2023年小升初数学举一反三重难点培优讲义 专题13《解决典型问题》

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2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义
专题13 解决典型问题



考点梳理
知识要点
高分妙招
归一、归总问题

1.归一问题：每份量保持不变,先求每份量,再算所求量
2.归总问题一：数量保持不变，先求总数量,再算所求量
“归总”应用题暗含着“总”不变，即乘积不变，可以用反比例知识解答。“归一”问题暗含着“单一量”不变的关系，因此可以用正比例知识解答。
和差倍问题
1.和倍(差倍)问题:已知两个数的和(差)及两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题叫做和倍(差倍)问题
和倍(差倍)问题的关键就是求出1倍数:和÷(倍数+1)=1倍数，差÷(倍数-1)=1倍数1倍數×倍数=几倍数
2.和差问题:已有两个数的和及两个数的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题
和差公式:(和-差)÷2=小数
(和+差)÷2=大数
1.解答和差问题的关键在于若干个不相等的数的问题化为相等的数的问题。
2.解差倍问题的关键是确定“1倍数”和“差”是多少。
平均数问题
定义:先求出几个数的和,再根据等分的份数,求出每一份数是多少的问题
解答求平均数问题,关键是要找出总数量与总数量相对应的总份数,然后用总数量÷总份数=平均数
求较复杂的平均数问
题，可用“移多补少”
法解答,即移出大数多
出部分给小数后得到相
等数。
年龄问题
特点:两人的年龄差不会因为岁月的改变而改变,它是一个定值;两人的年龄随岁月的变化增加或减少同一个自然数。
年龄是一种“差不变”
问题
鸡兔同笼问题
定义:已知鸡和兔的总头数和总足数，求鸡和兔各多少只
解法:假设法、方程法
假设全是鸡:兔的只数=(总脚数-2×头数)÷(4-2)
鸡的只数=总头数-兔的只数
假设全是兔:鸡的只数=(4×总头数-总脚数)÷(4-2)
兔的只数=总头数-鸡的只数
保证其中一个量(总头
数)不变是解决这类题
目的关键
等量代换问题
两个完全相等的量，可以相互代换。
植树问题
非闭合路线上的植树问题:
①两端都植树:植树棵数=段数+1=路线总长÷株距+1
②只有一端植树:植树棵数=段数=路线总长÷株距
③两端都不植树:植树裸数=段数-1=路线总长÷株距-1
封闭路线上的植树问题:植树棵数=段数=路线总长÷株距
盈亏问题
通过比较法,根据除法含义列式计算:
①一盈一亏:(盈+亏)÷每份数的差=份数
②两盈:(大盈-小盈)六每份数的差=份数
③两亏:(大亏-小亏)÷每份数的差=份数
行程问题
1.相遇问题：速度和×相遇时间=相遇距离 相遇距离÷相遇时间=速度和
相遇距离÷速度和=相遇时间
2.追及问题：速度差×追及时间=追及距离 追及距离÷追及时间=速度差
追及距离÷速度差=追及时间.
3.水中行船：顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
4.过桥问题：路程=桥长+车长 路程÷速度=时间

高频考点01：归一、归总加条件的三步应用题
【典例精讲01】（2019•衡阳）将一根木料锯成3段用了6分钟，按这种速度，要将一根同大小的木料，锯成6段，求需要几分钟的正确列式是（　　）
A．6÷3×6 B．6÷（3﹣1）×6
C．6÷（3﹣1）×（6﹣1） D．6÷3×（6﹣1）
【思路点拨】锯的段数要比锯的次数多1，锯3段要锯（3﹣1）次，锯6段要（6﹣1）次．先求出锯1次要几分钟；再求锯（6﹣1）次要几分钟．
【规范解答】解：锯1次用时间6÷（3﹣1），然后再乘（6﹣1），
即 6÷（3﹣1）×（6﹣1）
故选：C．
【考点评析】解答本题要知道锯的次数与锯的段数的关系．
【举一反三01】（2021•永康市）王阿姨生病需要输液500毫升。已知输液的速度为每5秒6滴，15滴约为1毫升。王阿姨输完大约需要多少分钟？（得数保留整数）
【思路点拨】1毫升的水大约有15滴，需要输液500毫升，根据乘法的意义，500毫升约有（500×15）滴，又输液的速度为每5秒6滴，则1分钟72滴，根据除法的意义，用总滴数除以每分钟滴的滴数，即可求出王阿姨输完大约需要多少分钟。
【规范解答】解：60÷5×6＝72（滴）
500×15÷72
＝7500÷72
≈104（分钟）
答：王阿姨输完大约需要104分钟。
【考点评析】本题主要考查了整数乘除法的实际应用，关键是求出500毫升有多少滴，1分钟可以滴几滴。
【举一反三02】（2021•拱墅区模拟）有一口水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等．如果使用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机，20分钟抽完．若有8台抽水机，多少分钟可以抽完？
【思路点拨】设每台抽水机每分钟抽水1份，根据“如果用3台抽水机来抽水，36分可将水抽完；如果使用5台抽水机抽水，20分可将水抽完．”可以求出每分钟涌出的水量，列式为：（36×3﹣20×5）÷（36﹣20）＝0.5份；原有水量为：20×5﹣0.5×20＝90份；现在8台抽水机，用0.5台抽涌出的泉水，用剩余的数量去抽原有的90份即可．
【规范解答】解：（36×3﹣20×5）÷（36﹣20）
＝8÷16
＝0.5份

20×5﹣0.5×20＝90份
90÷（8﹣0.5）
＝90÷7.5
＝12（分钟）
答：12分抽完．
【考点评析】本题需要按竞赛专题之一牛吃草问题解答，关键是求出每分钟涌出的水量（相当于草的生长速度）和井中原有的水量（相当于草地原有的草的份数）．
高频考点02：和差问题
【典例精讲02】（2017•无锡）甲、乙两人共有邮票84张，如果甲给乙6张，两人的邮票张数就一样多．甲原来有邮票　48　张，乙原来有邮票　36　张．
【思路点拨】由“如果甲给乙6张，两人的邮票张数就一样多”，可知原来甲比乙多6×2＝12（张），那么84﹣12＝72（张）乙张数的2倍，可得乙原来有72÷2＝36（张），进而求得甲的邮票张数．
【规范解答】解：（84﹣6×2）÷2
＝（84﹣12）÷2
＝72÷2
＝36（张）
84﹣36＝48（张）
答：甲原来有邮票48张，乙原来有邮票36张．
故答案为：48，36．
【考点评析】此题属于和差问题，在计算时，运用了关系式：（和﹣差）÷2＝较小数．
【举一反三03】（2017•南城县校级模拟）两个连续自然数的和去乘它们的差，积是111，这两个自然数是　55　和　56　．
【思路点拨】首先根据连续两个自然数的差是1，可得它们的和是：111÷1＝111；然后用111减去1，再除以2，求出较小的自然数是多少，再用较小的自然数加上1，求出较大的自然数是多少即可．
【规范解答】解：因为连续两个自然数的差是1，
所以它们的和是：111÷1＝111；
较小的自然数是：
（111﹣1）÷2
＝110÷2
＝55

较大的自然数是：
55+1＝56
所以这两个自然数分别是55和56．
故答案为：55，56．
【考点评析】此题主要考查了自然数的认识，解答此题的关键是判断出这两个自然数的和是111．
【举一反三04】（2021•下城区）小明同学所在的小队共有6人，除小明外，其余五人的平均体重是42千克。已知小明的体重比全队的平均体重还要重12千克，求小明的体重。
【思路点拨】要想求出小明的体重，首先求出5人总体重，5人的平均体重是42千克，用乘法计算求总体重，42×5＝210（千克），小明的体重比全队的平均体重还要重12千克，即小明加入5人小队后，全队（6人）的平均体重增加2千克，算出小明的体重即可。
【规范解答】解：（42×5+12×6）÷（6﹣1）
＝（210+72）÷5
＝282÷5
＝56.4（千克）
答：小明的体重是56.4千克。
【考点评析】本题考查整除法的问题，关键是根据平均数的含义，解答此题。
高频考点03：和倍问题
【典例精讲03】（2022•大埔县）甲数扩大到原来的10倍等于乙数，甲、乙的和是22，则乙数是 　20　。
【思路点拨】根据“甲数扩大到原来的10倍等于乙数”，可以推算出乙数是甲数的10倍，把甲数数看作1份，则乙数是10份，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，可以计算出甲数是多少，最后用甲数乘10，计算出乙数。
【规范解答】解：22÷（10+1）×10
＝22÷11×10
＝2×10
＝20
答：乙数是20。
故答案为：20。
【考点评析】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。
【举一反三05】（2022•广丰区）校园里有一块面积是180m2的长方形花圃，分别种植了四种不同颜色的花（如图）。其中红花与黄花的种植面积占花圃总面积的，紫花的种植面积是粉花的5倍，紫花的种植面积是 　100　m2。

【思路点拨】用这块花圃的面积乘，可以计算出红花与黄花的种植面积，再用这块花圃的面积减去红花与黄花的种植面积可以计算出紫花与粉花的种植面积，把粉花的种植面积看作1份，则紫花的种植面积是5份，根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，计算出粉花的种植面积，最后用粉花的种植面积乘5，计算出紫花的种植面积。
【规范解答】解：180﹣180×
＝180﹣60
＝120（m2）
120÷（5+1）
＝120÷6
＝20（m2）
20×5＝100（m2）
答：紫花的种植面积是100m2。
故答案为：100。
【考点评析】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。
【举一反三06】（2021•青岛）甲、乙、丙三个数之和为180，甲数是乙数的3倍，乙数是丙数的2倍，那么甲、乙、丙三个数分别是多少？
【思路点拨】把丙数看作1份，则乙数是2份，加数是3×2，也就是6份，最后用甲、乙、丙三个数之和除以三个数的份数之和，可以计算出丙数是多少，再用丙数乘2，可以计算出乙数是多少，最后用乙数乘3，计算出甲数是多少。
【规范解答】解：180÷（1+2+3×2）
＝180÷（1+2+6）
＝180÷9
＝20
20×2＝40
40×3＝120
答：甲数是120，乙数是40，丙数是20。
【考点评析】本题解题关键是把丙数看作1份，则乙数是2份，甲数是6份，再用三个数的和除以份数和，求出丙数是多少，进而求出乙数、甲数各是多少。
高频考点04：差倍问题
【典例精讲04】（2020•无锡）一个盒子里有150颗黄豆和120颗黑豆．现在规定：取出3颗黄豆，同时放入3颗黑豆，为一次操作．照这样计算，操作了　5　次后，黄豆和黑豆正好相等；再接着操作　15　次，黑豆的颗数就是黄豆的2倍．
【思路点拨】（1）根据题意，设操作了x次后，黄豆和黑豆正好相等；这时黄豆有150﹣3x，黑豆有120+3x，列出方程进行解答；
（2）由（1）可知黄豆和黑豆相等时它们的数量分别是120+3×5＝135颗；设再接着操作y次，黑豆的颗数就是黄豆的2倍，这时黄豆有135﹣3y，黑豆有135+3y，根据黑豆的颗数就是黄豆的2倍，列出方程进行解．
【规范解答】解：（1）设操作了x次后，黄豆和黑豆正好相等；根据题意可得：
150﹣3x＝120+3x
3x+3x＝150﹣120
6x＝30
x＝5
答：操作了5次后，黄豆和黑豆正好相等．
（2）黄豆和黑豆相等时它们的数量分别是：120+3×5＝135（颗）
设再接着操作y次，黑豆的颗数就是黄豆的2倍；根据题意可得：
（135﹣3y）×2＝135+3y
270﹣6y＝135+3y
3y+6y＝270﹣135
9y＝135
y＝15
答：再接着操作15次，黑豆的颗数就是黄豆的2倍．
【考点评析】本题关键是设出未知数，找出它们之间的等量关系，列出方程进行解答．
【举一反三07】（2020•三明）参加数学兴趣小组的同学中，五年级比四年级的3倍少35人，两个年级的人数差是41人，两个年级参加数学兴趣小组的各有多少人？
【思路点拨】设四年级参加数学兴趣小组的有x人，则五年级有（3x﹣35）人，根据等量关系：五年级参加数学兴趣小组的人数﹣四年级参加数学兴趣小组的人数＝41人，列方程解答即可得四年级参加数学兴趣小组的人数，再求五年级的即可．
【规范解答】解：设四年级参加数学兴趣小组的有x人，则五年级有（3x﹣35）人，
3x﹣35﹣x＝41
2x＝76
x＝38
38+41＝79（人）
答：四年级参加数学兴趣小组的有38人，五年级参加数学兴趣小组的有79人．
【考点评析】本题考查了差倍问题，关键是根据等量关系：五年级参加数学兴趣小组的人数﹣四年级参加数学兴趣小组的人数＝41人，列方程．
【举一反三08】（2019•娄底模拟）两个牧童放羊，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊正好是你的羊的2倍．”乙对甲说：“最好还是把你的羊给我1只，这样我与你的羊的只数就相等了．”请问甲有　7　只羊，乙有　5　只羊．
【思路点拨】根据乙对甲说的话知道，甲比乙的羊的只数多2，设甲有x只羊，乙有x﹣2只羊，则根据甲对乙说的话知道，甲的羊的只数+1＝（乙的羊的只数﹣1）×2；列出方程解决问题．
【规范解答】解：设甲有x只羊，乙有x﹣2只羊，
x+1＝2（x﹣2﹣1），
2x﹣x＝1+6，
x＝7，
x﹣2＝7﹣2＝5（只），
答：甲有7只羊，乙有5只羊，
故答案为：7，5．
【考点评析】解答此题的关键是弄清题意，设出未知数，再根据数量关系列出方程解决问题．
高频考点05：植树问题
【典例精讲05】（2022•高邑县）在直径是10米的圆形喷水池边上均匀地摆放20盆花，相邻的两盆花的距离是（　　）米。
A．0.5 B．3.14 C．1.57 D．1
【思路点拨】根据植树问题公式：在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数＝间隔数。用喷水池的周长除以盆数，求间隔数即可。
【规范解答】解：3.14×10÷20
＝31.4÷20
＝1.57（米）
答：相邻的两盆花的距离是1.57米。
故选：C。
【考点评析】本题考查了圆的周长公式，以及封闭图形一周的植树问题，植树棵数＝间隔数。
【举一反三09】（2022秋•沈丘县期末）一个圆形养鱼池全长200米，现在水池周围种上杨树25棵，隔几米种一棵才能都种上？
【思路点拨】围成一个圆圈植树时，植树棵数＝间隔数，据此用总长度除以间隔数求出间距即可解答．
【规范解答】解：200÷25＝8（米）
答：隔8米种一棵才能都种上．
【考点评析】解题关键是明确在一个封闭图形里面植树，封闭图形的周长除以植树棵数就是间隔距离．
【举一反三10】（2022秋•繁峙县期末）小明家门前有一条35m的小路，绿化队要在路旁栽一排树．每隔5m栽一棵树（一端栽，一端不栽）．一共要栽多少棵？
【思路点拨】根据植树问题中的只有一端栽时：棵数＝间隔数，来列式解答．
【规范解答】解：35÷5＝7（棵），
答：一共要栽7棵．
【考点评析】本题的关键是只有一端栽的问题，只要求出间隔数即可得出植树棵数．
高频考点06：年龄问题
【典例精讲06】（2020•嘉峪关）今年父亲年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲年龄是儿子年龄的4倍，则今年父亲、儿子的年龄分别是（　　）
A．60岁，6岁 B．50岁，5岁 C．40岁，4岁 D．30岁，3岁
【思路点拨】设今年儿子的年龄是x岁，则父亲今年的年龄是10x岁，那么6年后儿子的年龄是（x+6）岁，父亲的年龄是（10x+6）岁，再根据“6年后父亲年龄是儿子年龄的4倍，”知道6年后父亲年龄＝儿子年龄×4，由此列出方程解决问题。
【规范解答】解：设今年儿子的年龄是x岁，则父亲今年的年龄是10x岁，那么6年后儿子的年龄是（x+6）岁，父亲的年龄是（10x+6）岁，
（x+6）×4＝10x+6
4x+24＝10x+6
6x＝18
x＝3
10x＝10×3＝30（岁）
答：今年父亲的年龄是30岁，儿子的年龄是3岁。
故选：D。
【考点评析】解答此题的关键是，根据题意设出一个未知数，另外的未知数用设出的字母表示，再根据数量关系等式，列出方程即可。
【举一反三11】（2021•乌鲁木齐）刘俊问王老师的年龄时.王老师说：“我像你这么大时，你才3岁；等你到了我这么大时，我就45岁了”，王老师今年 　31　岁.
【思路点拨】假设年龄差为x岁，刘俊现在（x+3）岁，王老师现在（2x+3）岁；根据“等你到了我这么大时，我就45岁了”可列关系式：王老师现在的年龄+年龄差＝75；据此列方程解答求出年龄差，然后再求出王老师现在的年龄就比较容易了。
【规范解答】解：假设年龄差为x岁，刘俊现在（x+3）岁，王老师现在（2x+3）岁；
2x+3+x＝45
3x＝42
x＝14
14×2+3＝31（岁）
答：王老师今年31岁。
故答案为：31。
【考点评析】本题关键是抓住年龄差不变，难点是理解两次比较年龄中隐含的数量关系。
【举一反三12】（2020•长沙）如果6个人平均年龄是25岁，其中最小的20岁，且六人的年龄都不相同，那么年龄最大的人最大是几岁？
【思路点拨】因6人年龄都不相同，要求年龄最大的最多是几岁，则要使5个人的年龄尽可能的小，所以其余5个人的年龄应是20岁，21岁，22岁，23岁，24岁，再用他们的年龄和减去5个人的年龄就是年龄最大人的岁数，据此解答．
【规范解答】解：25×6﹣（20+21+22+23+24）
＝25×6﹣110
＝150﹣110
＝40（岁）
答：年龄最大的人最大40岁．
【考点评析】本题的重点是确定其余4个人的年龄是多少岁，再进行解答．
高频考点07：鸡兔同笼问题
【典例精讲07】（2022•黄岛区）一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共20个，如果椅子腿和凳子腿加起来共有72条，那么房间里有 　8　个凳子。
【思路点拨】假设全部为4条腿的椅子，共有（4×20）条腿，比实际多了（4×20﹣72）条腿，因为我们把3条腿的凳子当成了4条腿的椅子，每个凳子多算了（4﹣3）条腿；用（4×20﹣72）除以（4﹣3），即可求出3条腿的凳子数；
【规范解答】解：假设全部为4条腿的椅子。
（4×20﹣72）÷（4﹣3）
＝8÷1
＝8（个）
答：房间里有8个凳子。
故答案为：8。
【考点评析】此题属于鸡兔同笼问题，解答此类题可以用假设法解答，也可以用方程解答。
【举一反三13】（2022秋•夏县期末）小明花了7元钱买了面额为6角和8角的邮票，两种邮票的数量相同，小明买的两种邮票各有多少枚？
【思路点拨】先设出买的两种邮票各有x枚，根据“单价×数量＝总价”分别计算出买6角的邮票和买8角的邮票花的钱数，进而根据“买6角的邮票+买8角的邮票花的钱数＝70角”列出方程解答即可．
【规范解答】解：7元＝70角，
设小明买的两种邮票各有x枚，
6x+8x＝70
14x＝70
x＝5，
答：小明买的两种邮票各有5枚．
【考点评析】解答此类题的关键是先设出未知数，进而找出数量间的相等关系式，然后根据关系式列出方程解答．
【举一反三14】（2022•崇川区）某玻璃工艺品公司委托专业运输公司运送400只工艺品。双方约定：每只运费2.5元，如果打破一只，不但不给运费，还要赔偿12.5元。结果运输公司共得到劳务费955元，搬运途中打破了几只工艺品？
【思路点拨】假设全部完好无损，可得运费（400×2.5）元，实际得到955元，少得（400×2.5﹣955）元；因为每打破一只少得（2.5+12.5）元，所以用（400×2.5﹣955）除以（2.5+12.5），即可得到搬运途中打破了几只工艺品。
【规范解答】解：假设全部完好无损。
（400×2.5﹣955）÷（2.5+12.5）
＝45÷15
＝3（只）
答：搬运途中打破了3只工艺品。
【考点评析】本题考查了鸡兔同笼问题，可以用假设法解答，还可以列方程解答。
高频考点08：平均数问题
【典例精讲08】（2022•丹棱县）有五个数的平均数是156，把它们按从大到小的顺序排列，前三个数的平均数是160，后三个数的平均数是148，这五个数正中间的那个数是 　144　。
【思路点拨】用前三个数的平均数乘3，求出前三个数的和；再用后三个数的平均数乘3，求出后三个数的和；相加后中间的数加了两次，减去五个数的平均数乘5即可。
【规范解答】解：160×3+148×3﹣156×5
＝480+444﹣780
＝144
答：这五个数正中间的那个数是144。
故答案为：144。
【考点评析】本题考查了平均数公式的灵活应用，需熟记公式。
【举一反三15】（2021•长沙模拟）有几位同学在一起计算他们语文考试的平均分。小甬的得分如果再提高13分，他们的平均分就达到90分；如果小甬的得分降低5分，他们的平均分只有87分。那么这些同学共有　6　人。
【思路点拨】假设他们一共有x人，则小甬得分再提高13分时，他们的总分为90x分，小甬得分降低5分时，他们的总分是87x分，其他同学分数不变，总分之差就是小甬的分数差，据此列出方程求解即可。
【规范解答】解：设一共有x人，根据总分之差等于小甬两种情况的分数差，可得方程：
90x﹣87x＝13+5
3x＝18
x＝6
答：这些同学共有6人。
故答案为：6。
【考点评析】本题主要考查了平均数问题，明确总分之间的分差与小甬两种假设的分数之差的关系，是本题解题的关键。
【举一反三16】（2016•清镇市）某学校入学考试，确定了录取分数线，报考的学生中，只有被录取，录取者平均分比录取分数线高6分，没有被录取的同学其平均分比录取分数线低15分，所有考生的平均分是80分，问录取分数线是多少分？
【思路点拨】设有3个考生，1个录取，2个没录取，则3个考生总分为240分，可以看出，录取者的分数比没录取者的分数高21分，所以可以得出未录取者的平均成绩为（240﹣21）÷3＝73（分），所以，录取线为73+15＝88（分），解决问题．
【规范解答】解：设有3个考生，1个录取，2个没录取，
[80×3﹣（6+15）]÷3+15，
＝[240﹣21]÷3+15，
＝219÷3+15，
＝73+15，
＝88（分）．
答：录取分数线是88分．
故答案为：88．
【考点评析】此题关系较复杂，解答思路是：运用假设法，先求出3个考生的总分，再求录取者的分数比没录取者的分数高多少分，然后求出未录取者的平均成绩，进而解决问题．
高频考点09：盈亏问题
【典例精讲09】（2020•衢州）为了把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，加强植树造林，某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路（不相交）的两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵，若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗（　　）
A．8500棵 B．12500棵 C．12596棵 D．13000棵
【思路点拨】树苗两次的多少完全是由距离的变换带来的，所以一共相差2754×4+396×5的路程，每段的长度相差为5﹣4＝1，所以一共相差（2754×4+396×5）÷1的段数，然后因为两端也要种树，一共两条路，所以加上1×4，根据此解答即可。
【规范解答】解：（2754×4+396×5）÷（5﹣4）+1×4
＝11016+1980+4
＝13000（棵）
故选：D。
【考点评析】本题的关键是要考虑到植树问题中两端都要种，并且是两条路。
【举一反三17】（2021•赛罕区）（1）幼儿园王老师，把一盆草莓分给几个小朋友，若每人分4个，则多两个；若每人分5个，则差3个。设分给x个小朋友，则草莓的数量可以表示为 　（4x+2）　个，还可以表示为 　（5x﹣3）　个。
（2）如果x＝2，那么x2﹣x3＝　1　。
【思路点拨】（1）根据：草莓的数量＝4×人数+2或草莓的数量＝5×人数﹣3，由此解答即可。
（2）把x＝2代入含字母的式子x2﹣x3中，进而求出式子的数值。
【规范解答】解：（1）设分给x个小朋友，则草莓的数量可以表示为（4x+2）个，还可以表示为（5x﹣3）个。
（2）当x＝2时，
x2﹣x3
＝×（2×2）﹣×（2×2×2）
＝2﹣1
＝1
故答案为：（4x+2），（5x﹣3）；1。
【考点评析】（1）解答此题的关键是，根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，再结合所求的问题，即可得出答案。
（2）解决此题关键是知道x2表示两个x相乘，x3表示三个x相乘，进而把字母表示的数据代入式子，求得式子的数值即可。
【举一反三18】（2021•临沂）一次智力竞赛，规则是：答对一题加10分，答错一题扣6分．一号选手共抢答10个题，最后得分36分，他答对了　6　道题．
【思路点拨】假设全部答对，则应该得分：10×10＝100（分），比实际多：100﹣36＝64（分），做错一题比做对一题少10+6＝16（分），也就是做错64÷16＝4（道）题，则答对10﹣4＝6（道）题．
【规范解答】解：假设10道题全做对，则做错的题目有：
（10×10﹣36）÷（10+6）
＝64÷16
＝4（道），
对了：10﹣4＝6（道）．
答：他答对了6道题．
故答案为：6．
【考点评析】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可．
高频考点10：代换问题
【典例精讲10】（2019•山东模拟）如图（1）（2）为两架已达平衡的天平，如果要使图（3）中的天平保持平衡，则在天平右侧应放几个圆？
（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】为了便于书写，设三角形的为x，长方形为y，圆形为z，根据图所示就可以写出这样的两个算式：算式（1）2x＝2y+z；算式（2）5x＝6y．根据这两个算式分别用y表示出x和z，进而求出x和z之间的关系，也就是1个三角形等于几个圆了．
【规范解答】解：设三角形的为x，长方形为y，圆形为z，由题意的：
（1）2x＝2y+z；
（2）5x＝6y．
由（2）可得：x＝y，把它代入第一个算式就成了：
y＝2y+z，
12y＝10y+5z，
y＝z；
把这个式子再代入算式（1）就会得到：
2x＝2×z+z，
2x＝6z，
x＝3z；
一个三角形＝3个圆，所以第三个天平右边要放3个圆．
故选：B。
【考点评析】本题中是求三角形和圆形的关系，把长方形当成中间，根据已知的等量关系，分别求出长方形和三角形、圆形的关系，从而找到三角形和圆形的关系．
【举一反三19】（2019•益阳模拟）买2千克葡萄和3千克芒果，共付40元．已知2千克葡萄的价钱等于1千克芒果的价钱．葡萄每千克　5　元，芒果每千克　10　元．
【思路点拨】2千克葡萄的价钱等于1千克芒果的价钱，买2千克葡萄和3千克芒果就相当于买4千克的芒果，花了40元，用除法就可以求出1千克芒果的价格，进而可求葡萄的价格．
【规范解答】解：2千克葡萄＝1千克芒果，
2千克葡萄+3千克芒果＝4千克芒果，
40÷4＝10（元），
10÷2＝5（元）；
答：葡萄每千克5元，芒果每千克10元．
故答案为：5，10．
【考点评析】本题的关键是通过其中一个算式变化成用一个未知的量来代替另一个未知的量，再把它等量代换到已知的另一个算式中，就可解决问题．
【举一反三20】（2019•重庆）某化妆品店老板到厂家选购A、B两种品牌的化妆品，若购进A品牌的化妆品5套，B品牌的化妆品6套，需要950元；若购进A品牌的化妆品3套，B品牌的化妆品2套，需要450元．求A、B两种品牌的化妆品每套进价分别是多少元？
【思路点拨】关系式为：A品牌的化妆品5套需要钱数+B品牌的化妆品6套需要钱数＝950；A品牌的化妆品3套需要钱数+B品牌的化妆品2套需要钱数＝450；依此可得A品牌的化妆品4套钱数＝400，可求A种品牌的化妆品每套进价，进一步得到B种品牌的化妆品每套进价．
【规范解答】解：设A种品牌的化妆品每套进价是x元，B种品牌的化妆品每套进价是y元，依题意有
5x+6y＝950①，
3x+2y＝450，即9x+6y＝1350②，
②﹣①得4x＝400，x＝100；
则300+2y＝450，
2y＝150
y＝75
答：A种品牌的化妆品每套进价是100元，B种品牌的化妆品每套进价是75元．
【考点评析】解答此题的关键是，利用代换的方法，得出化妆品4套钱数＝400，问题即可解决．
高频考点11：最优化问题
【典例精讲11】（2022•泌阳县模拟）爸爸想在网上商店买电扇，某种电扇原价280元，A商店打八折销售，B商店满100元减30元，C商店每满100元减30元。爸爸在（　　）商店购买更省钱。
A．A商店 B．B商店 C．C商店 D．都一样
【思路点拨】把原价看作单位“1”，A商店打八折销售，也就是现价是原价的80%，根据一个数乘百分数的意义，用乘法求出A店的现价，B商店满100元减30元，也就是在B店购买需要280﹣30＝250（元）；C商店每满100元减30元。也就是C店的现价是280﹣30×2＝220（元），然后把三个店的价格进行比较即可。
【规范解答】解：A店的价格：
280×80%＝224（元）
B店的价格：
280﹣30＝250（元）
C店的价格：
280﹣30×2
＝280﹣60
＝220（元）
220＜223＜250
答：爸爸在C 店购买更省钱。
故选：C。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握“折”数与百分数之间的联系及应用。
【举一反三21】（2023•樊城区模拟）赵老师要购买50本《趣味数学》，下面是两个书店的促销方式。
新华书店
买5本赠送1本
不满5本不赠送
大众书店
每本按原价优惠
10%出售
两个书店的《趣味数学》每本标价都是40元。请你算一算，赵老师到哪家书店购买比较便宜？
【思路点拨】新华书店，买5市赠送1本，可以理解为用买5本书的钱买了6本书，那我们以“6”为1组，用50除以6得到8余2，即得到了8个“6”组，每组书的单价为40元，每组书实际花钱的数量是5本，即这8组书的总价为40×5×8＝1600（元），剩余的两本书因不满足赠送条件，所以这两本书直接乘以单价，即40×2＝80（元）。故在新华书店购买书本的总价为1600+80＝1680（元）；大众书店，每本书优惠10%，表示每本书的单价在优惠后为40×（1﹣10%）＝36（元），那么共买50本需要36×50＝1800（元）故在新华书店购买书本的总价为1800元；再比较两种促销方式的价格大小即可。
【规范解答】解：大众书店：40×（1﹣10%）×50
＝40×90%×50
＝36×50
＝1800（元）
新华书店：50÷（5+1）
＝50÷6
＝8（组）……2（本）
8×5×40+2×40
＝40×40+80
＝1600+80
＝1680（元）
1800＞1680
答：赵老师到新华书店购买比较便宜。
【考点评析】解答此题根据题意算出两种促销方式的价钱再进行比较即可。
【举一反三22】（2023•崇川区模拟）今年是中国共产党成立100周年，羌风小学全体师生450人要到红军纪念馆开展研学活动。请你根据客车租金安排最省钱的租车方案。
（1）租大车 　10　辆和小车 　2　辆最省钱。
（2）这种租车方案需要多少钱？

【思路点拨】（1）先分别用两种车每辆的租金除以可以坐的人数计算出平均每人需租金多少元，再比较大小，可以知道大车的人均价格更低，所以先尽量租大车，其次再选择小车，且尽量没有空余座位时最省钱，再用总人数除以50计算出需要几辆大车，剩下的人坐小车即可。
（2）根据第一题的数据，利用单价×数量＝总价，算出价钱即可。
【规范解答】解：（1）450÷40＝10（辆）……50（人）
50÷25＝2（辆）
答：租大车10辆和小车2辆最省钱。
（2）10×800+2×600
＝8000+1200
＝9200（元）
答：这种租车方案需要9200元钱。
故答案为：10，2。
【考点评析】此题考査的是经济问题的计算，要使租车最省钱，则应尽量多租最便宜的一种车型，并且使每辆车都坐满

一．选择题
1．（2022•勃利县）把一根木头锯成7段，若每次锯的时间都相等，那么锯完每一段的时间是锯完这根木头所用时间的（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】锯成7段，那么需要锯6次，每次锯的时间相等，所以，每次用的时间就是总时间的．
【规范解答】解：7﹣1＝6（次）；
1÷6＝；
答：锯完每一段的时间是锯完这根木头所用时间的．
故选：C．
【考点评析】本题关键是知道锯的次数比锯段数少1，然后再根据分数的意义求解．
2．（2020•保德县）甲、乙、丙三人现在年龄之和100岁。甲28岁时，乙是丙的2倍，乙20岁时，甲是丙的3倍。问三人现在的年龄各是多少岁？（　　）
A．30、46、24 B．40、38、22 C．40、36、24 D．42、38、20
【思路点拨】本题可采用年龄推算法，进行逐一验算即可。
【规范解答】解：A选项：假设乙是46岁，而当乙20岁时，甲是4岁，而此时丙没有出生，不符合题意。可排除A选项。
B选项：假设甲是40岁，当甲是28岁时，乙是36岁，丙是10岁，不符合题意。可排除B选项。
C选项：假设甲是40岁，当甲是28岁时，乙是24岁，丙是12岁，此时乙是丙的2倍，符合题意；当乙是20岁，甲是24岁，丙是8岁，此时甲是丙的3倍，也符合题意。C选项正确。
D选项：假设甲是42岁，当甲是28岁时，乙是24岁，丙是6岁，此时乙是丙的24÷6＝4（倍），不符合题意。可排除D选项。
故选：C。
【考点评析】本题采用假设某一个人的岁数，来推算其他两人的岁数是否符合题意。
3．（2020•保德县）李师傅加工一批零件，如果每天做50个，要比计划晚8天完成；如果每天做60个，就可提前5天完成，这批零件共有多少个？（　　）
A．3500个 B．3800个 C．3900个 D．4000个
【思路点拨】根据题意：可得到等量关系式：零件的个数÷50﹣8＝零件的总个数÷60+5，设这批零件共有x个，把未知数代入等量关系式解答即可。
【规范解答】解：设这批零件共有x个。
x÷50﹣8＝x÷60+5
﹣8＝+5
6x﹣2400＝5x+1500
x＝3900
答：这批零件共有3900个。
故选：C。
【考点评析】解答此题的关键是根据原计划的天数不变找到等量关系式，然后列方程解答。
4．（2022•播州区）某品牌饮料搞促销活动，甲商场满100元减20元；乙商场一律打八折；丙商场买十送二。该饮料在三个商场的单价都是8元，李阿姨要买36瓶该品牌饮料，（　　）更省钱。
A．甲商场 B．乙商场 C．丙商场 D．无法确定谁
【思路点拨】甲商场：100元减20元现金，用总价减去减的现金即可求出要花的钱；
乙商场：乙商场打八折，是指现价是原价的80%，根据单价×数量＝总价，即可求出一共用多少元；
丙商场：先求出买36个可以送几个，再根据实际买的个数乘单价求出花的钱数；
比较即可求出哪家商场更省钱。
【规范解答】解：甲商场：36×8﹣20
＝288﹣20
＝268（元）
乙商场：8×80%×36
＝6.4×36
＝230.4（元）
丙商场：36÷（10+2）＝3（组）
3×2＝6（个）
（36﹣6）×8
＝30×8
＝240（元）
230.4＜240＜268
答：乙商场更省钱。
故选：B。
【考点评析】本题关键是根据各个商场不同的优惠方法求出每个商城要花的钱，通过比较得出那个商场便宜。
5．（2022•邻水县）盒子里有大、小两种钢珠共30颗，共重266g。已知大钢珠每颗11g，小钢珠每颗7g。盒子里大钢珠有（　　）颗。
A．14 B．16 C．18 D．20
【思路点拨】假设全部都是大钢珠，则共重11×30＝330（克），比原来的克数重330﹣266＝64（克），因为一个大钢珠比一个小钢珠重11﹣7＝4（克），小钢珠的颗数是：64÷（11﹣7）＝16（颗），进而得出大钢珠的颗数。
【规范解答】解：假设全是大钢珠，小钢珠的颗数：
（30×11﹣266）÷（11﹣7）
＝（330﹣266）÷4
＝64÷4
＝16（颗）
大钢珠：30﹣16＝14（颗）
答：盒子里大钢珠有14颗。
故选：A。
【考点评析】解答此题时应进行假设，然后进行分析得出结论；也可以用方程解答。
二．填空题
6．（2022•黄岛区）一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共20个，如果椅子腿和凳子腿加起来共有72条，那么房间里有 　8　个凳子。
【思路点拨】假设全部为4条腿的椅子，共有（4×20）条腿，比实际多了（4×20﹣72）条腿，因为我们把3条腿的凳子当成了4条腿的椅子，每个凳子多算了（4﹣3）条腿；用（4×20﹣72）除以（4﹣3），即可求出3条腿的凳子数；
【规范解答】解：假设全部为4条腿的椅子。
（4×20﹣72）÷（4﹣3）
＝8÷1
＝8（个）
答：房间里有8个凳子。
故答案为：8。
【考点评析】此题属于鸡兔同笼问题，解答此类题可以用假设法解答，也可以用方程解答。
7．（2022•重庆）小兰发现公路边等距地立着一排电线杆，她用均匀的速度从第1根电线杆走到第15根电线杆用了7分钟时间，接着她继续往前走，又走了若干根电线杆后就往回走，当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟，那么小兰是走到第 　33　根电线杆是开始往回走的。
【思路点拨】从第1根电线杆走到第15根电线杆，共经过（15﹣1）即14个间隔，用7分钟．因此1分钟走14÷7即2个间隔；当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟，共走了30×2即60个间隔；设走到第x根电线杆时开始往回走，开始往回走的时，走了（x﹣1）个间隔，回来时走了（x﹣5）个间隔，然后列出方程进行解答即可.
【规范解答】解：设小兰是走到第x根电线杆是开始往回走的。
（x﹣1）+（x﹣5）＝60
x﹣1+x﹣5＝60
         2x﹣6＝60
2x﹣6+6＝60+6
          2x÷2＝66÷2
            x＝33
答：小兰是走到第33根电线杆是开始往回走的。
故答案为：33。
【考点评析】本题考查了两端植树问题，植树棵数比间隔数多1，求出共走的间隔数，然后再进一步解答即可。
8．（2021•长沙模拟）有几位同学在一起计算他们语文考试的平均分。小甬的得分如果再提高13分，他们的平均分就达到90分；如果小甬的得分降低5分，他们的平均分只有87分。那么这些同学共有　6　人。
【思路点拨】假设他们一共有x人，则小甬得分再提高13分时，他们的总分为90x分，小甬得分降低5分时，他们的总分是87x分，其他同学分数不变，总分之差就是小甬的分数差，据此列出方程求解即可。
【规范解答】解：设一共有x人，根据总分之差等于小甬两种情况的分数差，可得方程：
90x﹣87x＝13+5
3x＝18
x＝6
答：这些同学共有6人。
故答案为：6。
【考点评析】本题主要考查了平均数问题，明确总分之间的分差与小甬两种假设的分数之差的关系，是本题解题的关键。
9．（2021•正定县）有7个评委给歌手打分，平均分是9.6分，去掉一个最高分平均分是9.4分，去掉一个最低分平均分是9.8分，最高分与最低分的差是　2.4　分．
【思路点拨】根据题干，去掉一个最低分平均分是9.8分，那么去掉一个最低分后6个评委所打的总分就是9.8×6分，去掉一个最高分平均分是9.4分，那么去掉一个最高分后6个人的总打分就是9.4×6分，二者的差就是最高分与最低分的差，即可得解．
【规范解答】解：9.8×6﹣9.4×6
＝58.8﹣56.4
＝2.4（分）
答：最高分与最低分的差是2.4分．
故答案为：2.4．
【考点评析】此题考查了平均数的意义及灵活运用．
10．（2022•滦南县）一种可乐在三家商店零售价均为4元/听，五一期间促销活动如下：甲商店打八五折，乙商店每满15元减2元，丙商店买四送一。亮亮要买10听这种可乐最少花 　32　元钱。
【思路点拨】根据亮亮买的数量及每个商店的优惠方案，分别计算在甲、乙、丙三个商店购买需要的钱数，然后选择花钱最少的一家去购买。
【规范解答】解：如按售价购买10听可乐需要：4×10＝40（元）
甲商店：
40×85%＝34（元）
乙商店：
40÷15＝2（个）......10（元）
减少的钱数为：
2×2＝4（元）
实际支付：40﹣4＝36（元）
丙商店：
10÷（4+1）
＝10÷5
＝2
2×4＝8（听）
所以只需买8听即可获得10听，需要的钱数为：
8×4＝32（元）
32元＜34元＜36元
所以在丙店购买花钱最少。
答：亮亮要买10听这种可乐最少花32元钱。
故答案为：32。
【考点评析】本题主要考查了最优化问题，解题的关键是根据三家商店的优惠方案计算需要的钱数。
11．（2022•镇原县）小区里的自行车和三轮车共30辆，总共有70个轮子，那么自行车有 　20　辆，三轮车有 　10　辆。
【思路点拨】假设全是自行车，则轮子有2×30＝60（个），比实际少了（70﹣60）个，又因为一辆自行车比一辆三轮车少1个轮子，所以用（70﹣60）除以1就是三轮车的辆数，然后再求出自行车的辆数即可。
【规范解答】解：假设全是自行车，则三轮车有：
（70﹣30×2）÷（3﹣2）
＝10÷1
＝10（辆）
自行车有：30﹣10＝20（辆）
答：自行车有20辆，三轮车有10辆。
故答案为：20；10。
【考点评析】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。
三．判断题
12．（2013•中宁县校级模拟）今年强强与妈妈年龄的比是3：10，十年后强强与妈妈的年龄比一定还是3：10．　×　．
【思路点拨】根据题意，假设今年小强3岁，妈妈10岁，那么，10年后小强3+10岁，妈妈10+10岁，然后再进一步解答即可．
【规范解答】解：根据题意，假设今年小强3岁，妈妈10岁；
10年后：
小强的年龄是：3+10＝13（岁）；
妈妈的年龄是：10+10＝20（岁）；
这时她们的年龄比是：13：20；
因此十年后强强与妈妈的年龄比一定还是3：10是错误的．
故答案为：×．
【考点评析】根据题意，用赋值法能比较容易解决此类问题．
13．（2022•保山模拟）鸡兔同笼，有12头，34足。其中有5只兔。 　√　（判断对错）
【思路点拨】可以假设全部是兔子，求出有多少条腿，看一下比已知条件多了多少条腿，一只鸡比一只兔子少（4﹣2）条腿，所以用多的腿数除以2就是鸡的只数，用总数减去鸡的只数就是兔子的只数；据此判断即可。
【规范解答】解：假设全部是兔子，鸡有：
（12×4﹣34）÷（4﹣2）
＝（48﹣34）÷2
＝14÷2
＝7（只）
兔有：12﹣7＝5（只）
所以兔有5只，故原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设法进行分析比较，进而得出结论；也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可．
14．（2022•内乡县）有28名师生去划船，大、小船共5条，恰好坐满。每条大船可坐6人，小船可坐4人。他们一共租了3条小船。 　×　（判断对错）
【思路点拨】假设全是大船，则应有（5×6）人，实际只有28人。这个差值是因为实际上不全是大船，每条小船比大船少（6﹣4）＝2（人），因此用除法求出假设比实际多的人数里面有多少个2，就是有多少条小船。用总条数减去小船的条数就是大船的条数。
【规范解答】解：假设全是大船，则小船有条数为
（5×6﹣28）÷（6﹣4）
＝2÷2
＝1（条）
大船为：5﹣1＝4（条）
所以大船租了4条，小船租了1条。
原题干他们一共租了3条小船。表述错误。
故答案为：×。
【考点评析】此题主要使用了假设法来解决鸡兔同笼问题，要熟练掌握。
四．应用题
15．（2022•岷县模拟）书柜有上、下两层，上层的书借出30本后，下层原有的书的数量是上层所剩书的3倍，下层的书被借出210本，这时两层书的数量正好相等。求书柜上、下两层原来各有多少本书。
【思路点拨】把上层书所剩的本数看作1份，则下层书所剩的本数是3份，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，上层书原来的本数，再用上层书原来的本数加上30，计算出上层原来有多少本，用上层书的本数乘3，计算出下层书原来有多少本。
【规范解答】解：210÷（3﹣1）
＝210÷2
＝105（本）
105+30＝135（本）
105×3＝315（本）
答：上层原来有135本，下层原来有315本。
【考点评析】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。
16．（2022•铜仁市）六年级某班需要45本毕业纪念册，派李智同学去商场购买．李智同学发现同一款纪念册，甲乙两家商场都有，原价都是12元，但促销方式不一样．
甲商场：全场八五折．
乙商场：每满100元减20元．
李智到哪家商场购买更便宜？（请用计算说明）
【思路点拨】甲商场：计算出总价后，乘八五折；
乙商场：计算出总价后，看总价中有几个100元，然后乘20元，求出可以减多少钱，用总价减去这部分钱；
比较两个商场的实际花费，做出选择．
【规范解答】解：纪念册的总价为：45×12＝540（元）
甲商场：八五折＝85%，
实际花费：540×85%＝459（元）
乙商场：540÷100＝5……40（元）
满减的钱数：5×20＝100（元）
实际花费：540﹣100＝440（元）
440＜459
所以，选择乙商场更便宜．
答：李智到乙商场购买更便宜．
【考点评析】本题主要考查了最优化问题，根据题中给出的优惠条件，计算各商场的实际花费，作出比较即可．
17．（2022•江北区模拟）某冰箱厂每个月可生产A型冰箱400台，每台冰箱的成本价为2000元现有两种销售方法：第一种，每台冰箱加价20%，全部批发给零售商；第二种，全部由厂家直接销售，每台冰箱加价30%作为销售价，每月也可售出400台，但需每月支付销售门面房和销售人员工资等费用共9500元．两种销售方法都按销售总额的5%缴纳营业税
（1）如果厂家直接销售冰箱，400台冰箱全部销售完后，需依法缴纳营业税多少元？
（2）如果你是厂长，应选择哪一种销售方法，才能获得更多的利润？
【思路点拨】第一种销售方法：运用400台冰箱的成本价，每台冰箱加价30%作为销售价，计算出销售的总钱数乘以5%缴纳营业税，即可得到需依法缴纳营业税的钱数；
第二种销售方法：先求出卖出400台冰箱获利的钱数，再减去支付销售门面房和销售人员工资等费用的钱数求出最后获利的钱数，然后对两种销售方法的获利情况进行比较，做出选择．
【规范解答】解：第一种销售方法：
①400×2000×（1+30%）×5%
＝800000×1.3×0.05
＝1040000×0.05
＝52000（元）
答：依法缴纳营业税52000元．

第二种销售方法：
②400×2000×（1+20%）×（1﹣5%）﹣400×2000
＝800000×1.2×0.95﹣800000
＝960000×0.95﹣800000
＝912000﹣800000
＝112000（元）
400×2000×（1+30%）×（1﹣5%）﹣9500﹣400×2000
＝800000×1.3×0.95﹣9500﹣800000
＝1040000×0.95﹣9500﹣800000
＝988000﹣9500﹣800000
＝178500（元）
112000＜178500
应选择第二种销售方法．
答：应选择第二种销售方法，才能获得更多的利润．
【考点评析】解答本题弄清销售价、成本价之间的关系，根据基本的数量关系求出两种销售方法获利的钱数，再进行比较即可．
18．（2021•鹰潭模拟）三（1）班的师生去科技馆参观．学生有40人，带队老师有4人．科技馆门票：成人票10元/人，儿童票5元/人．10人以上（含10人）可购买团体票，团体票6元/人．怎样购票最划算？三（1）班的师生最少要花多少钱？
【思路点拨】抓住题干中的两种购票方案，因为成人票不如团体票便宜，所以成人尽量购买团体票；同理，因为学生票比团体票便宜，所以学生尽量购买学生票；所以让6名儿童和4名老师合起来购买团体票，剩下的34人购买儿童票；这样最划算；由此即可解决问题．
【规范解答】解：让6名儿童和4名老师合起来购买团体票，剩下的34人购买儿童票．
（4+6）×6＝60（元）
（40﹣6）×5＝170（元）
60+170＝230（元）
答：买34张儿童票和10张团体票，三（1）班的师生最少要花230元．
【考点评析】此题主要考查了最优化问题，选用哪种购票方式与大人和学生的多少有关系，如果学生数多于一定数值则购买学生票合算，如果成人数多于一定数值则购买团体票合算．
19．（2023•西城区模拟）学校计划买60副乒乓球拍，每副售价50元，现在有三个商场搞促销。甲商场买10个赠送2个；乙商场打八五折；丙商场购物每满200元，返现金30元。到哪个商场比较合算？
【思路点拨】根据三家商场的优惠方案，分别计算需要花费的钱数，再比较即可解答。
【规范解答】解：甲商场：
实际买的乒乓球拍：60×＝50（个）
实际支付的钱数为：50×50＝2500（元）

乙商场：
50×60×85%
＝3000×85%
＝2550（元）

丙商场：
返的钱数：50×60÷200×30
＝3000÷200×30
＝15×30
＝450（元）
实际支付的钱数为：
50×60﹣450
＝3000﹣450
＝2550（元）
2500＜2550
答：到甲商场比较合算。
【考点评析】本题主要考查了最优化问题，根据促销方案分别计算出在三个商场的实际花费是解题本题的关键。
20．（2022•淅川县）李老师想买9双袜子。你建议她在哪家店买？写出理由。
【思路点拨】根据两家店优惠方案，分别计算出9双袜子花的钱数，再比较即可求解。
【规范解答】解：舒心店：
送的袜子数：
9÷（2+1）
＝9÷3
＝3（双）
实际花的钱数：
（9﹣3）×5
＝6×5
＝30（元）
便利店：9×5×0.6＝27（元）
30＞27
答：我建议她在便利店买。
【考点评析】本题主要考查了最优化问题，解题的关键是理解两家店优惠方案，分别计算出9双袜子花的钱数。
21．（2022•固始县）某小学组织168名师生到黄山游玩，现有两种车可租：一辆大客车可乘坐游客50人，租金为500元；一辆小客车可乘坐游客10人，租金为120元。
（1）请设计一种最省钱的租车方案，并求出最省钱的租金为多少元？
（2）在爬山时，师生排成人数相等的两列并排前行。每列相邻两人相隔0.2m，则这支队伍有多长？
【思路点拨】（1）根据题意，乘坐大客车每人需500÷50＝10（元），乘坐小客车每人需120÷10＝12（元），从中可以看出租大客车便宜，所以尽量租大客车，少租小客车，而且保证空位最少，这样租金会最少。
（2）168名师生排成人数相等的两列并排前行，每列的人数为168÷2＝84（人），84人有（84﹣1）个间隔，用间隔数乘间距即可求解。
【规范解答】解：（1）乘坐大客车每人需：500÷50＝10（元）
乘坐小客车每人需：120÷10＝12（元）
10＜12
所以尽量租大客车，且保证空位最少时最省钱。
168÷50＝3（辆）……18（人）
所以租3辆大客车和2辆小客车，空位最少，这种情况最省钱，需要钱数：
3×500+2×120
＝1500+240
＝1740（元）
答：租3辆大客车和2辆小客车最省钱，租金为1740元。
（2）（168÷2﹣1）×0.2
＝（84﹣1）×0.2
＝83×0.2
＝16.6（元）
答：这支队伍长为16.6米。
【考点评析】本题主要考查了优化问题及植树问题，解题的关键是：①明确尽量租大客车，且保证空位最少时最省钱；②间隔数＝每列人数﹣1。
22．（2022•化州市）学期快要结束了，王老师计划用120元钱去买一批笔记本做奖品。经过调查，甲商店有一种标价为4元的笔记本，营业员说：“买十送一”。乙商店有同样的笔记本，营业员介绍说：“每本4元，不满10本不打折，满10本整体打九折。”丙商店也有同样的笔记本，也是每本4元，10本以内不打折，超过10本的部分打8折。请你帮忙算一算，王老师到哪家商店购买合算些，为什么？
【思路点拨】由题意可知，王老师计划用120元钱去买一批笔记本做奖品，每本笔记本的单价为4元：
甲商店，买十送一，120÷4＝30（本），30÷10＝3（本），即以获赠3本，所以120元能买30+3＝33（本）；
乙店，每本4元，满10本整体打九折，即按原价的90%出售，王老师购买的本数达到优惠标准，即每本的价格为4×90%＝3.6（元），120÷3.6＝33（本）……1.2（元）
丙店，每本4元，超过10本的部分打8折，打八折，即按原价的80%出售，王老师购买的本数达到优惠标准，即每本的价格为4×80%＝3.2（元），10+（120﹣4×10）÷3.2＝35（本）所以比较即可得出答案。
【规范解答】解：甲商店：120÷4＝30（本）
30÷10+30
＝3+30
＝33（本）
乙商店：
120÷（4×90%）
＝120÷3.6，
＝33（本）……1.2（元）
丙商店：
10+（120﹣4×10）÷（4×80%）
＝10+80÷3.2
＝35（本）
答：王老师到丙商店购买合算些。
【考点评析】根据所带钱数及三家商店的不同优惠方案分别分析计算是完成本题的关键。
23．（2021•铁西区）即将告别小学学习时光，六年一班同学积极筹备着毕业晚会，小明负责采购。已知某牛奶原定价为每瓶5元。甲、乙、两三个超市以不同的方式促销：甲超市打八五折出售；乙超市买四送一；丙超市满80元减10元。如果要买20瓶，请你帮小明算一算去哪家超市最省钱？
【思路点拨】甲超市：打八五折即是原价的85%，用总钱数85%即可得20瓶的价钱；
乙超市：买四送一，如果买20瓶，花16瓶的价钱即可；
丙超市：20瓶，每瓶5元，一共花的钱数是100元，满80元，再减去10元就是实际支付的钱数；
再比较三家超市的钱数，即可得哪家超市最省钱。
【规范解答】解：甲超市：
20×5×85%
＝100×85%
＝85（元）
乙超市：
20÷（4+1）×4×5
＝20÷5×4×5
＝4×4×5
＝80（元）
丙超市：
5×20＝100（元）
100＞80
100﹣10＝90（元）
80＜85＜90
答：小明去乙超市最省钱。
【考点评析】本题主要考查了最优化问题，根据每家超市优惠政策算出所需钱数作出比较即可。
24．（2022•保山模拟）一种篮球原价每个98元，王老师要给他们学校买40个。如图是三家店铺的促销优惠方案，请你帮王老师选择其中一家店铺，计算需要多少钱？

【思路点拨】甲店：打8.5折，就是按照原价的百分之八十五出售，根据分数乘法的意义，可以计算出在甲店购买需要多少钱；
乙店：把买的3个与赠送的1个看成一组，先计算出买40里面有几个4，进而计算出买40个篮球能总送几个篮球，然后计算出实际买的篮球个数，再根据总价＝单价×数量，计算需要多少钱；
丙店：先算出总钱数，再计算总钱数里有多少个500元，再乘150元，求出返还的钱数，最后用总钱数减返还的钱数即可求解；
比较三家店需要的钱数，即可做出选择。
【规范解答】解：甲店需要的钱数：
98×85%×40
＝83.3×40
＝3332（元）
乙店需要的钱数：
40÷（3+1）
＝40÷4
＝10（组）
所以实际买10×3＝30（个）
30×98＝2940（元）
丙店需要的钱数为：
98×40÷500
＝3920÷500
＝7（个）......420（元）
98×40﹣7×150
＝3920﹣1050
＝2870（元）
3332＞2940＞2870
答：王老师应该在丙店购买，需要花2870元。
【考点评析】本题主要考查了最优化问题，解题的关键是根据各店优惠方案求出各店需要的钱数。
25．（2022•偃师市）“鸡兔同笼”问题出自唐代的《孙子算经》，是我国古代的数学名题之一。书中：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”
下面是六年级三位同学展示的不同方法：你理解他们的想法吗？
（1）小军选择列表的方法：先假设鸡和兔的只数，再调整。请你根据小军的想法补充表格，完成解答。
鸡的只数
兔的只数
脚的总个数
和94个脚比较
17
18
34+72＝106





（2）小强选择列方程：首先设鸡有x只，那么兔有（35﹣x）只。
请你帮他列出方程：　2x+（35﹣x）×4＝94　（只列方程不解答）
（3）小梅选择假设的策略：假设35只全是鸡。（请你帮她写出剩下的算式）。
第一步：35×2＝70（个）
94﹣70＝24（个）
第二步：　24÷（4﹣2）＝12（只）　
第三步：　35﹣12＝23（只）　
答：鸡有 　23　只，兔有 　12　只。
【思路点拨】（1）运用列表方法，调整鸡和兔的只数，据此填表即可；
（2）设鸡有x只，那么兔有（35﹣x）只，根据鸡的脚数+兔的脚数＝94列出方程即可；
（3）运用假设法，假设35只全是鸡，则应有2×35＝70个脚，实际只有94个。这个差值是因为实际上不全是鸡，每只鸡比兔少2个脚，因此用除法求出假设比实际多的个数里面有多少个2，就是有多少只兔。用总只数减去兔的只数就是鸡的只数。
【规范解答】解：（1）
鸡的只数
兔的只数
脚的总个数
和94个脚比较
17
18
34+72＝106
大于
23
12
46+48＝94
等于
（2）小强选择列方程：首先设鸡有x只，那么兔有（35﹣x）只。
请你帮他列出方程：2x+（35﹣x）×4＝94
（3）小梅选择假设的策略：假设35只全是鸡。（请你帮她写出剩下的算式）。
第一步：35×2＝70（个）
94﹣70＝24（个）
第二步：24÷（4﹣2）＝12（只）
第三步：35﹣12＝23（只）
答：鸡有23只，兔有12只。
故答案为：2x+（35﹣x）×4＝94；24÷（4﹣2）＝12（只），35﹣12＝23（只），23，12。
【考点评析】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用列表或方程进行解答。
26．（2021•彭水县）在一条拓宽新建的长为240米的马路两旁各栽一行树，起点和终点都栽一棵树，两行共栽了122棵，且每两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离？
【思路点拨】两旁一共栽了122棵树，那么一旁就是栽了（122÷2）棵树；起点和终点都栽，由此可得一旁有（122÷2﹣1）个间隔，用总长除以间隔数即可解答。
【规范解答】解：240÷（122÷2﹣1）
＝240÷60
＝4（米）
答：每相邻两棵树之间的距离为4米。
【考点评析】本题主要考查植树问题，植树问题中，两端都要栽的情况：间隔数＝植树棵数﹣1。