2023年广东省深圳市南山区南山外国语（集团） 中考二模数学试卷(含答案)

这是一份2023年广东省深圳市南山区南山外国语（集团） 中考二模数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了下列各数中，是负数的是，下列运算中，正确的是，将一副直角三角板，下列命题是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
南山区南山外国语（集团）2023年中考二模数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列各数中，是负数的是（　　）
A．0 B．－ C．π D．3

2．如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（　　）

A． B．
C． D．

3．2023深圳盐田半程马拉松于2023年3月26日在深圳盐田区举行，以盐田区行政文化中心广场为起点，以大梅沙海滨公园为终点，全程大约21000米．数据21000用科学记数法表示为（　　）
A．21×103 B．2.1×104 C．0.21×105 D．210×102

4．九（1）班一合作学习小组有7人，初三上学期数学期中考试成绩数据分别为98、86、95、77、82、85、93，则这组数据的中位数是（　　）
A．86 B．95 C．77 D．93

5．下列运算中，正确的是（　　）
A．2a2＋a3＝3a5 B．a2•a3＝a6 C．（2a2）3＝6a6 D．a3÷a－2＝a5

6．将一副直角三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的位置摆放，使AB∥EF，则∠DOC的度数是（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°

7．下列命题是真命题的是（　　）
A．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
B．若关于x的方程kx2＋2x－1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥－1且k≠0
C．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是a≤3
D．若点C是线段AB的黄金分割点，则＝

8．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(kg/m3)是体积V(m3)的反比例函数，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法正确是（　　）

A．密度ρ(kg/m3)随体积V(m3)的增大而增大
B．密度ρ(kg/m3)和体积V(m3)的关系式为ρ＝
C．密度ρ≥2kg/m3时，体积V的范围为0≤V≤4m3
D．体积V≥2m3时，密度ρ的范围为0＜ρ≤4kg/m3

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM＋MD长度的最小值为（　　）

A． B．3 C．4 D．5

10．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E是CD的中点，F为BC上的一点，且∠EAF＝45°，∠ABG＝∠DAE，连接EF，延长BG交AE于点M，交AD于点N，则以下结论：①DE＋BF＝EF；②BN⊥AE；③BF＝；④S△BGF＝．正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题（每题3分，共15分）
11．因式分解：4a－ab2＝　 　．

12．若（4x＋y－4）2与|2x－y＋1|互为相反数，则xy的值为　 　．

13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则tan∠ACB的值是 　 　．


14．如图，某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是　　米．

15．如图，在一次数学实践课中，某同学将一块直角三角形纸片（∠ABC＝90°，∠ACB＝60°）的三个顶点放置在反比例函数y＝的图象上且AC过O点，点D是BC边上的中点，则S△AOD＝　　．

三．解答题（共55分）
16．（6分）计算：|－1|＋sin30°－2＋．



17．（7分）先化简再求值：÷(1－)，其中a＝5．



18．（8分）随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 　 　人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为 　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．



19．（8分）清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗．清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，某商家用800元购进的芝麻青团和用600元购进的肉松蛋黄青团盒数相同．在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价50元时，每天可售出100盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价；
（2）已知芝麻青团每盒售价不高于65元，W表示该商家每天销售芝麻青团的利润（单位：元），当芝麻青团每盒售价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？




20．（8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．




21．（9分）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：x2－2x－3＜0．
解：设x2－2x－3＝0，解得：x1＝－1，x2＝3，
则抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为（－1，0）和（3，0）．
画出二次函数y＝x2－2x－3的大致图象（如图所示）．

由图象可知：当－1＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2－2x－3＜0．
所以一元二次不等式x2－2x－3＜0的解集为：－1＜x＜3．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）用类似的方法解一元二次不等式：－x2＋4x－3＞0．

（2）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数y＝－（x－1）（|x|－3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
①x与y的几组对应值如表，其中m＝　 　．
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
－3
m
－3
0
1
0
－3
…
②如图，在直角坐标系中画出了函数y＝－(x－1)(|x|－3)的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．

③结合函数图象，解决下列问题：
不等式－4≤－(x－1)(|x|－3)≤0的解集为___________．

22．（10分）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
（1）如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
（2）如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．

参考答案与试题解析
一．选择题
1．下列各数中，是负数的是（　　）
A．0 B．－ C．π D．3
【解答】解：A．0既不是正数，也不是负数，故选项不符合题意；
B．－是负数，故选项符合题意；
C．π是正数，故选项不符合题意；
D．3是正数，故选项不符合题意；
故选：B．
2．如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：这个“堑堵”的左视图如下：，故选：A．
3．选：B．
4．选：A．
5．下列运算中，正确的是（　　）
A．2a2＋a3＝3a5 B．a2•a3＝a6 C．（2a2）3＝6a6 D．a3÷a－2＝a5
【解答】解：A、2a2与a3不能合并，故A不符合题意；
B、a2•a3＝a5，故B不符合题意；
C、（2a2）3＝8a6，故C不符合题意；
D、a3÷a－2＝a5，故D符合题意；
故选：D．
6．将一副直角三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示的位置摆放，使AB∥EF，则∠DOC的度数是（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°
【解答】解：∵∠D＝90°，
∴∠E＋∠F＝90°，
又∵∠E＝45°，
∴∠F＝45°，
又∵AB∥EF，
∴∠A＝∠ACF，
又∵∠A＝30°，
∴∠ACF＝30°，
∴∠DOC＝∠ACF＋∠F＝30°＋45°＝75°．
故选：B．
7．选：C．
8．选：D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM＋MD长度的最小值为（　　）

A． B．3 C．4 D．5
【解答】解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，
由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG，EF⊥AB，
∴当点M与点N重合时，BM＋MD长度最小，最小值即为AD的长．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC＝4，△ABC面积为10，
∴＝10，
解得AD＝5．
故选：D．

10．10．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E是CD的中点，F为BC上的一点，且∠EAF＝45°，∠ABG＝∠DAE，连接EF，延长BG交AE于点M，交AD于点N，则以下结论：①DE＋BF＝EF；②BN⊥AE；③BF＝；④S△BGF＝．正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①正确；②正确；③错误，BF＝；④正确．
所以正确的有①②④，共3个．故选：C．
二．填空题
11．因式分解：4a－ab2＝　a（2＋b）（2－b）　．
【解答】解：原式＝a（4－b2）＝a（2＋b）（2－b），
故答案为：a（2＋b）（2－b）．
12．答案为：．
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则tan∠ACB的值是 　　．

【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，
∴tan∠ACB＝tan∠ADB＝＝2，故答案为：2．

14．如图，某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是（　　）米．

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，

由题意得AB＝60米，DE＝30米，∠DAB＝30°，∠DCF＝45°，
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，
∴AE＝＝＝30（米），
∵AB＝60米，
∴BE＝AB－AE＝（60－30）米，
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，
∴四边形BCFE为矩形，
∴CF＝BE＝（60－30）米，
在Rt△DFC中，∠CDF＝45°，
∴DF＝CF＝（60－30）米，
∴BC＝EF＝DE－DF＝30－（60－30）＝（30－30）米，
答：教学楼BC的高度为（30－30）米．
15．如图，在一次数学实践课中，某同学将一块直角三角形纸片（∠ABC＝90°，∠ACB＝60°）的三个顶点放置在反比例函数y＝的图象上且AC过O点，点D是BC边上的中点，则S△AOD＝　　．

【解答】解：连接OB，
∵AC经过原点O，
∴OA＝OC，
∵∠ABC＝90°，
∴OB＝OC，
∵∠ACB＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC＝BC，
设C（m，），则B（，m），A（－m，－），
∴m2＋（）2＝（m－）2＋（m－）2
解得m＝1＋，
∴C（1＋，），则B（，1＋），A（－1－，－），
作BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
∵S△BOC＋S△OFC＝S△OBE＋S梯形BEFC，
而S△OFC＝S△OBE＝×2＝1，
∴S△OBC＝S梯形BEFC＝（1＋＋）（1＋－）＝2，
∴S△ABC＝2S△OBC＝4，
∵S△AOD＝S△ACD，S△ACD＝S△ABC，
∴S△AOD＝S△ABC＝，
故答案为．

三．解答题
16．【解答】解：原式＝－1＋－＋2＝3－1．
17．【解答】解：原式＝，当a＝5时，原式＝＝．
18．随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷，某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 　200　人；在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为 　90°　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【解答】解：（1）（45＋50＋15）÷（1－30%－15%）＝200（人），
所以这次活动共调查了200人；
在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数＝360°×＝90°；
故答案为：200，90°；
（2）用公交卡支付的人数为200×30%＝60（人），
用现金支付的人数为200×15%＝30（人），
条形统计图补充为：

（3）小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式分别用A，B，C，D表示，画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有4种结果，所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
19．【解答】解：（1）设芝麻青团的进价为每盒a元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒（a－10）元，
根据题意得：＝，
解得a＝40，
经检验，a＝40是原方程的根，
此时a－10＝40－10＝30，
答：芝麻青团的进价为每盒40元，则肉松蛋黄青团的进价为每盒30元；
（2）根据题意得：W＝（x－40）[100－2（x－50）]
＝（x－40）（－2x＋200）
＝－2x2＋280x－8000
＝－2（x－70）2＋1800，
∵－2＜0，
∴当x＜70时，W随x的增大而增大，
∵50＜x≤65，
∴当x＝65时，W有最大值，最大值为1750，
∴y关于x的函数解析式为y＝＝－2x2＋280x－8000，最大利润为1750元．
20．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又D为BC中点，O为AB中点，
故OD＝，OD∥AC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°．
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
又∵∠OEB＝∠P＋∠EBP，∠OBE＝∠OBD＋∠EBC，
∴∠P＋∠EBP＝∠OBD＋∠EBC，
又∠EBP＝∠EBC，
∴∠P＝∠OBD．
∵∠BOD＋∠OBD＝90°，
∴∠BOD＋∠P＝90°，
∴∠OBP＝90°．
又OB为半径，
故PB是⊙O的切线．
（2）∵AC＝2，
由（1）得OD＝＝1，
又PD＝6，
∴PO＝PD＋OD＝6＋1＝7．
∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，
∴△BDP∽△OBP．
∴，即BP2＝OP•DP＝7×6＝42，
∴BP＝．
∴OB＝＝＝．
故⊙O的半径为．

21．（9分）请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：x2－2x－3＜0．
解：设x2－2x－3＝0，解得：x1＝－1，x2＝3，
则抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为（－1，0）和（3，0）．
画出二次函数y＝x2－2x－3的大致图象（如图所示）．

由图象可知：当－1＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2－2x－3＜0．
所以一元二次不等式x2－2x－3＜0的解集为：－1＜x＜3．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）用类似的方法解一元二次不等式：－x2＋4x－3＞0．

（2）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数y＝－（x－1）（|x|－3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
①x与y的几组对应值如表，其中m＝　 　．
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
－3
m
－3
0
1
0
－3
…
②如图，在直角坐标系中画出了函数y＝－（x－1）（|x|－3）的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．

③结合函数图象，解决下列问题：
不等式－4≤－(x－1)(|x|－3)≤0的解集为___________．
【解答】（1）解：解一元二次不等式：－x2＋4x－3＞0．
解：设－x2＋4x－3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，
则抛物线y＝－x2＋4x－3与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）．
画出二次函数）＝－x2＋4x－3的大致图象（如图所示），

由图象可知：当0＜x＜3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即－x2＋4x－3＞0．
所以一元二次不等式－x2＋4x－3＞0的解集为：1＜x＜3．
（3）x与y的几组对应值如表，其中m＝－4．
②如图，

③由图象可知：当－3≤x≤1或3≤x≤2＋时函数图象位于－4与0之间，此时－4≤y≤0，即－4≤－（x－1）（|x|－3）≤0．
所以不等式－4≤－（x－1）（|x|－3）≤0的解集为：－3≤x≤1或3≤x≤2＋．
22．已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．
（1）如图1，当＝＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；
（2）如图2，当＝＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．

【解答】解：（1）由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD－∠DAE＝∠EAG－∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG＋∠ADB＝∠ABE＋∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（2）BE＝，BE⊥DG，理由如下：
由（1）得：∠BAE＝∠DAG，
∵＝＝2，
∴△BAE∽△DAG，
∴，∠ABE＝∠ADG，
∴∠ADG＋∠ADB＝∠ABE＋∠ADB＝90°，
∴∠BDG＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图，

当B在线段BD上时，
作AH⊥BD于H，
∵tan∠ABD＝，
∴设AH＝2x，BH＝x，
在Rt△ABH中，
x2＋（2x）2＝（）2，
∴BH＝1，AH＝2，
在Rt△AEH中，
∵tan∠AEB＝，
∴，
∴EH＝AH＝2，
∴BE＝BH＋EH＝3，
∵BD＝＝5，
∴DE＝BD－BE＝5－3＝2，
由（2）得：，DG⊥BE，
∴DG＝2BE＝6，
∴S△BEG＝＝＝9，
在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，
∴DM＝GM＝，
∵NM＝NM，
∴△DMN≌△GMN（SSS），
∵MN是△BEG的中位线，
∴MN∥BE，
∴△BEG∽△MNG，
∴＝（）2＝，
∴S△MND＝S△MNG＝S△BEG＝，
如图，

同上可得：BE＝EH－BH＝2－1＝1，
DG＝2BE＝2，
∴＝1，
∴S△BEG＝，
综上所述：△DMN的面积是或．