2023年广东省东莞市虎门第三中学中考数学一模试卷 (含答案)

2023年广东省东莞市虎门三中中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年东莞市生产总值亿元，将亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一个几何体如图所示，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，直线，直线与，分别交于点，，过点作于点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  年月，某区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：，，，，，，，这组数据的中位数、众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B.  C.  D.

8.  如图，是的直径，若，，则长等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为，则凸轮的周长等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，是半圆的直径，且，动点从点出发，沿的路径以每秒的速度运动一周．设运动时间为，，则下列图象能大致刻画与的关系的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  单项式的系数是______ ．

12.  因式分解：______．

13.  不等式组的整数解为______ ．

14.  如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则的高度是______ 米结果保留根号．

15.  如图，正方形的边长为，点是上一动点不与点，重合，过点作交正方形外角的平分线于点，交于点，连接下列结论：；；；的面积的最大值为其中正确的是______ 填写正确结论的序号

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在▱中，．
尺规作图：作边的中垂线，交边于点要求：保留作图痕迹，不写作法；
连接，若，求的度数．

19.  本小题分
年月日至日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．

表中______，______，______；
请补全频数分布直方图；
若某班恰有名女生和名男生的初赛成绩均为分，从这名学生中随机选取名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．

20.  本小题分
如图，▱放置在平面直角坐标系中，已知点，，，点在反比例函数的图象上．
直接写出点坐标，并求反比例函数的表达式；
将▱向上平移得到▱，使点在反比例函数的图象上，与反比例函数图象交于点连结，求的长及点的坐标．

21.  本小题分
某超市销售、两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多元，用元购买款保温杯的数量与用元购买款保温杯的数量相同．
、两款保温杯销售单价各是多少元？
由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个元，款保温杯的进价为每个元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？

22.  本小题分
如图，已知是圆的直径，弦，垂足为，在上有点满足，交圆于点，过点的的平行线交的延长线于点，交的延长线于点
求证：是圆的切线；
若：：，，求圆的直径长度；
在的条件下，直接写出的长度．

23.  本小题分
如图，四边形中，，，，，，点、同时从点出发，沿射线向右匀速移动．已知点移动速度是点移动速度的倍，以为一边在的上方作等边设点移动距离为．
点在四边形的边上时，______；点与点重合时，______；
求出使成为等腰三角形的的值；
求与四边形重叠部分的面积与之间的函数关系式，并直接写出的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿元．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看，是一个矩形．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故选：．
根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法与乘法等知识点进行作答即可求得答案．
本题考查了合并同类项，同底数的幂的除法与乘法，积的乘方等多个运算性质，需同学们熟练掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图
于点，
，
，
，
．
故选：．
根据垂直的定义得出，由平行线的性质得到，由余角的定义即可得出结论．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：数据出现了次，最多，
众数为，
排序后为：，，，，，，，
故位于中间位置的数是，
中位数是．
故选：．
利用中位数及众数的定义确定答案即可．
本题考查了计算一组数据的中位数、众数的知识，掌握找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数是关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：．
由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
此题考查了根的判别式．注意方程有两个不相等的实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理得出，，解直角三角形求出即可．
本题考查了圆周角定理和解直角三角形等知识，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】
解：为正三角形，
，，
，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长．
故选：．
由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到，，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．
此题考查了弧长的计算以及等边三角形的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：利用图象可得出：当点在半径上运动时，；
在弧上运动时，；
在上运动时，．
故选：．
在半径上运动时，；在弧上运动时，；在上运动时，，也是是二次函数；即可得出答案．
此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出与时间之间的函数关系是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：单项式的系数是．
故答案为：．
根据单项式的有关概念解答．
本题主要考查了单项式的系数，正确把握相关定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式先用提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】， 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以该不等式组的整数解为，，
故答案为：，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

由题意得：，米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
故答案为：
过点作，垂足为，根据题意可得：，米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在上取点，使，连接，

，，
，
又，
，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；
，
，
，故正确；
，
，
又，
，
，
，
，
，
而不一定等于，
不一定等于，故错误；
≌，
，
设，则，
当时，取最大值为，
面积的最大值为，故错误，
故答案为：．
在上取点，使，连接，然后证明和全等，再利用全等三角形的性质即可得出答案．
本题主要考查正方形的性质和全等三角形的应用，关键是要能作出辅助线，构造出全等的三角形，要牢记全等三角形的性质．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】利用零指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的性质，负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的性质，负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，直线，点即为所求；


四边形是平行四边形，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
． 

【解析】根据要求作出图形即可；
证明，推出，可得结论．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：，，；
补全频数分布直方图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为． 

【解析】

【分析】
用抽取的总人数减去其他三个组的频数得出的值，再由频率的定义求出，即可；
由中求得的的值，补全频数分布直方图即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：由题意得：，，，
故答案为：，，；
补全频数分布直方图如下：

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有种，
选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．
【点评】
本题考查的是频数分布表，频数分布直方图，用树状图法求概率等知识．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．  

20.【答案】解：点，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
点坐标为，
点在反比例函数的图象上．
反比例函数的表达式为：；
▱向上平移得到▱，
点的横坐标与点的横坐标相等，都是，
点在反比例函数的图象上，
点的坐标为，
，
，，
点的纵坐标，
点的横坐标为，
点的坐标为． 

【解析】由点，，，得，，，即可求解点坐标，得反比例函数的表达式为：；
▱向上平移得到▱，得点的横坐标与点的横坐标相等，都是，由点在反比例函数的图象上，得点的坐标为，，，，可得点的纵坐标，即可求解点的坐标为．
本题考查了反比例函数关系式求法，图象上点的坐标特征，平行四边形平移特征，解题关键是理解对应点平移的距离相等．
 

21.【答案】解：设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：款保温杯销售单价是元，款保温杯销售单价是元；
设这批保温杯的销售利润是元，购进款保温杯个，则购进款保温杯个，
款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，
，
解得，
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
时，取最大值，最大值是元，
此时，
答：购进款保温杯个，购进款保温杯个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元，可得：，解方程并检验得款保温杯销售单价是元，款保温杯销售单价是元；
设这批保温杯的销售利润是元，购进款保温杯个，则购进款保温杯个，根据款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，得，
根据题意得：，由一次函数性质得购进款保温杯个，购进款保温杯个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是元．
本题考查分式方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
 

22.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
是圆的切线；

解：连接，
：：，设，则，
，
，，
，
，
，
，，，
设圆的半径为，则，
在中，，，，
由得，
解得：，
圆的直径为；
，
，
：：，
，
，
，，
∽，
，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质证得，即，即可证得是圆的切线；
设，则，根据垂径定理得出，进而得出，，根据勾股定理列出，即可求得，从而求得，，设圆的半径为，则，根据得，求得半径，就可以求得直径；
连接，通过证得∽，即可求得．
本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径．也考查了勾股定理和三角形相似的判定和性质．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图中，作于，则四边形是矩形．

，，
，
在中，，，
，
当等边三角形的高时，点想上，此时，
当点与重合时，，此时，
所以点在四边形的边上时，，点与点重合时，．
故答案为，．

注意到，故为等腰三角形只有三种情形：
当且在左侧时，，，
当且在右侧时，，，
当时，，，
综上所述，的值为或或．

当时，如图中，在四边形内部，所以的最大值为
当时，如图中，点、在线段上，与四边形重叠部分为四边形，

，
，
，
，
是直角三角形，
，的最大值为
当时，如图中，点在线段上，点在射线上，重叠部分是，

的最大值为，
综上所述，的最大值为；
如图中，作于，则四边形是矩形．当等边三角形的高时，点想上，此时，当点与重合时，，此时；
分三种情形：当且在左侧时，当且在右侧时，当时，分别构建方程即可解决问题；
分图，图，图三种情形解决问题．当时，如图中，在四边形内部，重叠部分就是；
当时，如图中，点、在线段上，与四边形重叠部分为四边形；
当时，如图中，点在线段上，点在射线上，重叠部分是；
本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、锐角三角函数、等腰三角形的判定和性质、多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．