2023届山东省青岛市即墨区高三下学期教学质量检测数学试题含解析

这是一份2023届山东省青岛市即墨区高三下学期教学质量检测数学试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届山东省青岛市即墨区高三下学期教学质量检测数学试题 一、单选题1．设集合，，则集合中元素的个数为（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】用列举法写出集合的元素即可.【详解】因为集合，，所以集合中元素为，共4个.故选：C2．已知，i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第四象限，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【详解】解：复数，对应点在第四象限，则，解得：．实数的取值范围是．故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3．设向量，，且，则实数（    ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求解.【详解】因为向量，，所以，因为，所以，所以，解得，故选:B.4．24小时内降落在某面积上的雨水深度（无渗漏、蒸发、流失等，单位：mm）叫做日降雨量，等级如下划分：降水量（mm）0.1-9.910-24.925-49.950-99.9等级小雨、阵雨中雨大雨暴雨某同学用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图所示，则那天降雨属于哪个等级（    ）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】C【分析】利用圆锥内积水的高度，求出圆锥内积水部分的半径，求出积水的体积，再求出平面上积水的深度，由此确定降雨等级.【详解】作截面图如下，由已知，，，，设圆锥内积水部分的底面半径为，则，故，由锥体体积公式可得积水的体积，因为收集雨水的平地面积为圆锥的底面，故其面积所以对应的平地上的积水深度为所以该天降雨的等级为大雨.故选：C.5．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义，结合指数函数性质，不等式的性质，即可判断．【详解】不等式等价于，由可推出，由不一定能推出，例如时，，但，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6．若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由诱导公式把化为，再用二倍角公式变形，从而求出，再求出.把变形为再用和差角公式即可计算.【详解】由 得  所以.因为，所以，所以，所以，所以，，所以.故选：A7．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【详解】因，又当时，，当，，时，，则，，当，，时，，则，，作出函数的大致图象，对任意，都有，设的最大值为，则，且所以，解得所以m的最大值为.故选：A.8．已知，，，则、、的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用作差法结合基本不等式可得出、的大小关系，利用中间值结合指数函数、对数函数的单调性可得出、的大小关系，综合可得出、、的大小关系.【详解】因为，所以，，则，因为，所以，，则，所以因为，即，因此，.故选：C. 二、多选题9．a，b为两条直线，，为两个平面，则以下命题不正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，，则 D．若，，则【答案】ABC【分析】对A，注意判断的情况；对B，注意可能相交或异面；对C，讨论a，b的相交情况，即可判断；对D，根据平面平行的性质判断即可.【详解】对A，由，，可得或，A错误；对B，由，，可得直线可能相交，异面或平行， B错误；对C，，则当相交时，；当平行时，则或相交，C错误；对D，由，，根据平行平面的性质可得，D正确，故选：ABC.10．圆与轴相切于点，与轴正半轴交于、两点，且，则（    ）A．圆的标准方程为B．圆关于直线对称C．经过点与圆相交弦长最短的直线方程为D．若是圆上一动点，则的最大值为【答案】BC【分析】求出圆的方程，可判断A选项；判断圆心与直线的位置关系，可判断B选项；求出过点与圆相交弦长最短的直线方程，可判断C选项；由圆的几何性质可判断D选项.【详解】对于A选项，因为圆与轴相切于点，与轴正半轴交于、两点，则圆心的横坐标为，且圆心在第一象限，设圆心，其中，则圆的半径为，圆心到轴的距离为，所以，，所以，圆的标准方程为，A错；对于B选项，圆心为，因为，所以，圆心在直线，所以，圆关于直线对称，B对；对于C选项，因为，所以，点在圆内，记点，则，当与过点的弦垂直时，经过点与圆相交弦长最短，此时弦所在直线的斜率为，故所求直线的方程为，即，C对；对于D选项，记点，因为，则点在圆外，，由圆的几何性质可知，所以，，D错.故选：BC.11．已知函数，则（    ）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，方程有两个解【答案】AC【分析】结合在定义域内单调性，判断A；利用导数判断函数在单调性，由此判断B；判断函数，在上的单调性，由此判断C；，举反例判断D.【详解】在定义域内单调递增，所以当时，，即当时，，所以，故A正确；当时，要证明，只需证明，故考虑构造函数，则，当时，，函数在单调递增，所以当时，，即，所以B错误；设，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，当时，，即，C正确；取可得，方程等价于，解得，即时，方程只有一个解，D错误.故选：AC.12．数列共有M项（常数M为大于5的正整数），对于任意正整数，都有，且当时，，记的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）A．当时，B．当时，C．对任意小于M的正整数i，j，一定存在正整数p，q，使得D．对中任意一项，必存在中两项，使，，按照一定的顺序排列可以构成等差数列.【答案】ACD【分析】根据题中的条件可得数列具有对称性，故通过对称性及根据对称性举例来判断选项即可.【详解】对于A，因为，所以，故，所以，A正确；对于B，因为，所以，所以，又当时，，所以，B错误，对于C，当为偶数时，由可得若，则，则，同理可得若，则，，当为奇数时，由可得若，则，则，同理可得若，则，，所以要证明对任意小于M的正整数i，j，一定存在正整数p，q，使得，只需证明对任意的小于等于的正整数，一定存在正整数p，q，使得，又当时，，所以原命题成立，C正确；对于D，当为偶数时，若，则，取，，此时成等差数列，若，则，取，，此时成等差数列，若，则，取，，此时成等差数列，当时，可得，，因为存在与所以存在与按照一定的顺序排列可以构成等差数列，当为奇数时，只需考虑的情况，（其它情形与为偶数的情况一样），此时取，，可得成等差数列，D正确；故选：ACD.【点睛】知识点点睛：本题为数列综合问题，主要考查等差数列的概念，等比数列的求和公式和数列的性质，属于较难题，需要学生具有较强的运算求解能力和逻辑推理能力. 三、填空题13．偶函数的图象关于直线对称，，则________．【答案】【分析】根据题意，由函数的对称性可得，结合函数的奇偶性可得，即可得解．【详解】解：根据题意，函数的图象关于直线对称，则，又由函数为偶函数，则，故；故答案为：． 14．已知实数a，b满足，则的最小值是__________.【答案】【分析】先判断出，且.令，利用判别式法求出的最小值.【详解】因为实数a，b满足，所以，且.令，则，所以，代入，则有，所以关于b的一元二次方程有正根，只需，解得：.此时，关于b的一元二次方程的两根，所以两根同号，只需，解得.综上所述：.即的最小值是（此时，解得：）.故答案为：.15．设函数，其中，且，将的图象上各点横坐标伸长为原米的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到图象，则在区间上的最小值为________.【答案】/【分析】根据三角函数的图像变换求出的解析式，再根据正弦函数的图象性质求解.【详解】因为，所以，所以，解得，因为，所以，所以，将的图象上各点横坐标伸长为原米的2倍（纵坐标不变），可得，再将得到的图象向左平移个单位，得到图象，则，因为，所以，所以当，即时，有最小值为，故答案为: .16．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l倾斜角为，交C于两点，过两点分别作C的切线，，其交点为，，与x轴的交点分别为，则四边形的面积为________.【答案】4【分析】设出和切线，的方程，联立切线方程和抛物线方程，利用，得到，，进而求出直线方程，从而求出，再利用，将问题转化求的长度，利用条件得出，再联立直线方程和抛物线方程即可求出结果.【详解】如图，设,，易知过两点的抛物线C的切线，斜率均存在，不妨设，，联立，消得到，即，所以，又，所以，得到，所以，即，也即，同理可得直线为，又因为直线与交于，所以可得，，从而得到直线的方程为，又因为直线过焦点且倾斜角为，所以得到，即，且直线直线的方程为又由，令，得到，即，由，令，得到，即，又由，消得到，由韦达定理得，所以，又易知，所以四边形的面积为，故答案为：4. 四、解答题17．已知数列为等差数列，，；为等比数列，其前n项和.(1)求，的通项公式；(2)，求的前n项和.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）把，基本量化，从而可求得；利用和与项的关系可求解；（2）求得，从而裂项相消法求和.【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为则解得，，（），（）满足，（2）因为，所以.18．某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，下表是该商场连续五天的日销售情况：温度温度变量12345销售量（万份）0.30.30.50.91其中，温度变量对应的销售量为.(1)建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在，（）区间时的该饮品的日销售量；（附：）(2)为了了解消费群体中男女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了2×2列联表为： 喜欢一般合计女9020110男7040110合计16060220依据的独立性检验，能否认为喜欢程度与性别有关联？附：，.0.150.10.050.0250.010.001k2.0722.7063.8415.0246.63510.828(3)超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：百份）五组，并绘制了如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量.【答案】(1)，万份(2)能认为喜欢程度与性别有关联(3)份 【分析】(1)根据表格所给的数据求出，，,代入公式计算，，即可求出回归方程，再把代入所求的回归方程即得；(2) 根据列联表所给的数据求出，再结合题目所给的表格的数据判断；(3) 根据直方图所给的数据代入平均数公式即可计算.【详解】（1）, ，销售量关于温度变量的回归方程为：当，所以，温度在区间时的该冷品的日销售量估计为万份.（2）所以，依据的独立性检验，能认为喜欢程度与性别有关联.（3）设天的日均销售量为，则，这天的日均销售量约为份·19．如图，在中，，在边上.(1)若，求的长；(2)若，求DC长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）应用余弦定理解三角形即可；（2）先应用两角和的正弦值，再应用正弦定理求解即得.【详解】（1）在中，由余弦定理·，在中，由余弦定理·（2）由（1）知，，，，·，在由正弦定理得解得·20．已知平面四边形ABCE（图1）中，，均为等腰直角三角形，M，N分别是AC，BC的中点，，，沿AC将翻折至位置（图2），拼成三棱锥D-ABC.(1)求证：平面平面；(2)当二面角的二面角为60°时，①求直线与平面所成角的正弦值；②求C点到面ABD的距离.【答案】(1)证明见解析(2)①；② 【分析】（1）证明，由线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明平面平面；（2）①证明为二面角的平面角，取的中点，由面面垂直判定定理证明平面，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值；②求向量在平面的法向量上的投影向量的长度即可.【详解】（1）因为分别是的中点，所以，又，所以，因为，所以.又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，（2）①因为，所以就是二面角的平面角，由已知，因为为以为斜边的等腰直角三角形，为的中点，所以，又，所以为等边三角形，取中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以面如图，以直线为轴，以为轴建立空间直角坐标系，， 设面的一个法向量则有，所以，取，则，所以为平面的一个法向量，，所以，所以直线与面所成角的正弦值为·②，点到面的距离21．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若存在，使成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)先求导，把切点的横坐标代入导数方程得切线的斜率，再求切点坐标，从而求出切线方程，由方程求出切线与轴的交点即可求出三角形的面积.(2) 令，则只要函数在区间的最小值小于即可.通过求导讨论函数的单调性，从而可求函数的最小值，最后求出a的取值范围.【详解】（1）当时，，，所以曲线在处的切线的斜率，又，切线方程为.与轴的交点分别是，切线与坐标轴围成的三角形的面积·（2）存在，使即，即.即存在，使成立.令，因此，只要函数在区间的最小值小于即可·下面求函数在区间的最小值.，令，因为，所以为上的增函数，且.在恒成立·在递调递增，函数在区间的最小值为，，得.【点睛】易错点点睛：第二问的关键点在于把不等式能成立问题转化为求函数的最小值问题，在这类问题中，最容易错的地方是分不清恒成立和能成立的区别，若在给定区间内恒成立，则要大于的最大值；若在给定区间内能成立，则只需要大于的最小值.22．已知椭圆的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，原点O为的重心；①如果直线AB，OC的斜率都存在，求证：为定值；②试判断的面积是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)(2)①证明见解析；②为定值， 【分析】（1）利用条件直接求出，从而求出椭圆的方程；（2）①设出直线的方程，联立椭圆方程得，利用丰达定理求出中点坐标，进而可得出证明；②分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，利用条件分别求出的面积，从而判断出是否为定值.【详解】（1）因为，得到，又，解得所以椭圆的方程为.（2）①设直线的方程为，联立，消去得到，设，由韦达定理得到，，由，得，设线段的中点，因为为的重心，所以，为定值.②设，因为原点O为的重心，所以，当直线的斜率不存在时，有或，由重心的性质知，当时，直线方程为，时，直线方程为，将或代入，均求得，又到直线的距离为3，所以，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由①知，，又因为原点O为的重心，所以，又因为点在曲线上，代入，得，化简得，又，所以，原点到直线的距离所以为定值，综上所述，的面积是为定值，定值为.【点睛】对于第（2）问中的②小问，利用韦达定理，结合重心坐标公式是解题的关键.