2023年湖南省郴州市桂阳县中考数学二检试卷(含答案)

这是一份2023年湖南省郴州市桂阳县中考数学二检试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省郴州市桂阳县中考数学二检试卷
一、单选题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）实数|﹣2|，﹣1，0，中，最小的是（　　）
A．|﹣2| B．0 C．﹣1 D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3900000套，把3900000用科学记数法表示应是（　　）
A．0.39×107 B．39×105 C．3.9×107 D．3.9×106
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a2+3a2＝5a2 B．a5÷a3＝a
C．（﹣2a）3＝2a3 D．
5．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）某班8名同学100米跑的训练成绩分别为：80，85，90，85，92，89，82，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．85，87 B．85，89 C．90，89 D．89，90
7．（3分）不等式组的解集在数轴上的表示是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）若等腰三角形的周长是20cm，则能反映这个等腰三角形的腰长ycm与底边长xcm的函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
9．（3分）使有意义的x的取值范围是 　 　．
10．（3分）分解因式x2y﹣16y的结果为　 　．
11．（3分）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝150°，则∠2＝　 　度．

12．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是 　 　．
13．（3分）一个正多边形的每个内角为135°，则这个正多边形的边数为 　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 　 　．

15．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为 　 　cm．

16．（3分）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝2.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝3，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为 　 　．

三、解答题（共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（）0﹣2sin30°+（﹣）﹣1+（﹣1）2023．
18．（6分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣1．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．

20．（8分）某单位食堂为全体职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图：

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 　 　，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 　 　；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢D套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，请用树状图或列表法求甲、乙被选到的概率．
21．（8分）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．
（1）A，B两种花卉每盆各多少元？
（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
22．（8分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？

23．（8分）如图，在△ABC中，BC＝4，且△ABC的面积为4，以点A为圆心，2为半径的⊙A交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF＝45°．
（1）求证：BC为⊙A的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

24．（10分）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为5＝12+22，再如M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”；
（2）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k为常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（3）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
25．（10分）如图1，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'，延长AB'交CD于点M．
（1）如图1，若点E为线段BC的中点，求证：AM＝FM；
（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；
（3）若＝，求线段AM的长．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2023年湖南省郴州市桂阳县中考数学二检试卷
（参考答案与详解）
一、单选题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）实数|﹣2|，﹣1，0，中，最小的是（　　）
A．|﹣2| B．0 C．﹣1 D．
【解答】解：由题意知，﹣1＜0＜|﹣2|＜，
故选：C．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3．（3分）为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3900000套，把3900000用科学记数法表示应是（　　）
A．0.39×107 B．39×105 C．3.9×107 D．3.9×106
【解答】解：3900000＝3.9×106．
故选：D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2a2+3a2＝5a2 B．a5÷a3＝a
C．（﹣2a）3＝2a3 D．
【解答】解：A．2a2+3a2＝5a2，故此选项符合题意；
B．a5÷a3＝a2，故此选项不合题意；
C．（﹣2a）3＝﹣8a3，故此选项不合题意；
D．﹣无法合并，故此选项不合题意．
故选：A．
5．（3分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由几何体的左视图和主视图都是长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个三角形，
∴该几何体是三棱柱．
故选：C．
6．（3分）某班8名同学100米跑的训练成绩分别为：80，85，90，85，92，89，82，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．85，87 B．85，89 C．90，89 D．89，90
【解答】解：∵85出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是85；
把这些数从小到大排列为80，82，85，85，89，90，92，95，
中位数是＝87；
故选：A．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上的表示是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由3x﹣2＞1得x＞1，
由x﹣5＜﹣3得x＜2，
所以1＜x＜2．
故选：C．
8．（3分）若等腰三角形的周长是20cm，则能反映这个等腰三角形的腰长ycm与底边长xcm的函数关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意得 2y+x＝20．
∴y＝10﹣x，
由y+y＞x，即20﹣x＞x，得x＜10，
又x＞0，
∴0＜x＜10，
∴y关于x的函数关系式为y＝10﹣x（0＜x＜10）；
故选：B．
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
9．（3分）使有意义的x的取值范围是 　x≥﹣2　．
【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案是：x≥﹣2．
10．（3分）分解因式x2y﹣16y的结果为　y（x+4）（x﹣4）　．
【解答】解：x2y﹣16y＝y（x2﹣16）
＝y（x+4）（x﹣4）．
故答案为：y（x+4）（x﹣4）．
11．（3分）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝150°，则∠2＝　60　度．

【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠O＝90°，
∵∠1＝∠3+∠O＝150°，
∴∠3＝∠1﹣∠O＝150°﹣90°＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝60°，
故答案为：60．

12．（3分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根，那么m的取值范围是 　m≥﹣1　．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1，
即m的取值范围是m≥﹣1．
故答案为：m≥﹣1．
13．（3分）一个正多边形的每个内角为135°，则这个正多边形的边数为 　八　．
【解答】解：180°﹣135°＝45°，
360÷45＝8．
故答案为：八．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，平分∠ABC，则点D到AB的距离等于 　5　．

【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，

∵AC＝20，DC＝AD，
∴DC＝5，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴CD＝DH＝5，
∴点D到AB的距离等于5，
故答案为：5．
15．（3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为 　6　cm．

【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，
则：＝4π，
解得l＝6．
故答案为：6．
16．（3分）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝2.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝3，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为 　8　．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，∠A＝60°，
∵BD⊥AC，AQ＝3，QD＝2.5，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝5.5，
如图，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，
此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝3，QD＝2.5，
∴AD＝DC＝5.5，
∴QD＝DQ′＝2.5，
∴CQ′＝BP＝3，
∴AP＝AQ′＝8，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝8，
∴PE+QE的最小值为8．
故答案为：8．

三、解答题（共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：（）0﹣2sin30°+（﹣）﹣1+（﹣1）2023．
【解答】解：（）0﹣2sin30°+（﹣）﹣1+（﹣1）2023
＝1﹣2×+（﹣3）+（﹣1）
＝1﹣1﹣3﹣1
＝﹣4．
18．（6分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣1时，原式＝．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1＝∠2．
20．（8分）某单位食堂为全体职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图：

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为 　60人　，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为 　108°　；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢D套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，请用树状图或列表法求甲、乙被选到的概率．
【解答】解：（1）喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人）．
喜欢C套餐的人数为240﹣84﹣60﹣24＝72（人），
．
故答案为：60人；108°．
（2）960×＝96（人）．
∴最喜欢D类套餐的人数约为96人．
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲、乙被选到的结果有2种，
∴甲、乙被选到的概率为．
21．（8分）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．
（1）A，B两种花卉每盆各多少元？
（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？
【解答】解：（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元，
根据题意，得：＝，
解这个方程，得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，并符合题意，
此时，x+0.5＝1+0.5＝1.5（元），
∴A种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元；
（2）设购买A种花卉t盆，购买这批花卉的总费用为w元，
由题意，得：w＝t+1.5（6000﹣t）＝﹣0.5t+9000，
∵t≤（6000﹣t），
解得：t≤1500，
∵w是t的一次函数，﹣0.5＜0，
∴w随t的增大而减小，
∴当t＝1500时，w最小，
wmin＝﹣0.5×1500+9000＝8250（元），
∴购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用是8250元．
22．（8分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？

【解答】解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．
由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200（海里）．
在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．
故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200海里．

23．（8分）如图，在△ABC中，BC＝4，且△ABC的面积为4，以点A为圆心，2为半径的⊙A交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF＝45°．
（1）求证：BC为⊙A的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．

【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC的面积为4，
∴BC•AD＝4，
∴AD＝2，
∵⊙A的半径为2，
∴BC是⊙A的切线．
（2）∵∠EPF＝45°，
∴由圆周角定理可知：∠BAC＝90°，
∴S扇形AEF＝＝π，
∴阴影部分的面积为4﹣π．

24．（10分）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为5＝12+22，再如M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”；
（2）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k为常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（3）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
【解答】解：（1）∵8＝22+22，
∴8是完美数，
∵41≠62+22，
∴41不是完美数；
（2）∵S＝x2+9y2+4x﹣12y+k＝（x+2）2+（3y﹣2）2+k﹣8，
∴k＝8时，S是完美数；
（3）设m＝a2+b2，n＝c2+d2，（a，b，c，d为整数），
∴mn＝（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd﹣2abcd
∴mn＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2
∴mn是完美数．
25．（10分）如图1，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'，延长AB'交CD于点M．
（1）如图1，若点E为线段BC的中点，求证：AM＝FM；
（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；
（3）若＝，求线段AM的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠BAF，
由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，
∴∠F＝∠MAF，
∴AM＝FM．
（2）解：由（1）可知△ACF是等腰三角形，AC＝CF，
在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴CF＝AC＝10，
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴；
（3）①当点E在线段BC上时，如图3，AB'的延长线交CD于点M，

由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
由（1）可知AM＝FM．
设DM＝x，则MC＝6﹣x，则AM＝FM＝10﹣x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（10﹣x）2＝82+x2，
解得：x＝，
∴AM＝10﹣x＝10﹣＝．
②当点E在BC的延长线上时，如图4，

由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
则DF＝6﹣4＝2，
设DM＝x，则AM＝FM＝2+x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（2+x）2＝82+x2，
解得：x＝15，
∴AM＝2+x＝17．
综上所述：当时，AM的长为或17．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），
则 ，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图，

∴AH＝PH＝＝t，即H（3﹣t，0），
又Q（﹣1+t，0），
∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ
＝
＝
＝（t﹣2）2+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC＝，AB＝4，
∴0≤t≤3，
∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；
（3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP．
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，
∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，
∴∠PMF＝∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，
∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t，
又OE＝3﹣t，
∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3，
解得：t＝或（舍），
∴M点的坐标为（，）．