，可得．若，则不存在，若，则，故．23. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝6，．（1）求A的大小；（2）M为△ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，___________，求△ABC的面积．请在下面三个条件中选择一个作已知条件补充在横线上，使△ABC存在，并解决问题．①M为△ABC的外心，AM＝4；②M为△ABC的重心，；③M为△ABC的内心，．(注：三角形的三边中垂线的交点称为外心，三角形的三条中线的交点称为重心，三角形的三条角平分线的交点称为内心)【23题答案】【答案】（1）；    （2）﹒【解析】【分析】(1)结合正弦定理边化角和三角恒等变换即可求出sin，从而求出A；(2)根据正弦定理可求△ABC外接圆半径，由此可判断不能选择①.若选②：根据AM长度计算出中线AD长度，再根据和余弦定理分别列出关于b、c的方程即可求出b、c，从而求解三角形面积；若选③：根据M是内心，求出，根据和余弦定理分别列出关于b、c的方程，求出bc即可求出三角形面积．【小问1详解】∵，∴，即由正弦定理得，，即，∵，∴，∴，又，∴，∴；【小问2详解】设△ABC外接圆半径为R，则根据正弦定理得，，若M为△ABC的外心，则AM为外接圆半径，，①与此矛盾，故不能选①；若选②：∵为该三角形的重心，则为线段的中点且，又，∴，即，(*)又由余弦定理得，即，(**)联立(*)(**)解得，∴；若选③：∵为的内心，∴，由得，∵，∴，即，由余弦定理可得，即，∴，即，∵，∴，∴．25. 已知函数f(x)=-9（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9．（1）求出f(x)的最小正周期，并证明；（“周期”要证，“最小”不用证明）（2）若，求f(x)的值域；（3）是否存在正整数n，使得f(x)=0在区间[0，nπ]内恰有2001个根，若存在，求出n的值：若不存在，说明理由．【25题答案】【答案】（1）最小正周期为；证明见解析    （2）    （3）存在；【解析】【分析】（1）利用三角函数周期性的定义求解； （2）根据，得到，设，，转化为二次函数求解；（3）分和，将函数转化为二次函数求解.【小问1详解】解：因为，，所以的最小正周期为．【小问2详解】若，则，设，则，则，所以，所以其值域为；【小问3详解】存在正整数，使得在区间内恰有2021个零点．当时，．设，则，于是，令，得或，此时，或或，其中，当时，．设，则，于是，令，解得或，故在没有实根．综上，在上有4个零点，而，所以函数在有2001个零点．