2022-2023学年浙江省杭州市滨江区江南实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市滨江区江南实验学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  李华参加演讲比赛，有九位评委打分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则下列数据一定不发生变化的是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

4.  若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  利用反证法证明“在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于”，应先假设(    )

A. 三角形有一个角小于 B. 三角形的每个角都小于
C. 三角形的每个角都大于 D. 三角形有一个角大于

7.  如图，四边形是平行四边形，是对角线与的交点，，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一次足球联赛实行单循环比赛每两支球队之间都比赛一场，计划安排场比赛，设应邀请了支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，是▱的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  已知一组数据：、、，小明用计算这一组数据的方差，那么 ______ ．

12.  如图，某地下车库的入口处有斜坡，其坡比与的长度之比为：，则的长为______米．

13.  如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是______ ．

14.  已知，则的值等于______．

15.  如图，在中，、分别是、的中点，，是上一点，连接、，若，，则的长为______．

16.  如图，将平行四边形沿对折，使点落在点处若，，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
下面是小明解一元二次方程的过程：
解：原方程可化为，第一步
方程两边同除以得，，第二步
系数化为得．
小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程．

18.  本小题分
计算：
；
．

19.  本小题分
近年来，网约车给人们的出行带来了便利，杨林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的名司机月收入单位：千元如图所示：
“滴滴”网约车司机收入的频数分布表：

根据以上信息，整理分析数据如表：

填表：在表格的空白处填入相应的数据；
杨林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是杨林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的权权选择哪家公司？

20.  本小题分
如图，中，点，分别是边，的中点，过点作交的延长线于点，连接．
 

求证：四边形是平行四边形．

当时，若，，求的长．

21.  本小题分
已知关于的方程．
求证：当时，方程总有两个不相等实数根；
若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．

22.  本小题分
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
求该品牌头盔销售量的月增长率；
若此种头盔的进价为元个，测算在市场中，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？

23.  本小题分
如图，中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿方向运动，当点到达点时，点也停止运动，以，为邻边作平行四边形，，分别交于点，设点运动的时间为秒．
______ 含的代数式表示；
如图，连结，，，当时，求的面积．
如图，连结，，点关于直线的对称点为点，若落在的内部不包括边界时，则的取值范围为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、中的三个图形都不是中心对称图形，
选项D的图形是中心对称图形．
故选：．
一个图形绕着某固定点旋转度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据此概念即可完成．
本题考查了中心对称图形的识别，掌握概念是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式的定义得出，进而得出答案．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

3.【答案】 

【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分，平均分、众数、方差可能发生变化，
中位数一定不发生变化，
故选：．
根据平均数、中位数、众数、方差的定义判断即可．
此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响．
 

4.【答案】 

【解析】解：将代入方程
得：，解得：．
故选：．
将代入方程得到关于的方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的根的定义，将已知方程的一个根代入方程得到新的方程是解答本题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意．
故选：．
根据二次根式加减乘除法运算的计算法则计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
 

6.【答案】 

【解析】解：一个角大于或等于的反面是：小于．
故应假设：三角形的每个角都小于．
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
本题主要考查了反证法的基本步骤，正确确定大于或等于的反面，是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
．
故选：．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得的长，然后由，，，根据勾股定理可求得的长，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意掌握平行四边形的对角线互相平分．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用比赛的总场数参赛队伍支数参赛队伍支数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
四边形为平行四边形，
，，
，
是中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
即，
，
四边形为平行四边形，
，
阴影部分的面积
故选：．
连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，，再证明≌得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积．
本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，，
，，
故选：．
画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由，可知这个数据的平均数为，
所以，
故答案为：．
根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案．
本题考查了方差公式，解题关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数．
 

12.【答案】 

【解析】解：斜坡的坡比为：，，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
根据坡度的概念求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设多边形的边数为，根据题意得，
，
解得．
故答案为：．
利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
 

14.【答案】 

【解析】解：设

，即
，或
又的值一定是非负数
的值是．
故答案为：．
首先把当作一个整体，设，方程即可变形为关于的一元二次方程，解方程即可求得即的值．
此题注意把看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍．
 

15.【答案】 

【解析】解：点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
．
，是的中点，，
，
．
故答案为：．
利用三角形中位线定理得到由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到最后由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作的延长线于点，
在▱中，
，，，
由于▱沿对折，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，，
设，
则，，
，，
，
由勾股定理可知：，
，
在中，
由勾股定理可知：，
解得：，
故答案为：．
过点作的延长线于点，易证≌，从而可知，，设，在中，利用勾股定理列出方程即可求出的值．
本题考查平行四边形的综合问题，解题的关键是证明≌，然后利用勾股定理列出方程，本题属于中等题型．
 

17.【答案】解：从第二步开始出现的错误，其错误原因是等式的性质用错，
正确的解答过程如下：
，
，
，
则或，
解得：、． 

【解析】先移项，再提取公因式分解因式，即可得到两个一元一次方程的积，再解一元一次方程即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

；
原式



． 

【解析】先将原式中每项化简为最简二次根式，再去括号，最后合并同类二次根式即可解答；
原式分子和分母同时乘以，分母再利用平方差公式计算，再约分即可解答．
本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握二次根式的混合运算法则和分母有理化的方法是解题关键．
 

19.【答案】解：“美团”的平均月收入为，众数为，
“滴滴”网约车司机收入的中位数为，
在表格的空白处填入相应的数据：

选“美团”，理由如下：
因为平均数一样，“美团”的中位数、众数大于“滴滴”的，且“美团”的方差小，更稳定． 

【解析】利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．
 

20.【答案】证明：点，分别是边，的中点，
．
，
四边形是平行四边形；

解：，为的中点，
．
，，
，
． 

【解析】根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】证明：，
，，，


，
，
，即，
方程总有两个不相等实数根；
由题意可知，
，
即：．
当，时，方程为：．
解得：． 

【解析】根据根的判别式符号进行判断；
根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．
 

22.【答案】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
设该品牌头盔的实际售价为元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：不合题意，舍去，，
答：该品牌头盔的实际售价应定为元． 

【解析】设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔月份及月份的月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】  

【解析】解：在中，，，，
，
由题意，，
．
故答案为：；

如图中，

四边形是平行四边形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
；

如图，，，
，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，
如图，点与重合，

由对称得：，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
如图，在斜边上，

由对称得：，
，
是等边三角形，
，
，
，
的取值范围为．
故答案为：．
根据几何动点的速度和时间可得结论；
根据四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，可得，再证明≌，最后利用三角形的面积公式可解答；
先证明，再计算两个边界点时点的值；如图，点与重合，如图，在斜边上，由此可得结论．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论，学会取边界点解决实际问题，属于中考压轴题．