重庆市鱼洞中学校2021-2022学年高一下学期期中数学试题（解析版）

重庆市鱼洞中学校2021-2022学年下期半期考试

高一数学试题

考试时间：120分钟；命题人：侯昭琦

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题

1. 复数等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】按照复数加法和减法法则进行求解.

【详解】

故选：A.

2. 已知平面向量的夹角为．则单位向量在上的投影为（    ）．

A.  B.  C.  D. 1

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】列出向量在上的投影公式，直接计算求解

【详解】单位向量在上的投影为

故选：C

3. 鱼中高一同学测量学校教学大楼的高度时，在跑道上选择了相距24米的两点，分别测得楼顶D的仰角，又测得楼底C与A的连线与跑道所成的角（三处在同一水平面上），则学校教学大楼的高度为（    ）．

A. 24 B. 16 C. 32 D. 23

【3题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】设出楼高，表示出，再由余弦定理即可求解.

【详解】设楼高米，则，，又由余弦定理知：，

即，解得或（舍去），故楼高为24米.

故选：A.

4. 若i是虚数单位，则的虚部为（    ）．

A. 2 B. 0.6 C. 0.8 D. 1

【4题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先化简复数，再求虚部即可.

【详解】，故虚部为0.6.

故选：B.

5. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（　　）

A. 4 B. 8 C.  D.

【5题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据几何体的三视图还原空间几何体的直观图，进一步求出三角形的最大面积．

【详解】根据几何体的三视图还原得到该几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体．

如图所示：

由于，下底面为等腰直角三角形．

可得，，，，

所以该四面体四个面的面积中，最大的是．

故选：C．

【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.

6. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（    ）．

A.  B. 2 C.  D.

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】先求出底面圆周长，再计算圆锥侧面积即可.

【详解】

如图，由题意知等腰直角三角形，则，底面圆周长为，

故圆锥的侧面积为.

故选：D.

7. 计算：（    ）

A.  B.  C. 0 D.

【7题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】直接由复数的除法及复数的乘方运算求解即可.

【详解】因为，

故.

故选：A.

8. 如图所示，已知，点C是点B关于点A的对称点，和交于点E，若，则实数的值为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由题意得，，用表示，由三点共线即可求出.

【详解】由题意知：点为中点，则，又，则，故

，

又三点共线，可得，解得.

故选：B.

二、多选题

9. 若向量与共线，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【9题答案】

【答案】AD

【解析】

【分析】由向量共线可得，进而得，从而可得模长.

【详解】因为，所以，即．

因为，所以．

故选：AD.

10. 下面的命题正确的有（    ）

A. 方向相反的两个非零向量一定共线

B. 单位向量都相等

C. 若，满足且与同向，则

D. “若A、B、C、D是不共线四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”

【10题答案】

【答案】AD

【解析】

【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.

【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；

对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；

对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；

对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，

可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；

若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，

此时A、B、C、D是不共线四点，且，故D正确.

故选：AD.

11. 下列命题正确的是（    ）

A. 复数的模是

B. 复数的共轭复数为，则的一个充要条件是

C. 若是纯虚数，则实数

D. 关于的方程在复数范围内的两个根互为共轭复数

【11题答案】

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，直接求模，对于B，利用充要条件和共轭复数的定义判断，对于C，由实部为零，虚部不为零求解即可，对于D，直接求解方程即可

【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，

对于B，令，则，若时，则，此时，若，则，得，此时，所以的一个充要条件是，所以B正确，

对于C，因为纯虚数，所以，解得，所以C错误，

对于D，方程的根为，即复数范围内的两个根分别为或，所以两个根互为共轭复数，所以D正确，

故选：ABD

12. 在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（    ）

A. ，则的外接圆半径是4 B. 若，则

C. 在，解三角形有两解． D. 已知，则；

【12题答案】

【答案】BD

【解析】

【分析】A、B、C选项直接由正弦定理进行判断即可；D选项利用余弦定理判断即可.

【详解】对于A，设外接圆半径为，则，故，A错误；

对于B，由可得，又，故，B正确；

对于C，由可得，又，所以，三角形只有一解，C错误；

对于D，由可得，故，又，故，D正确.

故选：BD.

第II卷（非选择题）

三、填空题

13. 已知，复数的实部与虚部相等，则___________.

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的相关概念列式，解方程.

【详解】因为，

所以，

解得，

故答案为：.

14. 如图，矩形是平面图形斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为8，则平面图形的面积为___________.

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据直观图形和原图形面积之间的比例关系求解即可．

【详解】根据直观图与原图的面积比值为定值，可得平面图形的面积为.

故答案为：.

15. 已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱维的体积为，则线段长度的最大值为________．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】计算出棱锥的高和球的半径，再考虑所在的截面圆的半径后可求线段长度的最大值.

【详解】因为球的体积为，故球的半径满足，

故，

而，，，故，故，

故，

设到平面的距离为，则，故，

故在球面的截面圆上，设截面圆所在的平面为，

当与平面在球心的异侧时，有最大值，

设球心到平面的距离为，而外接圆的半径为，则，

故球心到平面的距离为，故截面圆的半径，

设在平面上的投影为，则的轨迹为圆，圆心为的外心即的中点，

当最长时最长，此时，

故长度的最大值为，

故答案为：.

【点睛】思路点睛：本题涉及到空间中动点的轨迹，注意根据高为定值确定出动点所在的曲线，再将空间问题平面化，从而解决最值问题.

16. 已知向量，，满足，，，则的最大值是______________.

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】设，，，根据已知条件可得，，整理可得，求得的范围即可求解.

【详解】设，，，，，，

则，，

整理得：，所以，

则，解得：，

所以，

故答案为：.

四、解答题

17. 已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是，，，求第四个顶点所对应的复数．

【17题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可．

【详解】设复数，，对应的点分别为

则，，，

所以，所以，所以

设第四个点为，则按照的顺序才能构成正方形，

所以，即，，

即，解得，

则，对应的复数为，

故答案为：

18. 已知向量．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．

【18题答案】

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；

（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；

【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，

由，可得，

即，解得，即，

所以；

（Ⅱ）依题意，

可得，即，

所以，

因为，

所以与的夹角大小是．

19. 在中，，，分别为内角，，的对边，已知．

（1）求．

（2）若的周长为，面积为，求．

【19题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据，由余弦定理转化为，再利用余弦定理求解；

（2）由的面积为，，再由，利用余弦定理求解.

【详解】（1）因为，

所以，

整理得，

所以．

因为，

所以．

（2），

所以．

又因为，，

所以，

解得．

20. 在中，角的对边分别为，已知.

（1）求边的长﹔

（2）在边上取一点，使得，求的值.

【20题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）在中，利用余弦定理即可求解；

（2）在中，由正弦定理可以求出，再利用与互补可以求出，得出是钝角，从而可得为锐角，即可求出和的值，利用展开代入数值即可求解.

【详解】在中，因为，，，

由余弦定理，

得

所以解得：或（舍）

所以.

（2）在中，由正弦定理，

得.

所以

在中，因为，

所以为钝角.

而，

所以为锐角

故

因为，

所以，

，

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用两角互补余弦互为相反数求出，可得为钝角，从而为锐角，可确定的值.

21. 在海岸A处，发现北偏东方向，距离A处n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

【21题答案】

【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．

【解析】

【分析】设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，利用解三角形的知识求解即可.

【详解】解：设缉私船用th在D处追上走私船，画出示意图，则有，，

在△ABC中，∵，，，

∴由余弦定理，得，

∴，且，

∴，BC与正北方向成90°角．

∵，

∴在△BCD中，由正弦定理，得，

∴．即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．

22. 在中，角、、的对边分别为、、，已知.

（1）若的面积为，求的值；

（2）设，，且，求的值.

【22题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用三角形的面积公式可求得的值，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；

（2）由结合二倍角公式可求得，求得和的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.

【详解】（1），，则，

的面积为，.

因此，；

（2），，且，所以，，即，.

，.

，

，

因此，.

【点睛】本题考查解三角形的综合问题，考查三角形面积公式的应用、平面向量数量积的计算、平面向量共线的坐标表示以及利用三角恒等变换思想求值，考查计算能力，属于中等题.