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备战2023年中考数学全真模拟卷（江苏南京专用）第二卷含解析卷
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这是一份备战2023年中考数学全真模拟卷（江苏南京专用）第二卷含解析卷，共34页。试卷主要包含了7×107，75等内容，欢迎下载使用。
备战2023年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（江苏南京专用）
第二模拟
（本卷共27小题，满分120分，考试用时120分钟）
注意事项
1.本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，首在本试卷上无效．
2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用像皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效
3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2023·江苏扬州·校考一模）的相反数是（ ）
A．2023 B． C． D．
2．（2023·江苏南京·校联考一模）9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
3．（2023·江苏盐城·统考一模）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏徐州·校考一模）根据国家统计局数据显示，我国近10年的城市居民消费价格指数如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．从2015年到2019年城市居民消费价格指数逐年上升
B．近10年的城市居民消费价格指数最大值与最小值的差值为1.8
C．近10年的城市居民消费价格指数中位数是102.1
D．近10年的城市居民消费价格指数众数是102.1
5．（2023·江苏无锡·一模）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
6．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（ ）
A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为
B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为
C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）有理数的相反数是_____．
8．（2023·江苏南京·一模）函数中，自变量x的取值范围是_________．
9．（2023·江苏徐州·一模）2022年2月4日北京冬奥会开幕，据统计当天约有57000000人次访问了奥林匹克官方网站和APP，打破了冬奥会历史纪录．将57000000用科学记数法表示为_________．
10．（2023·江苏南京·校联考一模）计算的结果是________．
11．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知方程组，则的值为______．
12．（2023·江苏泰州·统考一模）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________．
13．（2023·江苏宿迁·统考一模）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于_____．
14．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，将沿斜边翻折得到，为斜边的中点，连接并延长使，连接，已知，，则______．
15．（2023·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，，点A坐标是，若反比例函数的图像经过点B，则k的值为_____________．
16．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为____________．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023·江苏扬州·校考一模）计算：
(1)计算：； (2)化简：．
18．（2023·江苏常州·校考一模）解下列方程或不等式
(1) (2)
19．（2023·江苏南京·一模）先化简，再求值：，其中，．
20．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）在①；②；③这三个条件中任选一个合适的补充条件在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O，点在上，______（填写序号）求证：．
21．（2023·江苏镇江·统考一模）受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6
4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10
【数据整理】
将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A．，B．，C．，D．，E．，其中表示锻炼时间）；
【数据分析】
统计量
平均数
众数
中位数
锻炼时间（h）
7.3
7
根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：___________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．
22．（2023·江苏苏州·校联考一模）2023年3月12日是第45个植树节，某市开展了“拥抱春天，播种青春”植树活动，将印有“．紫薇”、“．黄杨”、 “．柳树”、“．樟树”图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意抽取卡片，来确定植树品种．
(1)小明从盒子中任意取出一张卡片，卡片上的图案是“．黄杨”的概率是 ___________；
(2)小明从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回、搅匀，小丽再从中任意取出一张片，求两人取出的卡片图案相同的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
23．（2023·江苏南京·一模）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡的坡度为，，．
(1)求点距水平面的高度；
(2)求宣传牌的高度．（结果保留根号）
24．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，是的直径，弦与直径相交于点F，点E在外，作直线，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，．求圆的半径r．
25．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，点、点是直线外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，在直线上取点使得；
(2)在图2中，在直线上取点使得．
26．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图（1），二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B，C两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的横坐标；
(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段上BC的一个动点，连接AP；点Q为线段AP上一点，且，连接DQ，求的最小值______（直接写出答案）．
27．（2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．
【问题探究】
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
（1）如图1，直接写出的值 ；
（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
【一般规律】
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．
备战2023年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（江苏南京专用）
第二模拟
（本卷共27小题，满分120分，考试用时120分钟）
注意事项
1.本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，首在本试卷上无效．
2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用像皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效
3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2023·江苏扬州·校考一模）的相反数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】A
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【详解】解：的相反数是2023．
故选：A．
【点睛】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．（2023·江苏南京·校联考一模）9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：9的算术平方根是3，
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
3．（2023·江苏盐城·统考一模）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，单项式乘以单项式法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，单项式乘以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（2023·江苏徐州·校考一模）根据国家统计局数据显示，我国近10年的城市居民消费价格指数如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．从2015年到2019年城市居民消费价格指数逐年上升
B．近10年的城市居民消费价格指数最大值与最小值的差值为1.8
C．近10年的城市居民消费价格指数中位数是102.1
D．近10年的城市居民消费价格指数众数是102.1
【答案】A
【分析】根据折线统计图中的数据，结合各选项逐一分析判断可得答案．
【详解】由折线统计图可知，
A．从2015年到2019年中，2016年至2017年城市居民消费价格数是下降的，说法错误，故本选项符合题意；
B．近10年的城市居民消费价格指数最大值与最小值的差值为，说法正确，故本选项不符合题意；
C．先对数据进行从小到大排序：
101．0，101．5，101．7，102．1，102．1，102．1，102．3，102．6，102．7，102．8；其中第5位和第6位的平均数为，近10年的城市居民消费价格指数中位数是102．1，说法正确，故本选项不符合题意；
D．近10年的城市居民消费价格指数众数是102．1，说法正确，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查折线统计图，解题的关键是根据折线统计图得出解题所需的具体数据．
5．（2023·江苏无锡·一模）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
【答案】B
【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故选：B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
6．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（ ）
A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为
B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为
C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
【答案】C
【分析】圆心运动的路径等于圆上的点滚动的距离，利用弧长公式即可得到答案．
【详解】圆心运动的路径即为圆滚动的距离．
当点P离地面最高时，圆滚动半圈，圆心O运动的路径的长为，故A正确，不符合题意．
当点P再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心O运动的路径的长为，故B正确，不符合题意．
当点P第一次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故C错误，符合题意．
当点P第二次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的弧长计算，解题的关键是：理解圆心运动的路径等于圆上的点滚动的距离且会使用弧长公式．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）有理数的相反数是_____．
【答案】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】解：有理数的相反数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数，正确理解定义是解题的关键．
8．（2023·江苏南京·一模）函数中，自变量x的取值范围是_________．
【答案】且
【分析】首先根据二次根式有意义的条件可得；接下来由分式有意义的条件可得，进而求解即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查的是求函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式以及分式有意义的条件．
9．（2023·江苏徐州·一模）2022年2月4日北京冬奥会开幕，据统计当天约有57000000人次访问了奥林匹克官方网站和APP，打破了冬奥会历史纪录．将57000000用科学记数法表示为_________．
【答案】5.7×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：57000000=5.7×107．
故答案为：5.7×107．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
10．（2023·江苏南京·校联考一模）计算的结果是________．
【答案】2
【分析】先化简二次根式，然后根据二次根式的加法和除法计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确计算是解题的关键．
11．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知方程组，则的值为______．
【答案】9
【分析】解方程组，求得x、y的值，进而求得答案．
【详解】解：由方程组，解得
∴
故答案为：9．
【点睛】本题考查求方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．（2023·江苏泰州·统考一模）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________．
【答案】m＞1且m≠2．
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因为x＞0，所以m-1＞0，即m＞1．①
又因为原式是分式方程，所以，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2．②
由①②可得，则m的取值范围为m＞1且m≠2．
故答案为：m＞1且m≠2．
【点睛】考核知识点：解分式方程.去分母，分母不等于0是注意点.
13．（2023·江苏宿迁·统考一模）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于_____．
【答案】-3
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a﹣b＝﹣2，代入2（3a﹣b）+1即可．
【详解】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，
∴b＝3a+2，
则3a﹣b＝﹣2．
∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3，
故答案为﹣3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键．
14．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，将沿斜边翻折得到，为斜边的中点，连接并延长使，连接，已知，，则______．
【答案】##
【分析】连接交于点，首先证明四边形是矩形，进而得出，，再根据“角角边”，得出，进而得出，即，，，然后设，则，根据勾股定理，列出方程，解出得到，再根据余弦的定义，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接交于点，
在四边形中，
∵为斜边的中点，，
∴四边形是平行四边形，
又∵沿斜边翻折得到，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵沿斜边翻折得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，，，
设，则，
在中，
，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了翻折的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程、锐角三角函数，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
15．（2023·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，，点A坐标是，若反比例函数的图像经过点B，则k的值为_____________．
【答案】
【分析】过点B作于D，先利用已知证明三角形相似，再利用相似三角形性质求出点B的坐标，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点B作于D，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
反比例函数的图像经过点B，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，三角形相似的判定与性质，同角的余角相等等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质求出点B坐标是解答此题的关键．
16．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为____________．
【答案】##0.75
【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得，设，求得，，利用两点间的距离公式得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求得的最大值，据此即可求解．
【详解】解，在矩形中，建立平面直角坐标系，坐标原点为点B，如图，过作于，交于，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴线段的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，建立坐标系，构造关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023·江苏扬州·校考一模）计算：
(1)计算：；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据负整数指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值求解即可．
（2）根据分式化简即可．
【详解】（1）解：原式＝
＝；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简，熟记运算顺序是解题关键．
18．（2023·江苏常州·校考一模）解下列方程或不等式
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因式分解法解一元二次方程即可；
（2）分别解出每一个不等式，找到它们的公共部分，即可得解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴；
（2）解：由不等式，得：；
由，得：；
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式组．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键．
19．（2023·江苏南京·一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】先去括号，然后合并同类项，再将字母的值代入即可求解．
【详解】解：
当，时，原式
【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值，正确的计算是解题的关键．
20．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）在①；②；③这三个条件中任选一个合适的补充条件在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O，点在上，______（填写序号）求证：．
【答案】①或②；证明见解析
【分析】选①，连接，根据平行四边形的性质可得，，再由，可得，从而得到四边形是平行四边形，即可；选②，根据平行四边形的性质可得，再由，可得，可证明，即可．
【详解】解：选①，证明如下：
如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
选②，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：①或②
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
21．（2023·江苏镇江·统考一模）受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6
4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10
【数据整理】
将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A．，B．，C．，D．，E．，其中表示锻炼时间）；
【数据分析】
统计量
平均数
众数
中位数
锻炼时间（h）
7.3
7
根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：___________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．
【答案】(1)6
(2)见解析
(3)340名；合理，见解析
【分析】（1）由众数的定义可得出答案．
（2）结合收集的数据，求出C组的人数，即可补全频数分布直方图．
（3）用总人数乘以样本中每周不少于7h的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目标，即目标合理．
【详解】（1）由数据可知，6出现的次数最多，
∴m=6．
故答案为：6．
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）（名）.
答：估计有340名学生能完成目标；
目标合理．
理由：过半的学生都能完成目标．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．
22．（2023·江苏苏州·校联考一模）2023年3月12日是第45个植树节，某市开展了“拥抱春天，播种青春”植树活动，将印有“．紫薇”、“．黄杨”、 “．柳树”、“．樟树”图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意抽取卡片，来确定植树品种．
(1)小明从盒子中任意取出一张卡片，卡片上的图案是“．黄杨”的概率是 ___________；
(2)小明从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回、搅匀，小丽再从中任意取出一张片，求两人取出的卡片图案相同的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，列出表格，可得共16种等可能的结果，其中两人取出的卡片图案相同的有4种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：任意取出一张卡片，卡片上的图案是“．黄杨”的概率是；
故答案为：；
（2）解：根据题意，列出表格如下：
A
B
C
D
A
A，A
B，A
C，A
D，A
B
A，B
B，B
C，B
D，B
C
A，C
B，C
C，C
D，C
D
A，D
B，D
C，D
D，D
共16种等可能的结果，其中两人取出的卡片图案相同的有4种，
所以两人选出卡片图案相同的概率为．
【点睛】本题主要考查了利用列表法或树状图法求概率，明确题意，准确列出表格或画出树状图是解题的关键．
23．（2023·江苏南京·一模）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡的坡度为，，．
(1)求点距水平面的高度；
(2)求宣传牌的高度．（结果保留根号）
【答案】(1)2米
(2)米
【分析】（1）根据得到，设，利用勾股定理计算即可．
（2）过点B作，垂足为F，判定四边形是矩形，解直角三角形计算计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
设，
∵m，
∴，
解得（舍去），
∴（m）．
（2）如图，过点B作，垂足为F，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
∵，，，
∴
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本要领是解题的关键．
24．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，是的直径，弦与直径相交于点F，点E在外，作直线，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，．求圆的半径r．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）因为AB是直径，推导出，然后，即可得到答案；
（2）作于E，证明 ，设，，接着推导出，然后再求出，即可得到答案．
【详解】（1）AB是直径
，、是同弧所对的两个圆周角
是的切线；
（2）作于E
设，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理以及锐角三角函数等知识点，掌握以上知识点是解题的关键．
25．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，点、点是直线外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，在直线上取点使得；
(2)在图2中，在直线上取点使得．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）如图1，过点作于点，延长，用尺规作，连接交于点，根据线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一的性质可证；
（2）如图2，以点为圆心，以长为半径画圆，交直线于点，过作的垂线交于点，根据垂径定理和等腰三角形的三线合一的性质可证；如图3，以点为圆心，以长为半径画圆，交直线于点，过作的垂线交于点，根据垂径定理和等腰三角形的三线合一的性质可证．
【详解】（1）如图1，过点作于点，延长，用尺规作，连接交于点，
由图可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故点即为所求．
（2）如图2，以点为圆心，以长为半径画圆，交直线于点，过作的垂线交于点，
∵，点为圆心，
∴垂直平分，
∴，
∴．
如图3，以点为圆心，以长为半径画圆，交直线于点，过作的垂线交于点，
∵，点为圆心，
∴垂直平分，
∴，
∴．
∴点即为所求．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，熟练掌握垂径定理和中垂线的尺规作图，线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一的性质是解本题的关键．
26．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图（1），二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B，C两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的横坐标；
(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段上BC的一个动点，连接AP；点Q为线段AP上一点，且，连接DQ，求的最小值______（直接写出答案）．
【答案】(1)；
(2)或或或
(3)．
【分析】（1）直接B，C两点代入求得b、c的值即可解答；
（2）先运用待定系数法求得直线的解析式，然后设，则，则，再根据列方程求解即可；
（3））过Q点作，与x轴的交点为G，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，再运用两点间距离公式求得即可解答．
【详解】（1）解：将B，C两点代入可得：
，解得：
∴．
（2）解：设直线的解析式为
则，解得：
∴
∵
∴抛物线的对称轴为
设，则，
∴
∵
∴，解得：或或或
∴P的横坐标为或或或．
（3）解：过Q点作，
∵，D点与C点关于x轴对称，
∴，
令，则，解得或，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
作A点关于的对称点，连接与交于点Q，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，是解题的关键．
27．（2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．
【问题探究】
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
（1）如图1，直接写出的值 ；
（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
【一般规律】
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．
【答案】[问题探究]探究一：(1)；(2)，证明见解析；探究二：．[一般规律]
【分析】探究一（1）由正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得解；
（2）由（1）的结论即旋转的性质证明，则，即可得到答案；
探究二：证明，得到，由绕点B顺时针旋转得到，则，再证明，则，即可得到答案；
一般规律：同探究二，在中，，证明，得到，即可得到结论；
【详解】[问题探究]探究一
（1）是正方形的对角线，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
理由：由（1）知，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
探究二：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到
即
；
一般规律如图，四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形和正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用相似比表示线段之间的关系．
备战2023年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（江苏南京专用）
第二模拟
（本卷共27小题，满分120分，考试用时120分钟）
注意事项
1.本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，首在本试卷上无效．
2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用像皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效
3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2023·江苏扬州·校考一模）的相反数是（ ）
A．2023 B． C． D．
2．（2023·江苏南京·校联考一模）9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
3．（2023·江苏盐城·统考一模）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏徐州·校考一模）根据国家统计局数据显示，我国近10年的城市居民消费价格指数如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．从2015年到2019年城市居民消费价格指数逐年上升
B．近10年的城市居民消费价格指数最大值与最小值的差值为1.8
C．近10年的城市居民消费价格指数中位数是102.1
D．近10年的城市居民消费价格指数众数是102.1
5．（2023·江苏无锡·一模）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
6．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（ ）
A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为
B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为
C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）有理数的相反数是_____．
8．（2023·江苏南京·一模）函数中，自变量x的取值范围是_________．
9．（2023·江苏徐州·一模）2022年2月4日北京冬奥会开幕，据统计当天约有57000000人次访问了奥林匹克官方网站和APP，打破了冬奥会历史纪录．将57000000用科学记数法表示为_________．
10．（2023·江苏南京·校联考一模）计算的结果是________．
11．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知方程组，则的值为______．
12．（2023·江苏泰州·统考一模）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________．
13．（2023·江苏宿迁·统考一模）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于_____．
14．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，将沿斜边翻折得到，为斜边的中点，连接并延长使，连接，已知，，则______．
15．（2023·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，，点A坐标是，若反比例函数的图像经过点B，则k的值为_____________．
16．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为____________．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023·江苏扬州·校考一模）计算：
(1)计算：； (2)化简：．
18．（2023·江苏常州·校考一模）解下列方程或不等式
(1) (2)
19．（2023·江苏南京·一模）先化简，再求值：，其中，．
20．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）在①；②；③这三个条件中任选一个合适的补充条件在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O，点在上，______（填写序号）求证：．
21．（2023·江苏镇江·统考一模）受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6
4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10
【数据整理】
将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A．，B．，C．，D．，E．，其中表示锻炼时间）；
【数据分析】
统计量
平均数
众数
中位数
锻炼时间（h）
7.3
7
根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：___________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．
22．（2023·江苏苏州·校联考一模）2023年3月12日是第45个植树节，某市开展了“拥抱春天，播种青春”植树活动，将印有“．紫薇”、“．黄杨”、 “．柳树”、“．樟树”图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意抽取卡片，来确定植树品种．
(1)小明从盒子中任意取出一张卡片，卡片上的图案是“．黄杨”的概率是 ___________；
(2)小明从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回、搅匀，小丽再从中任意取出一张片，求两人取出的卡片图案相同的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
23．（2023·江苏南京·一模）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡的坡度为，，．
(1)求点距水平面的高度；
(2)求宣传牌的高度．（结果保留根号）
24．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，是的直径，弦与直径相交于点F，点E在外，作直线，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，．求圆的半径r．
25．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，点、点是直线外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，在直线上取点使得；
(2)在图2中，在直线上取点使得．
26．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图（1），二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B，C两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的横坐标；
(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段上BC的一个动点，连接AP；点Q为线段AP上一点，且，连接DQ，求的最小值______（直接写出答案）．
27．（2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．
【问题探究】
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
（1）如图1，直接写出的值 ；
（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
【一般规律】
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．
备战2023年中考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（江苏南京专用）
第二模拟
（本卷共27小题，满分120分，考试用时120分钟）
注意事项
1.本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，首在本试卷上无效．
2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用像皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效
3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2023·江苏扬州·校考一模）的相反数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】A
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【详解】解：的相反数是2023．
故选：A．
【点睛】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．（2023·江苏南京·校联考一模）9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：9的算术平方根是3，
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
3．（2023·江苏盐城·统考一模）下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，单项式乘以单项式法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，单项式乘以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（2023·江苏徐州·校考一模）根据国家统计局数据显示，我国近10年的城市居民消费价格指数如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．从2015年到2019年城市居民消费价格指数逐年上升
B．近10年的城市居民消费价格指数最大值与最小值的差值为1.8
C．近10年的城市居民消费价格指数中位数是102.1
D．近10年的城市居民消费价格指数众数是102.1
【答案】A
【分析】根据折线统计图中的数据，结合各选项逐一分析判断可得答案．
【详解】由折线统计图可知，
A．从2015年到2019年中，2016年至2017年城市居民消费价格数是下降的，说法错误，故本选项符合题意；
B．近10年的城市居民消费价格指数最大值与最小值的差值为，说法正确，故本选项不符合题意；
C．先对数据进行从小到大排序：
101．0，101．5，101．7，102．1，102．1，102．1，102．3，102．6，102．7，102．8；其中第5位和第6位的平均数为，近10年的城市居民消费价格指数中位数是102．1，说法正确，故本选项不符合题意；
D．近10年的城市居民消费价格指数众数是102．1，说法正确，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查折线统计图，解题的关键是根据折线统计图得出解题所需的具体数据．
5．（2023·江苏无锡·一模）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．，0
【答案】B
【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则
，
解得：；
∴，
∴，
∴，，
∴方程的另一个根是；
故选：B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
6．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（ ）
A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为
B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为
C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
【答案】C
【分析】圆心运动的路径等于圆上的点滚动的距离，利用弧长公式即可得到答案．
【详解】圆心运动的路径即为圆滚动的距离．
当点P离地面最高时，圆滚动半圈，圆心O运动的路径的长为，故A正确，不符合题意．
当点P再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心O运动的路径的长为，故B正确，不符合题意．
当点P第一次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故C错误，符合题意．
当点P第二次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的弧长计算，解题的关键是：理解圆心运动的路径等于圆上的点滚动的距离且会使用弧长公式．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2023·江苏苏州·苏州工业园区星湾学校校考模拟预测）有理数的相反数是_____．
【答案】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【详解】解：有理数的相反数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数，正确理解定义是解题的关键．
8．（2023·江苏南京·一模）函数中，自变量x的取值范围是_________．
【答案】且
【分析】首先根据二次根式有意义的条件可得；接下来由分式有意义的条件可得，进而求解即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查的是求函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式以及分式有意义的条件．
9．（2023·江苏徐州·一模）2022年2月4日北京冬奥会开幕，据统计当天约有57000000人次访问了奥林匹克官方网站和APP，打破了冬奥会历史纪录．将57000000用科学记数法表示为_________．
【答案】5.7×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：57000000=5.7×107．
故答案为：5.7×107．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
10．（2023·江苏南京·校联考一模）计算的结果是________．
【答案】2
【分析】先化简二次根式，然后根据二次根式的加法和除法计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确计算是解题的关键．
11．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知方程组，则的值为______．
【答案】9
【分析】解方程组，求得x、y的值，进而求得答案．
【详解】解：由方程组，解得
∴
故答案为：9．
【点睛】本题考查求方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．（2023·江苏泰州·统考一模）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为__________．
【答案】m＞1且m≠2．
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因为x＞0，所以m-1＞0，即m＞1．①
又因为原式是分式方程，所以，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2．②
由①②可得，则m的取值范围为m＞1且m≠2．
故答案为：m＞1且m≠2．
【点睛】考核知识点：解分式方程.去分母，分母不等于0是注意点.
13．（2023·江苏宿迁·统考一模）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于_____．
【答案】-3
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a﹣b＝﹣2，代入2（3a﹣b）+1即可．
【详解】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，
∴b＝3a+2，
则3a﹣b＝﹣2．
∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3，
故答案为﹣3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质，结合代数式求值是解题的关键．
14．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，将沿斜边翻折得到，为斜边的中点，连接并延长使，连接，已知，，则______．
【答案】##
【分析】连接交于点，首先证明四边形是矩形，进而得出，，再根据“角角边”，得出，进而得出，即，，，然后设，则，根据勾股定理，列出方程，解出得到，再根据余弦的定义，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接交于点，
在四边形中，
∵为斜边的中点，，
∴四边形是平行四边形，
又∵沿斜边翻折得到，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵沿斜边翻折得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，，，
设，则，
在中，
，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了翻折的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程、锐角三角函数，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
15．（2023·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，，点A坐标是，若反比例函数的图像经过点B，则k的值为_____________．
【答案】
【分析】过点B作于D，先利用已知证明三角形相似，再利用相似三角形性质求出点B的坐标，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点B作于D，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
反比例函数的图像经过点B，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，三角形相似的判定与性质，同角的余角相等等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质求出点B坐标是解答此题的关键．
16．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为____________．
【答案】##0.75
【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得，设，求得，，利用两点间的距离公式得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求得的最大值，据此即可求解．
【详解】解，在矩形中，建立平面直角坐标系，坐标原点为点B，如图，过作于，交于，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴线段的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，建立坐标系，构造关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023·江苏扬州·校考一模）计算：
(1)计算：；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据负整数指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值求解即可．
（2）根据分式化简即可．
【详解】（1）解：原式＝
＝；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简，熟记运算顺序是解题关键．
18．（2023·江苏常州·校考一模）解下列方程或不等式
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因式分解法解一元二次方程即可；
（2）分别解出每一个不等式，找到它们的公共部分，即可得解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴；
（2）解：由不等式，得：；
由，得：；
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式组．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键．
19．（2023·江苏南京·一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】先去括号，然后合并同类项，再将字母的值代入即可求解．
【详解】解：
当，时，原式
【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值，正确的计算是解题的关键．
20．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）在①；②；③这三个条件中任选一个合适的补充条件在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O，点在上，______（填写序号）求证：．
【答案】①或②；证明见解析
【分析】选①，连接，根据平行四边形的性质可得，，再由，可得，从而得到四边形是平行四边形，即可；选②，根据平行四边形的性质可得，再由，可得，可证明，即可．
【详解】解：选①，证明如下：
如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
选②，证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：①或②
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
21．（2023·江苏镇江·统考一模）受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
7 8 6 5 9 10 4 6 7 5 11 12 8 7 6
4 6 3 6 8 9 10 10 13 6 7 8 3 5 10
【数据整理】
将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A．，B．，C．，D．，E．，其中表示锻炼时间）；
【数据分析】
统计量
平均数
众数
中位数
锻炼时间（h）
7.3
7
根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：___________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)如果学校将管理目标确定为每周不少于7h，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．
【答案】(1)6
(2)见解析
(3)340名；合理，见解析
【分析】（1）由众数的定义可得出答案．
（2）结合收集的数据，求出C组的人数，即可补全频数分布直方图．
（3）用总人数乘以样本中每周不少于7h的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目标，即目标合理．
【详解】（1）由数据可知，6出现的次数最多，
∴m=6．
故答案为：6．
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）（名）.
答：估计有340名学生能完成目标；
目标合理．
理由：过半的学生都能完成目标．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．
22．（2023·江苏苏州·校联考一模）2023年3月12日是第45个植树节，某市开展了“拥抱春天，播种青春”植树活动，将印有“．紫薇”、“．黄杨”、 “．柳树”、“．樟树”图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意抽取卡片，来确定植树品种．
(1)小明从盒子中任意取出一张卡片，卡片上的图案是“．黄杨”的概率是 ___________；
(2)小明从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回、搅匀，小丽再从中任意取出一张片，求两人取出的卡片图案相同的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，列出表格，可得共16种等可能的结果，其中两人取出的卡片图案相同的有4种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：任意取出一张卡片，卡片上的图案是“．黄杨”的概率是；
故答案为：；
（2）解：根据题意，列出表格如下：
A
B
C
D
A
A，A
B，A
C，A
D，A
B
A，B
B，B
C，B
D，B
C
A，C
B，C
C，C
D，C
D
A，D
B，D
C，D
D，D
共16种等可能的结果，其中两人取出的卡片图案相同的有4种，
所以两人选出卡片图案相同的概率为．
【点睛】本题主要考查了利用列表法或树状图法求概率，明确题意，准确列出表格或画出树状图是解题的关键．
23．（2023·江苏南京·一模）如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿该中学围墙边坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为．已知山坡的坡度为，，．
(1)求点距水平面的高度；
(2)求宣传牌的高度．（结果保留根号）
【答案】(1)2米
(2)米
【分析】（1）根据得到，设，利用勾股定理计算即可．
（2）过点B作，垂足为F，判定四边形是矩形，解直角三角形计算计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
设，
∵m，
∴，
解得（舍去），
∴（m）．
（2）如图，过点B作，垂足为F，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
∵，，，
∴
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本要领是解题的关键．
24．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，是的直径，弦与直径相交于点F，点E在外，作直线，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，．求圆的半径r．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）因为AB是直径，推导出，然后，即可得到答案；
（2）作于E，证明 ，设，，接着推导出，然后再求出，即可得到答案．
【详解】（1）AB是直径
，、是同弧所对的两个圆周角
是的切线；
（2）作于E
设，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理以及锐角三角函数等知识点，掌握以上知识点是解题的关键．
25．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，点、点是直线外同侧的两点，请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，在直线上取点使得；
(2)在图2中，在直线上取点使得．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）如图1，过点作于点，延长，用尺规作，连接交于点，根据线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一的性质可证；
（2）如图2，以点为圆心，以长为半径画圆，交直线于点，过作的垂线交于点，根据垂径定理和等腰三角形的三线合一的性质可证；如图3，以点为圆心，以长为半径画圆，交直线于点，过作的垂线交于点，根据垂径定理和等腰三角形的三线合一的性质可证．
【详解】（1）如图1，过点作于点，延长，用尺规作，连接交于点，
由图可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故点即为所求．
（2）如图2，以点为圆心，以长为半径画圆，交直线于点，过作的垂线交于点，
∵，点为圆心，
∴垂直平分，
∴，
∴．
如图3，以点为圆心，以长为半径画圆，交直线于点，过作的垂线交于点，
∵，点为圆心，
∴垂直平分，
∴，
∴．
∴点即为所求．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，熟练掌握垂径定理和中垂线的尺规作图，线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一的性质是解本题的关键．
26．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图（1），二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B，C两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的横坐标；
(3)如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段上BC的一个动点，连接AP；点Q为线段AP上一点，且，连接DQ，求的最小值______（直接写出答案）．
【答案】(1)；
(2)或或或
(3)．
【分析】（1）直接B，C两点代入求得b、c的值即可解答；
（2）先运用待定系数法求得直线的解析式，然后设，则，则，再根据列方程求解即可；
（3））过Q点作，与x轴的交点为G，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，再运用两点间距离公式求得即可解答．
【详解】（1）解：将B，C两点代入可得：
，解得：
∴．
（2）解：设直线的解析式为
则，解得：
∴
∵
∴抛物线的对称轴为
设，则，
∴
∵
∴，解得：或或或
∴P的横坐标为或或或．
（3）解：过Q点作，
∵，D点与C点关于x轴对称，
∴，
令，则，解得或，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
作A点关于的对称点，连接与交于点Q，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，是解题的关键．
27．（2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）问题提出：已知矩形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，则与有怎样的数量关系．
【问题探究】
探究一：如图，已知正方形，点为上的一点，，交于点．
（1）如图1，直接写出的值 ；
（2）将绕点顺时针旋转到如图所示的位置，连接、，猜想与的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图，已知矩形，点为上的一点，，交于点．
如图3，若四边形为矩形，，将绕点顺时针旋转得到、的对应点分别为、点，连接、，则的值是否随着的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值．
【一般规律】
如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系．
【答案】[问题探究]探究一：(1)；(2)，证明见解析；探究二：．[一般规律]
【分析】探究一（1）由正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得解；
（2）由（1）的结论即旋转的性质证明，则，即可得到答案；
探究二：证明，得到，由绕点B顺时针旋转得到，则，再证明，则，即可得到答案；
一般规律：同探究二，在中，，证明，得到，即可得到结论；
【详解】[问题探究]探究一
（1）是正方形的对角线，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
理由：由（1）知，，，
，
由旋转知，，
，
，
；
探究二：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到
即
；
一般规律如图，四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形和正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用相似比表示线段之间的关系．
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