浙江省台州市三门启超中学等两校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份浙江省台州市三门启超中学等两校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了1—8， 已知点A， 奔驰定理， 已知向量，，则等内容，欢迎下载使用。
2021学年第二学期二校期中联考高一数学满分：150分     考试时间：120分钟    考试范围：必修第二册6.1—8.3一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知为虚数单位，，则复平面上对应的点在（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【1题答案】【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为，所以复数对应的点是，所以对应的点在第一象限.故选：A.2. 已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（    ）A. （-7，-4） B. （7，4）C. （-1，4） D. （1，4）【2题答案】【答案】A【解析】【分析】首先设，根据得到，再求的坐标即可．【详解】设，则,所以，，即,所以 ,故选：A3. 下列各组平面向量中，可以作为平面的基底的是（    ）A.  B. C.  D. 【3题答案】【答案】D【解析】【分析】已知平面内两个不共线的向量才可以作为平面内一组基底，再根据平面向量共线的坐标表示即可求出答案．【详解】解：已知平面内两个不共线的向量才可以作为平面内一组基底，选项A中，，则，故A错；选项B中，由于，则，故B错；选项C中，由于，则，故C错；选项D中，，则不共线，可作为基底，故D对；故选：D．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．4. 已知正三角形的边长为4，那么的直观图的面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【4题答案】【答案】A【解析】【分析】以BC中点O为原点，BC为x轴建立直角坐标系，再画出直观图形，根据，，, 即可得到答案.根据直观图的画法，即可得到答案.【详解】如图所示，则的面积为：.故选：A.5. 已知一个圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ）．A.  B.  C.  D. 【5题答案】【答案】C【解析】【分析】由条件底面积和侧面积建立方程，求出圆锥的底面半径和侧棱，再求出高，然后再求体积.【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则解得所以．圆锥的体积 故选：C6. 在中，，则 A.  B.  C.  D. 【6题答案】【答案】A【解析】【分析】先根据得到为的重心，从而，故可得，利用可得，故可计算的值．【详解】因为所以为的重心，所以,所以,所以，因为，所以，故选A．【点睛】对于，一般地，如果为的重心，那么，反之，如果为平面上一点，且满足，那么为的重心．7. 已知点，则向量在方向上的投影为A.  B.  C.  D. 【7题答案】【答案】A【解析】【详解】，，向量在方向上投影为，故选A． 8. 奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ）A.  B.  C.  D. 【8题答案】【答案】D【解析】【分析】直接根据向量的基本运算得到，再结合“奔驰定理”即可求解结论．【详解】解：为三角形内一点，且满足，，．，故选：D．二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 已知是虚数单位，则下列说法正确的有（    ）A. B. “”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件C. 若复数，且，则D. 若复数满足，则复数的虚部为【9题答案】【答案】ABD【解析】【分析】根据复数的乘方运算法则判断A，根据复数的分类判断B，根据复数模的计算公式判断C，根据复数相等的充要条件判断D；【详解】解：对于A：因为，，，所以，故A正确；对于B：由推不出是纯虚数，如，此时为实数，故充分性不成立；由为纯虚数，则，故必要性成立，故“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件，即B正确；对于C：因为，且，所以，解得，故C错误；对于D：设，则，则，故，解得，故D正确；故选：ABD10. 已知向量，，则（    ）A.  B. 向量在向量上投影向量为C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则【10题答案】【答案】BCD【解析】【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误；设向量在向量上的投影向量为，根据题意得出，求出的值，可判断B选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，，所以，与不共线，A选项错误；对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；对于C选项，，，C选项正确；对于D选项，若，则，所以，，D选项正确.故选：BCD.11. 在中，角，，所对的边分别为，，，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（    ）A. ，， B. ，，C. ，， D. ，，【11题答案】【答案】BD【解析】【分析】对于ABC，求出顶点A到BC边的距离与比较大小即可，对于D，由三个角和一边确定唯一个三角形【详解】解：对于A，顶点A到BC边的距离为，因为，所以三角形有两个解，所以A不符合题意；对于B，顶点A到BC边的距离为，因为，所以三角形是直角三角形，有唯一解，所以B符合题意；对于C，顶点A到BC边的距离为，所以三角形无解，所以C不符合题意；对于D，因为，，所以，因为，所以三角形的形状是唯一的，所以D符合题意，故选：BD12. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（   ）A. 若，，，则B. 若，，，且，则C. 若直线过的中点，则D. 【12题答案】【答案】AB【解析】【分析】由，，即可判断A；将两边平方可得的值，再结合即可判断B；设的中点为，则再结合即可得之间的关系可判断C；取点使得，，，则点为的重心，可得，再利用三角形面积公式即可求，即可求得，即可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：若，，则，因为，，代入可得即，所以，可得，故选项A正确；对于B：若，，则，所以所以，即，所以，可得，所以，故选项B正确；对于C：设的中点为，则若直线过的中点，则存在实数满足，即，所以，所以，，所以不一定，故选项C不正确；对于D：取点使得，，，则，所以点为的重心，因为重心到中点的距离等于中线的，所以重心到的距离等于高线的，可得，同理可得，，所以，所以，同理可得：，，所以，故选项D不正确；故选：AB.【点睛】结论点睛：若点O为所在平面内一点，且，则.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹围成的图形面积为_______．【13题答案】【答案】25π【解析】【分析】设z对应的点为(x，y)，根据题意可求(x，y)的轨迹，据此即可求出其围成的面积．【详解】，设z＝x＋yi，x、y∈R，则z在复平面对应点为(x，y)，则，∴z在复平面上对应点的轨迹围成的图形为以原点为圆心，半径为5的圆，∴其面积为25π．故答案为：25π﹒14. 已知向量的夹角为，则________．【14题答案】【答案】7【解析】【分析】将模平方，结合数量积公式，化简计算，即可得答案.【详解】.故答案为：715. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为__________.【15题答案】【答案】【解析】【分析】画图分析可得,该球的直径与圆柱的底面直径和高构成直角三角形,进而求得圆柱的底面半径,进而求得球的体积与圆柱的体积的比值.【详解】 如图有外接球的体积,圆柱的底面直径,故底面半径.故圆柱体积.故球的体积与圆柱的体积的比值为.故答案：【点睛】本题主要考查了圆柱与外接球的关系,需要根据球的直径和圆柱的底面直径和高构成直角三角形进行求解.属于基础题.16. 如图，某景区的山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角；从B处攀登3千米到达D处，回头看索道AC，发现张角；从D处再攀登4千米到达C处，则索道AC的长为___________千米.【16题答案】【答案】【解析】【分析】中根据，求出，利用内角和定理算出，从而千米，利用余弦定理算出．然后在中，根据两边、长和夹角，利用余弦定理解出值，从而得出．【详解】解：在中，千米，，得中，千米，（千米）在中，千米， （千米）千米．故答案为：．四、解答题：本题共6题，共70分．第17题10分，第18-22题每小题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 为何实数时，复数是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？【17题答案】【答案】（1）或；（2）且；（3）【解析】【分析】先对复数整理得，（1）要为实数，只要虚部为零，令即可；（2）要为虚数，只要虚部不为零，令即可；（3）要为纯虚数，只要实部为零，虚部不为零，由求解即可【详解】解：  ．（1）由得或，即或时，为实数．（2）由得且，即且时，为虚数．（3）由得，即时，为纯虚数．18. 已知向量，.（1）若向量，且，求的坐标；（2）若向量与互相垂直，求实数的值.【18题答案】【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）设，利用两个向量平行的性质，用待定系数法求出向量的坐标．（2）由题意利用两个向量垂直的性质，代入模即可求出的值．【详解】解：（1）设，因为，所以，因为，所以，解得或，所以或.（2）因为向量与互相垂直所以，即，而，，所以，，因此，解得.19. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【19题答案】【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形. 20. 如图，在平行四边形中，、分别在、上，且，，，.
 （1）试用、表示、；（2）若，，，求的值.【20题答案】【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量的减法、加法法则可得出、关于、的表达式；（2）利用平面向量数量积的定义以及运算性质可求得的值.【详解】（1）由已知可得，，所以，，；（2）由平面向量数量积的定义可得，所以，.21. 已知正四棱台(由正四棱锥截得且截面是正方形)的底面边长分别为20和10．（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45o，求棱台的侧面积．（2）若所有侧面的面积和为780，求棱台的斜高（侧面的高）及对应的正四棱锥的体积．【21题答案】【答案】（1）    （2），【解析】【分析】(1)由条件求正四棱台的斜高，再求其侧面积；(2)根据侧面积的大小求出正四棱台的斜高，再求四棱台和四棱锥的高，结合锥体体积公式求四棱锥的体积.【小问1详解】如图，设分别为上、下底面的中心，过作于过作于连接，则为正四棱台的斜高，由题意知，在中，，又，斜高，∴  棱台的侧面积.【小问2详解】取的中点，的中点，则为棱台的斜高，四条侧棱延长后交于点， 由题意侧面积斜高在直角梯形中，，，∴  由棱锥的性质得，，所以则正四棱锥的体积为.【点睛】23. 如图,某大型景区有两条直线型观光路线，, ,点位于的平分线上，且与顶点相距1公里.现准备过点安装一直线型隔离网(分别在和上)，围出三角形区域，且和都不超过5公里.设，(单位：公里).（Ⅰ）求的关系式；（Ⅱ）景区需要对两个三角形区域，进行绿化.经测算，区域每平方公里的绿化费用是区域的两倍，试确定的值,使得所需的总费用最少.【23题答案】【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当， (单位：公里)时,所需的总费用最少..【解析】【详解】试题分析：(Ⅰ) 由题意得，利用面积公式及条件可得 (其中)；（Ⅱ）设区域每平方公里的绿化费用为 (为常数)，两区域总费用为，则有，记，由(Ⅰ)可知，即，用均值不等式求最值即可.试题解析：(Ⅰ)解法一：由题意得，故，即，所以 (其中). 解法二：在中，由余弦定理得：，则，同理可得，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，因为，两式相除可得，化简得 (其中，).(Ⅱ)设区域每平方公里的绿化费用为 (为常数)，两区域总费用为，则有，记，由(Ⅰ)可知，即，则，当且仅当，即解得此时等号成立.答：当， (单位：公里)时,所需的总费用最少.