浙江省杭州市拱墅区拱宸中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份浙江省杭州市拱墅区拱宸中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．8，7 B．6，7 C．8，5 D．5，7
4．（3分）一元二次方程 x2+4x﹣2＝0 配方后正确的是（　　）
A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2
5．（3分）下列条件中，不能判别四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AB＝CD B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，BC＝CD
6．（3分）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（　　）
A．x（x+1）＝182 B．x（x﹣1）＝182
C． D．
7．（3分）甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如图所示统计图．根据统计图得出的结论正确的是（　　）

A．甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定
B．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
C．甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数
D．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
8．（3分）估计的值应在（　　）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
9．（3分）空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　）


A．若a＝16，S＝196，则有一种围法
B．若a＝20，S＝198，则有一种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法
D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
10．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为（　　）

A．4 B．8 C．8 D．10
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）若 有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 　 　．
13．（4分）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 　 　．
14．（4分）甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、每千克7元、每千克8元，若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，则混合后的糖果的售价应定为每千克 　 　元．
15．（4分）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，若▱ABCD的面积为16，且AH：HD＝1：3．则图中阴影部分的面积为 　 　．

16．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）；给出下列说法：①若a+c＝0，则方程必有实数根；②若a+b+c＝0，则方程必有两个不相等的实数根；③若b＝2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若b2﹣5ac＜0，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是 　 　．
三、解答题
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）用合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x＝3；
（2）3x2﹣4x+1＝0．
19．（8分）在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：
96 88 88 89 86 87
对打分数据有以下两种处理方式：
方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计：
平均分
中位数
方差
89
a
10.7
方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计：
平均分
中位数
方差
b
88
c
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由．
20．（10分）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．

21．（10分）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．
（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）
22．（12分）已知关于x的一元二次方程 x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，
①若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；
②若△ABC是等腰三角形，求k的值．
23．（12分）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．


2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区拱宸中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故A不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故B符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形；故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．（3分）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．8，7 B．6，7 C．8，5 D．5，7
【分析】找出7位同学投中最多的个数即为众数；将个数按照从小到大的顺序排列，找出中位数即可．
【解答】解：这组数据中出现次数最多的是8，出现了3次，
故众数为8，
这组数据重新排列为5、5、6、7、8、8、8，
故中位数为7．
故选：A．
【点评】此题考查了众数与中位数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
4．（3分）一元二次方程 x2+4x﹣2＝0 配方后正确的是（　　）
A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得出答案．
【解答】解：∵x2+4x﹣2＝0，
∴x2+4x＝2，
则x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
5．（3分）下列条件中，不能判别四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AB＝CD B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，BC＝CD
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断，只有D不能判别四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，A、B、C均能判定四边形ABCD是平行四边形；
D选项给出的四边形两组邻边相等，故不可以判断四边形是平行四边形．

故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
6．（3分）生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（　　）
A．x（x+1）＝182 B．x（x﹣1）＝182
C． D．
【分析】先求出每名同学赠的标本数，再求x名同学赠的标本总数，而已知全组共互赠了182件，根据等量关系可得到方程．
【解答】解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x﹣1）件，
那么x名同学共赠：x（x﹣1）件，
所以，x（x﹣1）＝182，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际运用，理解题意，找出等量关系，列出一元二次方程是解决本题的关键．
7．（3分）甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如图所示统计图．根据统计图得出的结论正确的是（　　）

A．甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定
B．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
C．甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数
D．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
【分析】分别根据方差、众数、平均数和中位数的定义解答即可．
【解答】解：由图可得，甲射击10次的成绩分别为5，6，6，7，5，6，6，6，7，6；乙射击10次的成绩分别为9，5，3，6，9，10，4，7，8，9．
甲的成绩起伏比乙的成绩起伏小，故A正确，符合题意；
甲的众数是6，乙的众数是9，故B错误，不符合题意；
甲的平均数为×（5+6+6+7+5+6+6+6+7+6）＝6，乙的平均数为×（9+5+3+6+9+10+4+7+8+9）＝7，故C错误，不符合题意；
甲的中位数是6，乙的中位数是7.5，故D错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查数据的收集与整理，熟练掌握方差、众数、平均数和中位数的意义是解题关键．
8．（3分）估计的值应在（　　）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
【分析】先计算出原式得6+，再根据无理数的估算可得答案．
【解答】解：原式＝+＝6+，
∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴9＜6+＜10．
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．
9．（3分）空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（　　）


A．若a＝16，S＝196，则有一种围法
B．若a＝20，S＝198，则有一种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法
D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
【分析】设矩形ABCD的宽AB为x米，则长BC为（40﹣2x）米，根据矩形面积公式列方程，再一一判断即可．
【解答】解：如图，设矩形ABCD的宽AB为x米，则长BC为（40﹣2x）米，
根据题意得：S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x，
A、当a＝16，S＝196时，﹣2x2+40x＝196，即x2﹣20x+98＝0．
解得x1＝10+，x2＝10﹣，均不符合题意，
故本选项说法错误，符合题意；
B、当a＝20，S＝198时，﹣2x2+40x＝198，即x2﹣20x+99＝0．
解得x1＝9（不符合题意舍去），x2＝11，
所以有一种围法，故本选项说法正确，不符合题意；
C、当a＝24，S＝198时，﹣2x2+40x＝198，即x2﹣20x+99＝0．
解得x1＝11，x2＝9，均符合题意，
所以有两种围法，故本选项说法正确，不符合题意；
D、当a＝24，S＝200时，﹣2x2+40x＝200，即x2﹣20x+100＝0．
解得x1＝x2＝10，符合题意，
所以有一种围法，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，根据题意正确列式是解题的关键．
10．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为（　　）

A．4 B．8 C．8 D．10
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE⊥CF；过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°．
过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝＝＝4，
∴BE＝8．
故选：C．

【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明AO＝MO，BO＝EO是解决问题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）若 有意义，则x的取值范围是 　x≥　．
【分析】由二次根式的被开方数是非负数，即可求解．
【解答】解：∵2x﹣5≥0，
∴x≥．
故答案为：x≥．
【点评】本题考查二次根式，关键是掌握二次根式的被开方数是非负数．
12．（4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 　6　．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
13．（4分）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 　20%　．
【分析】利用该实验基地现在拥有的种子种数＝该实验基地两年前拥有的种子种数×（1+培育的种子平均每年的增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：100（1+x）2＝144，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴x的值为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（4分）甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、每千克7元、每千克8元，若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，则混合后的糖果的售价应定为每千克 　6.9　元．
【分析】先根据甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克求出混合后的糖果甲、乙、丙比，再用各自所占比乘各自的售货单价相加即可．
【解答】解：若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，
则混合后的糖果甲、乙、丙比为3：5：2，
∴混合后的糖果的售价每千克应定为（元），
故答案为：6.9．
【点评】本题考查了加权平均数，读懂题意，熟练运用加权平均数是解题的关键
15．（4分）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，若▱ABCD的面积为16，且AH：HD＝1：3．则图中阴影部分的面积为 　3　．

【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，S△ABD＝S△BCD，再证四边形AEPH、四边形PGCF、四边形BGPE、四边形DHPF是平行四边形，得AH＝PE，HD＝PF，S△BGP＝S△EBP，S△PFD＝S△HPD，则S平行四边形PGCF＝S平行四边形AEPH，然后证S平行四边形DHPF＝3S平行四边形AEPH，S平行四边形PGCF＝3S平行四边形BGPE，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，
∴AB∥CD，AD∥BC，S△ABD＝S△BCD，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴EF∥BC∥AD，GH∥AB∥CD，
∴四边形AEPH、四边形PGCF、四边形BGPE、四边形DHPF是平行四边形，
∴AH＝PE，HD＝PF，S△BGP＝S△EBP，S△PFD＝S△HPD，
∴S平行四边形PGCF＝S平行四边形AEPH，
∵AH：HD＝1：3，
∴S平行四边形DHPF＝3S平行四边形AEPH，S平行四边形PGCF＝3S平行四边形BGPE，
∴S平行四边形PGCF＝S平行四边形ABCD＝×16＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
16．（4分）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）；给出下列说法：①若a+c＝0，则方程必有实数根；②若a+b+c＝0，则方程必有两个不相等的实数根；③若b＝2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若b2﹣5ac＜0，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是 　①③　．
【分析】利用c＝﹣a可判断Δ＝b2+4a2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c＝﹣（a+b）得到Δ＝b2﹣4ac＝（2a+b）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b＝2a+3c得到Δ＝4（a+c）2+5c2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b2﹣5ac＜0，不能判断Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣5ac+ac与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断．
【解答】解：当a+c＝0，即c＝﹣a，则Δ＝b2﹣4ac＝b2+4a2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①符合题意；
当a+b+c＝0，即c＝﹣（a+b），则Δ＝b2﹣4ac＝b2+4a（a+b）＝（2a+b）2≥0，方程必有两个实数根，所以②不符合题意；
当b＝2a+3c，则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4（a+c）2+5c2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③符合题意；
当b2﹣5ac＜0，Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣5ac+ac可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④不符合题意．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
三、解答题
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣4+
＝0；
（2）原式＝+
＝4+
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18．（8分）用合适的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x＝3；
（2）3x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）移项后，利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）移项得x2﹣4x﹣3＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝16+12＝28＞0，
∴，
∴，；
（2）3x2﹣4x+1＝0，
（x﹣1）（3x﹣1）＝0，
x﹣1＝0或3x﹣1＝0，
x1＝1或．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．（8分）在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：
96 88 88 89 86 87
对打分数据有以下两种处理方式：
方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计：
平均分
中位数
方差
89
a
10.7
方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计：
平均分
中位数
方差
b
88
c
（1）a＝　88　，b＝　88　，c＝　0.5　；
（2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由．
【分析】（1）依据中位数、平均数、方差的定义即可求解；
（2）去掉一个最高分和一个最低分统计平均分的方法更合理，这样可以减少极端值对数据的影响．
【解答】解：（1）方式一：不去掉任何数据，这组数据的中位数为：a＝＝88；
方式二：去掉一个最高分和一个最低分，
平均数为b＝×（88+88+89+87）＝88，
方差为：c＝×[（88﹣88）2+（88﹣88）2+（89﹣88）2+（87﹣88）2]＝0.5，
故答案为：88，88，0.5；
（3）方式二更合理，
理由：这样可以减少极端值对数据的影响．
【点评】本题主要考查了平均数和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
20．（10分）在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．

【分析】（1）证出AB∥CD，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）由平行四边形的面积得BC×AE＝CD×AF，再由AF＝2AE，得BC＝2CD＝6，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，
∵AF＝2AE，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证出AB∥CD是解题的关键．
21．（10分）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．
（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）
【分析】（1）把60m代入公式t＝即可；
（2）先根据公式t＝求出h，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断．
【解答】解：（1）由题意知h＝60m，
∴t＝＝＝2（s），
故从60m高空抛物到落地的时间为2s；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当t＝3s时，3＝，
∴h＝45，
经检验，h＝45是原方程的根，
∴这个玩具产生的动能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【点评】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．
22．（12分）已知关于x的一元二次方程 x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，
①若k＝3时，请判断△ABC的形状并说明理由；
②若△ABC是等腰三角形，求k的值．
【分析】（1）先计算出Δ＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）①k＝3代入方程，解方程求得AB＝3，AC＝4，然后利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形；
②把x＝5代入方程，求得k的值，然后判断即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：①k＝3时，方程为 x2﹣7x+12＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
∴AB＝3，AC＝4，
∵BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
②∵Δ＝1＞0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一个数为5．
当x＝5时，原方程为：25﹣5（2k+1）+k2+k＝0，
即k2﹣9k+20＝0，解得：k1＝4，k2＝5．
当k＝4时，原方程为 x2﹣9x+20＝0．
∴x1＝4，x2＝5．
由三角形的三边关系，可知4、5、5能围成等腰三角形，
∴k＝4符合题意；
当k＝5时，原方程为 x2﹣11x+30＝0，
解得：x1＝5，x2＝6．
由三角形的三边关系，可知5、5、6能围成等腰三角形，
∴k＝5符合题意．
综上所述：k的值为4或5．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及直角三角形和等腰三角形．
23．（12分）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．

【分析】（1）通过ASA证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，又DF∥BE，即可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，先根据勾股定理求出DN＝4，由∠DBC＝45°得BN＝DN，即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，

∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN﹣EN＝4，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
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