2023年浙江省温州市龙湾区中考数学一模试卷（含解析）

2023年浙江省温州市龙湾区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  发展新能源汽车是我国应对气候变化、推动绿色发展的战略举措据统计，年国内新能源汽车销量超过辆，数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图所示的几何体，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  一个不透明的布袋里装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个红球，个黄球从布袋里任意摸出个球，是白球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是某班学生选择校服尺码的人数统计图，若选择码的有人，那么选择码的有(    )

A. 人
B. 人
C. 人
D. 人

6.  下列式子计算结果等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，一个钟摆的摆长为米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

8.  如图，是的外接圆，是直径，延长至点，平分交于点若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  某商店有，两种糖果，原价分别为元千克和元千克据调查发现，将两种糖果按种糖果千克与种糖果千克的比例混合，取得了较好的销售效果现调整糖果价格，若种糖果单价上涨，种糖果单价下调，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变则为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点为正方形的中心，以的中点为圆心，为半径画弧交的延长线于点以为边向上作正方形，过点作交于点，取的中点，连结已知，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  分解因式：______．

12.  某校学生“数学速算”大赛成绩的频数分布直方图每一组含前一个边界值，不含后一个边界值如图所示，其中成绩在分及以上的学生有______ 人

13.  若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为______ ．

14.  不等式组的解为______ ．

15.  如图，在平行四边形中，，点为上一点将沿翻折至，，分别交边于点，若点为中点，且，，则的长为______ ．

16.  图是某收纳盒实物图，图是盒子打开时部分侧面示意图，两平行的支撑杆，与收纳盒相连当支撑杆绕点或旋转时，收纳盒，沿斜上方平移，且，始终保持与平行点位于的中垂线上，其到的距离是到距离的倍，已知，，转动，当点在点的正上方时，到的距离为，盒子关闭时，支撑杆绕点旋转，点恰好与点重合，则支撑杆的长为______ ；将盒子完全打开如图所示，支撑杆经过点，则与的距离为______ ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．
化简：．

18.  本小题分
如图，，，是上的一点，且．
求证：≌．
若，，求的度数．

19.  本小题分
年温州体育中考米改为选考项目，报名时小明在米与立定跳远之间犹豫他把最近次的成绩进行整理分析，具体操作如下：
【收集数据】小明最近次的米和立定跳远成绩．

【整理数据】依据中考标准分数表将米和立定跳远的成绩转化成相应分数，并绘制成折线统计图如图所示．
米和立定跳远的中考标准分数表部分

【应用数据】
根据以上数据，补全立定跳远折线统计图，并求出其平均分数．
已知米，立定跳远的方差分别为平方分，平方分，根据所给的方差和中所求的统计量，结合折线统计图，如果你是小明，会选择哪一项作为体育中考项目？请简述理由．

20.  本小题分
在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，如图，已知整点，，，请在所给网格区域含边界按要求画整点三角形顶点都是整点．
在图中将绕点旋转至，使点或落在坐标轴上．
在图中将平移至，使点的对应点和点的对应点落在同一个反比例函数图象上．
 

21.  本小题分
如图，已知点为二次函数的顶点，点为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线交函数图象于点，点在点的左侧点在射线上，且满足过点作交抛物线于点，记点的纵坐标为．
求顶点的坐标．
若，求的值．
当时，求的取值范围．

22.  本小题分
如图，在矩形中，点，分别为，的中点，过点作交的延长线于点，连结交于点．
求证：四边形为平行四边形．
若，且，求的长．

23.  本小题分
根据以下素材，探索完成任务．

24.  本小题分
如图，在菱形中，，，以为直径作半圆交于点，过点作的切线交于点，交的延长线于点当点从点运动至点时，点恰好从点运动至点，设，．

求证：．
求关于的函数表达式．
连结．
当与的一边平行时，求的值．
如图，记与交于点，连结，若，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在，，，中，是无理数的是．
故选：．
根据无理数的定义进行解答即可．
本题考查的是无理数．涉及到算术平方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看，可得图形如下：

故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：从布袋里任意摸出个球有种等可能结果，其中是白球的有种结果，
是白球的概率是，
故选：．
从布袋里任意摸出个球有种等可能结果，其中是白球的有种结果，根据概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

5.【答案】 

【解析】解：调查的学生总人数为：人，
所以选择码的有：人．
故选：．
根据选择码的有人的人数及所占比例，即可求得被调查的学生总人数，再用调查的学生总人数乘即可．
此题考查了扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

6.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，米，
在中，，
米，
故选：．
根据题意可得：，，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
是的直径，
，
，
平分，
，
，
，
故选：．
根据同弧所对的圆周角相等可得：，再根据直径所对的圆周角是度可得，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，两种糖果，原价分别为每千克元和元，两种糖果按种糖果千克与种糖果千克的比例混合，
两种糖果的平均价格为：，
种糖果单价上涨，种糖果单价下跌，
两种糖果的平均价格为：，
按原比例混合的糖果单价恰好不变，
，
整理得出：，
．
故选：．
分别根据已知表示出价格变化前后两种糖果的平均价格，进而得出等式求出即可．
此题主要考查了列代数式分式，根据已知得出两种糖果的平均价格是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，，，
点为正方形的中心，
点在线段上，
四边形是正方形，
，，
，即，
，
≌，
，，
，点为的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，且，
，
点为的中点，且，
，，
由勾股定理得：，即，
解得：负值已舍，
故选：．
连接，，，，证明≌，推出，，利用勾股定理求得的长，再先后得到、、的长，利用直角三角形斜边中线的性质求得，利用等腰三角形的判定和性质以及勾股定理即可求解．
本题考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案是：．
提取公因式进行分解即可．
考查了因式分解提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
 

12.【答案】 

【解析】解：由直方图可得，
成绩为分及以上的学生有：人，
故答案为：．
根据题意和直方图中的数据可以求得成绩在分及以上的学生人数，本题得以解决．
本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：扇形的圆心角为，半径为，
扇形的弧长
故答案为：
利用弧长公式计算即可．
此题考查弧长的计算，关键是记住弧长公式，属于中考基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得；
解不等式，得；
故不等式组的解集为．
故答案为：．
先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，，
，，
点为中点，
，
根据折叠的性质可得，，，
，
如图，过点作于点，

，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，，
∽，
，即，
，
．
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，由线段中点定义得，由折叠性质得，，进而得到，过点作于点，则，根据勾股定理求得，则，以此得到，，易证∽，根据相似三角形的性质可求出，则，即可求解．
本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构建合适的直角三角形解决问题是解题关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：如图：设与相交于点，与相交于点，连接，

由题意得：，，，，，，
设，
，
点位于的中垂线上，
平分，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
；
如图：过点，交的延长线于点，延长交于点，交于点，

由题意得：，，，
，
，，
，
，
，
，
，
由题意得：，
，
，
，
与的距离为，
故答案为：；．
如图：设与相交于点，与相交于点，连接，根据题意可得：，，，，，，然后设，则，根据已知可得平分，从而可得，从而可得，再在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，从而可得，进而可得，最后可得；如图：过点，交的延长线于点，延长交于点，交于点，根据题意可得：，，，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而利用等腰直角三角形的性质可求出，的长，然后根据已知可得，从而可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式；
原式


． 

【解析】先利用负整数指数幂及算术平方根的意义、计算乘方和开方，再化简绝对值和计算乘法，最后算加减；
按同分母分式加减法法则计算即可．
本题考查了实数的混合运算和分式的加减，掌握实数的运算法则、运算顺序及分式的加减法法则是解决本题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌．
解：≌，
，
，
，
，
，
，
，
的度数是． 

【解析】由，得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
由，，得，则，所以．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明及≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：补全折线统计图如下：

立定跳远的平均分：分；
米平均分：分．
选择立定跳远．立定跳远和米的平均分相等，虽然立定跳远的方差大于米的方差，但是从折线统计图上来看成绩在持续增长，潜力大． 

【解析】根据表格中的数据即可补全折线图，再利用平均数的定义可求得立定跳远的成绩的平均数；
根据平均数和方差的意义求解即可．
本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差和平均数的定义及方差的意义．
 

20.【答案】解：如图，即为所求答案不唯一．
如图，即为所求答案不唯一．
 

【解析】根据旋转的性质按要求作图即可．
由题意知，点的横纵坐标之积与点的横纵坐标之积相等，再结合平移的性质作图即可．
本题考查作图平移变换、旋转变换、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移和旋转的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：，
顶点的坐标为．
当时，则，
令，则，
解得，，
，
．
，
．
当时，的最小值为．
当时，的最大值为．
． 

【解析】把二次函数的解析式化成顶点式，即可求得顶点的坐标；
解方程，求得的坐标即可得出；
由，代入解析式得，求得当时，的最小值为时，的最大值为，根据二次函数的性质即可求得．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：在矩形中，，
点，分别为，的中点，
，即，
又，
四边形为平行四边形；

解：连结，

由得，四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
为斜边上的中线，
，
即为等边三角形．
，
． 

【解析】根据矩形的性质得出，根据三角形的中位线性质得出，即，再根据平行四边形的判定证明即可；
根据全等三角形的判定得出≌，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，求出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，直角三角形的性质，三角形的中位线性质，全等三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质和判定是解此题的关键．
 

23.【答案】解：任务：
把，和，分别代入，
得，
解得
所以关于的函数关系式为；
任务：
当时，，
解得或舍去，
，
计时器的计时时长为；
任务：
由，得，
，
．
和都是整数，
，，，，，
当时，，；
当时，，；
时，，；
当时，，；
所以符合要求的方案有两种，
方案一，“漏水壶”水位高度为，计时器计时时长；
方案二，“漏水壶”水位高度为，计时器计时时长． 

【解析】任务：根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式；
任务：先根据求出的值，再根据求出的值；
任务：根据，以及的取值范围求出的取值范围，再根据，是正整数，从而得出方案．
本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
 

24.【答案】证明：为直径，
．
，
．
，，
．
．
，．
≌．
；
解：连结，

为的切线，
．
，，
为等边三角形，
，，
．
，
，．
由得≌，
，
．
当点从点运动至点，点恰好从点运动至点，
，
，
．
解：当时，，


．
又，
，
．
．
如图当时，，

．
又，
，
．
．
综上所述：的值为或．
过点作的高线交于点，
，
，，
．
，
，
为等边三角形，
，
，
∽，
，
，
，
则．

在中，，，
．
． 

【解析】首先利用含角的直角三角形的性质得，再证明≌，得；
连结，利用含的角的直角三角形的性质求出的长，从而得出的长，再根据当点从点运动至点，点恰好从点运动至点，得，即可解决问题；
分和两种情形，分别画出图形，根据含角的直角三角形的性质可得答案；
根据∽，得过点作的高线交于点，进而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，利用∽是解决问题的关键．