南昌育山高级中学2022年高一年级第二学期期中考试数学试卷解析版

高一年级期中考试数学试卷

考试时间：120分钟     分值：150     命题人：姚素杰

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题

1．已知角的终边过点，且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义，由求得参数，再求即可.

【详解】

角的终边过点，

故可得，解得.

故.

故选：D.

2．函数的图象（       ）

A．关于点对称 B．关于点对称

C．关于直线对称 D．关于直线对称

【答案】D

【解析】

【分析】

根据余弦函数的对称中心、对称轴，应用整体代入判断各选项的正误.

【详解】

由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；

由余弦函数的对称轴为，令，得，，

当时，，易知C错误，D正确；

故选：D

3．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（       ）

A．与共线 B．与共线

C．与相等 D．与相等

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量共线概念即可求解结果．

【详解】

因为与不平行，所以与不共线，A错

因为D，E分别是AB，AC的中点，则与平行，故与共线，B正确；

因为与不平行，所以与不相等，C错；

因为，则D错．

故选：B

4．已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+）＝（       ）

A． B．﹣ C． D．﹣

【答案】D

【解析】

【分析】

根据韦达定理可得，，结合，可得，根据两角和的余弦公式可得，由此可得结果.

【详解】

因为sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，

所以，，

因为，且，所以且，

所以，

所以

.

故选：D.

【点睛】

本题考查了韦达定理，两角和的余弦公式，属于基础题.

5．已知扇形的圆心角为，面积为8，则该扇形的周长为（       ）

A．12 B．10 C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用已知条件求出扇形的半径，即可得解周长．

【详解】

解：设扇形的半径r，扇形OAB的圆心角为4弧度，弧长为：4r，

其面积为8，

可得4r×r＝8，

解得r＝2．

扇形的周长：2+2+8＝12．

故选：A．

6．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；

解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.

【详解】

解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

7．已知，设，则（       ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量的数乘定义求解．

【详解】

由得是线段上的点，且，如图，

因此，，．

故选：D．

8．已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

求出函数在上的值域后可求实数m的取值范围.

【详解】

,

当时，，所以，

故的值域为，

因为在上有解即在上有解，

故即，

故选：C.

9．已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（       ）

A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移

B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移

C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍

D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据给定图象求出函数的解析式，再求出由到的变换即得.

【详解】

观察图象知A=2，周期为T，则，即，，

又，即，而，则，

所以，

把图象向左平移得图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得.

故选：C

10．下列说法中正确的个数是（       ）

①单位向量都平行；②若两个单位向量共线，则这两个向量相等；

③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；

④有相同起点的两个非零向量不平行；

⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量的定义判断．

【详解】

①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；

②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；

③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；

④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；

⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．

正确的有两个．

故选：A．

11．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】

将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

【点睛】

易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

12．已知O为△ABC所在平面内一点，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知，是的外心，利用数量积投影意义即可得到结果.

【详解】

设分别为的中点，

∵，

,

是边的中垂线，

∴，是的外心，

，

故选：B

二、多选题

13．(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（       ）

A．) B．()

C．() D．()

【答案】CD

【解析】

根据角度制与弧度制不可混用，可判定AB错误，利用终边相同角的关系可以判定CD正确.

【详解】

A，B中弧度与角度混用，不正确；

，所以与终边相同.

，所以也与终边相同，即与终边相同.

故选：.

【点睛】

本题考查终边相同的角，难度较易，注意角度制与弧度制不可混用.

14．（多选）已知，则下列结论正确的是（       ）

A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线

C． D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

由可得，从而可对ABD进行判断，再对变形化简可对C进行判断

【详解】

因为，所以，

所以，

因为有公共端点，所以C，B，D三点共线，且，所以BD正确，A错误，

由，得，所以，所以C错误，

故选：BD

15．在平行四边形中，是对角线的交点，下列结论不正确的是（       ）

A．，

B．

C．

D．

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用向量相等的概念可判定选项A，利用向量的加法法则可判定选项B，C，D.

【详解】

选项A：因为平行四边形，所以，，故选项A正确；

选项B：因为，与不是相等向量，故选项B错误；

选项C：因为，，所以，故选项C正确；

选项D：因为，故选项D错误；

故选：BD.

16．已知函数的部分图象如图所示，则（       ）

A．

B．

C．在区间上单调递增

D．若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】

由图知即可求；根据且求；代入验证并结合正弦函数的单调性判断在上单调性；由代入解析式，利用诱导公式转化函数式判断是否成立.

【详解】

由图知：，而，可得，A正确；

∴，又且，有，，又，

∴，即，B错误；

综上，，

∴，则，显然在上不单调，C错误；

若，则，故，D正确.

故选：AD

第II卷（非选择题）

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三、解答题

17．已知函数．

（1）化简；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）利用三角函数的诱导公式化简即可；

（2）利用诱导公式结合（1）中的结果求解．

【详解】

（1）函数，

；

（2）因为，即，

所以．

18．已知＝(1，0)，＝(2，1).

（1）求＋3的坐标；

（2）当k为何实数时，k－与＋3平行，平行时它们是同向还是反向？

【答案】（1）；（2），反向.

【解析】

【分析】

（1）根据向量加法、数乘的坐标运算计算即可.

（2）根据两个向量平行坐标运算可得参数，然后简单判断即可.

【详解】

（1）由，，所以＋3

（2）由

又，所以

所以，所以反向

19．已知角的终边上有一点，．

(1)若，求实数a的值．

(2)若且，求实数a的取值范围．

【答案】(1)2

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用三角函数的定义列出方程，求出；（2）由且得到所在象限，故可以得到点的坐标的特征，列出不等式，求出范围

(1)

依题意，得，所以．

(2)

由且得为第四象限角，故，所以．故实数a的取值范围是．

20．已知.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先由诱导公式求得，再用同角三角函数间的关系求出，最后由二倍角的余弦公式求出的值；

（2）利用二倍角公式及同角三角函数关系化简该式，代入的值即可求值.

(1)

.

，

两边平方得，

解得，

.

(2)

21．已知函数．

(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；

(2)若，求函数的值域．

【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为，

(2)

【解析】

【分析】

（1）由二倍角公式降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的周期和单调性求解；

（2）求出的范围，由正弦函数性质得函数值取值范围．

(1)

最小正周期,

得，

所以单调递增区间为，

(2)

因为，所以，

因此，函数的值域．

22．已知函数．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知．

(1)求的值；

(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值．

条件①：的最小正周期为；

条件②：的最大值与最小值之和为0；

条件③：．

【答案】(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）先对函数化简得，若选择①和②，则，，求出的值，从而可得的解析式，从而可求出，若选择①和③，则，求出的值，从而可得的解析式，从而可求出，若选择②和③时，不存在，

（2）由（1）得到的解析式，求出函数的增区间，再根据题意可求出的最大值

(1)

（1）若选择①和②，则

，，

解得，

所以

所以，

若选择①和③，则

，

解得，

所以，

所以，

若选择②和③，则

，且，这样的不存在，

(2)

由（1）可知，若选择①和②，，

由，得

，

所以的增区间为，

因为函数在区间上是增函数，

所以实数的最大值为，

若选择①和③，则，

由，得

，

所以的增区间为，

因为函数在区间上是增函数，

所以实数的最大值为，