江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

南昌十中2021-2022学年度高一下学期期中考试题

数学

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由题知，，再求交集即可.

【详解】解：解不等式得，故，

解不等式得，故，

所以.

故选：B

2. 某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（    ）

A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有10人

B. 这100名学生成绩的众数为85

C. 估计全校学生成绩的平均分数为75

D. 这100名学生成绩的中位数为

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】A由直方图求区间上的样本数量；B由频率的大小确定众数的位置；C、D根据频率直方图求出平均数、中位数.

【详解】A：由直方图知：内的学生有人，正确；

B：由图知：内的学生频率最大，则众数为85，正确；

C：全校学生成绩的平均分数为，错误；

D：由，则中位数在区间内，令中位数为，则，可得，正确.

故选：C

3. 的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】诱导公式变形后由两角差的正弦公式计算．

【详解】．

故选：D．

4. 已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是（    ）

A.  B.

C.  D.

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】先由图形可得，然后计算周期并得到，最后代入点，最后可得结果.

【详解】由图形可知：，，又，所以

所以，代入点，

所以，则

又，所以令，则

故

故选：C

5. 甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：

则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（    ）

A. 0.24 B. 0.28 C. 0.30 D. 0.32

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由概率的性质求得甲购买A口罩、乙购买B口罩的概率，再应用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求概率.

【详解】由表知：甲购买A口罩概率为，乙购买B口罩概率为，

所以甲、乙购买同一种口罩的概率.

故选：B

6. 已知，，则（    ）

A. 3 B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由角的范围及平方关系求得，利用半角公式即可求目标式的值.

详解】由，又，，则，

所以.

故选：D

7. 已知，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知及诱导公式可得，再应用二倍角余弦公式求目标式的值.

【详解】由，

又.

故选：C

8. 已知函数在上有且只有2个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】将问题转化为在上有且只有2个解，根据正弦型函数的性质求的范围.

【详解】由，令，

所以，而有，

所以在上有且只有2个解，故，故.

故选：A

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9. 下列说法正确的有（    ）

A. 若向量，，则

B. 零向量没有方向

C. 已知向量，，，若，，则

D. 已知向量，是两个非零向量，若，则

【9题答案】

【答案】AD

【解析】

【分析】A由相等向量定义判断；B由零向量的定义判断；C注意为零向量的情况；D将题设等式两边平方，应用数量积的运算律展开化简判断.

【详解】A：由，，又相等向量的方向、长度都相等，易知：，正确；

B：零向量的方向任意，错误；

C：若为零向量时，不一定成立，错误；

D：由，则，应用数量积的运算律展开得，故，正确.

故选：AD

10. 下列各式中，值为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【10题答案】

【答案】ABC

【解析】

【分析】A二倍角余弦公式化简求值；B和角正切公式化简求值；C诱导公式、二倍角正弦公式化简求值；D辅助角公式化简即可.

【详解】A：，符合；

B：，符合；

C：，符合；

D：，不符合.

故选：ABC

11. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（    ）

A. 这10天日均值的80%分位数为60

B. 从日均值看，前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差

C. 从日均值看，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差

D. 这10天中日均值的平均值是50

【11题答案】

【答案】BC

【解析】

【分析】A由百分位数的定义求80%分位数；B、C求出前后5天的极差、方差判断；C由平均值求法求10天中日均值的平均值即可.

【详解】由图知：从小到大为，而，

所以分位数为，A错误；日均值的平均值，D错误；

前5天极差为，后5天极差为，B正确；

前5天平均值为，后5天平均值为，

所以前5天的日均值的方差，后5天日均值的方差，C正确；

故选：BC

12. 已知函数，则（    ）

A. 函数的最小正周期为2

B. 点是函数图象的一个对称中心

C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称

D. 函数在区间上单调递增

【12题答案】

【答案】BC

【解析】

【分析】先将化简为，再结合余弦函数的性质判断4个选项即可.

【详解】，故最小正周期为，A错误；

，点是一个对称中心，B正确；

向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确；

，单调递减，D错误.

故选：BC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 化简______．

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】利用向量加减法运算化简，注意相反向量的应用.

【详解】.

故答案为：

14. 已知，，则______．

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】由已知，利用差角正切公式求得，根据角的范围即可求.

【详解】由，可得，又，

所以.

故答案为：

15. 若，化简______．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】由题设可得，再应用平方关系、二倍角正弦公式化简目标式即可.

【详解】由题设，，则，

又.

故答案为：

16. 已知函数，当时，关于x的方程恰有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是_______．

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】令，问题转化为与的交点个数，结合正弦型函数的值域，讨论m判断有2个交点情况下m的范围.

【详解】由，有，则

而原方程可化为，可得，

当时，、分别与有两个交点；

当时，、分别与有一个交点；

当时，此时原方程有2个实数根；

当时，此时原方程有1个实数根；

当时，此时原方程有2个实数根；

当时，，此时原方程有3个实数根；

当时，，此时原方程有1个实数根；

综上，.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：令并求出的值域及不同值域区间上自变量对应值个数，再将问题化为由与的交点个数求参数范围.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （1）利用三角公式化简：

（2）已知，求

【17题答案】

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据切化弦转化为正余弦函数，再由和差角的正弦公式，二倍角公式，诱导公式求解即可；

（2）根据角的变换及两角和差的余弦公式化简，再由同角三角函数的基本关系转化为正切函数即可求解.

【详解】（1）

=  

 =

=

=

=

=1

（2）因为

=

==0

所以

所以

18. 如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形．

（1）求扇形的周长；

（2）当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值．

【18题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由公式求弧AB长，即可得到周长；

（2）设，即可由三角函数表示出，即可得矩形面积与的函数式，最后进行变换得，即可讨论最值最值成立的条件.

【小问1详解】

由题，弧AB长为，故扇形的周长为：；

【小问2详解】

设，则，，

所以，

所以矩形面积

，

，所以当时，取得最大值，

即当C在弧AB中点时，矩形的面积最大，最大值为.

20. 已知，是关于x的一元二次方程的两根．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【20题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由韦达定理结合平方关系得出的值；

（2）先判断出，则，再代值计算即可.

【小问1详解】

因为，是关于x的一元二次方程的两根，

所以，，且，

所以，

所以，得，满足，

所以，即

【小问2详解】

因为，

又因为，所以，所以

所以

22. 已知．

（1）求的值；

（2）已知，，，求的值．

【22题答案】

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由已知，利用二倍角余弦公式及商数关系可得，再应用万能公式即可求目标式的值.

（2）由题设得，结合判断的范围，利用差角正切公式求得，即可确定的值．

【小问1详解】

由题设，，则，

又.

【小问2详解】

由题设，，，则，故，

又且，则，则

而， 故.

24. 已知函数，其中，且．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，且，求的值．

【24题答案】

【答案】（1）递增区间为且；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由二倍角正余弦及辅助角公式可得，根据已知条件可得，，进而有，再应用正弦函数性质求单调增区间.

（2）根据已知求得，结合角的范围求得，再由及和角余弦公式求值即可.

【小问1详解】

由题设，，

又，即，，故，

所以时，则，

令，，可得，.

所以的单调递增区间为且.

【小问2详解】

由（1）知：，可得，

又，则，故，

而.

26. 已知数的相邻两对称轴间的距离为.

（1）求的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；

（3）对于第（2）问中函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.

【26题答案】

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；

（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；

（3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.

小问1详解】

由题意，函数

因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.

故

【小问2详解】

将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.

再把橫坐标缩小为原来的，得到函数的图象.

当时，，

当时，函数取得最小值，最小值为，

当时，函数取得最大值，最大值为，

故函数的值域.

【小问3详解】

由方程，即，即，

因为，可得，

设，其中，即，结合正弦函数的图象，

可得方程在区间有5个解，即， 

其中，

即

解得

所以.

综上，

【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；

（2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用换元法；