衡阳县第四中学2023届高三下学期4月第三次测试数学试卷（含答案）

这是一份衡阳县第四中学2023届高三下学期4月第三次测试数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
衡阳县第四中学2023届高三下学期4月第三次测试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、设集合，，.若，，则(   )A. B. C.1 D.32、已知复数，i为虚数单位，则复数z在复平面内所对应的点位于(   )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、已知函数，则满足的x的取值范围是(   )A. B. C. D.4、已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为(   )A. B. C. D.5、若向量a，b满足，，，则(   )A.2 B. C.1 D.6、若，则的值为(   )A. B. C. D.7、已知，，，，则的最小值为(   )A. B.2 C.6 D.8、已知球O是正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点E在线段BD上，且.过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是(   )A. B. C. D.9、已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在C上，若，O为坐标原点，且的面积为，则双曲线C的渐近线方程为(   )A. B. C. D.10、已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是(   )A. B. C. D.11、如图，C，D为以AB的直径的半圆的两个三等分点，E为线段CD的中点，F为BE的中点，设，，则(   )A. B. C. D.12、若a，b为正数，且满足，则关于的最小值说法正确的是(   )A.当且仅当时，取得最小值25B.当且仅当，时，取得最小值26C.当且仅当时，取得最小值20D.当且仅当，时，取得最小值1913、已知函数的图像如图所示，则该函数的解析式为(   )A. B. C. D.14、一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为(，，)，，该函数也可以简化为(，，)的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1m，经过一年，该果树的高为2.5m，则该果树的高度超过8m，至少需要(   )A.4年 B.3年 C.5年 D.2年15、已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于y轴对称，则的最小值为(   )A.1 B.2 C. D.5二、多项选择题16、已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是(   )A.该函数解析式为B.函数的一个对称中心为C.函数的定义域为D.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则b的最小值为17、已知角的终边与单位圆交于点，则(   )A. B. C. D.18、已知是的导函数，且，则(   )A.B.C.的图象在处的切线的斜率为0D.在上的最小值为119、如图，已知点O为正六边形ABCDER的中心，下列结论中正确的是(   )A.  B.C. D.20、在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是(   ).A.  B.数列是等比数列C.  D.数列是公差为2的等差数列三、填空题21、若数列满足，则称为“梦想数列”.已知数列为“梦想数列”，且，则的通项公式____________.22、的展开式中常数项为__________.23、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则的面积为________.24、已知，，且，则的最小值为__________.25、已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，线段与y轴交于点Q，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为____________.四、解答题26、已知的内角A、B、C满足.（1）求角A；（2）若的外接圆半径为1，求的面积S的最大值.27、已知数列，，满足，，，，.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，证明：.28、已知过点的直线l与抛物线相交于A，B两点，当直线l过抛物线C的焦点时，.（1）求抛物线C的方程；（2）若点，连接QA，QB分别交抛物线C于点E，F，且与的面积之比为，求直线AB的方程.29、由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的列联表. 非常喜欢喜欢合计A3015 Bxy 合计   已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系；（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望.附：，，0.050.0100.0013.8416.63510.82830、如图，和都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直.平面，且.（1）设P是的中点，求证：平面.（2）求二面角的正弦值.
参考答案1、答案：B解析：因为，故，故或，若，则，，此时，符合；若，则，，此时，不符合；故选：B.2、答案：C解析：因为复数，所以复数z在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限，故选C.3、答案：C解析：由，得，即.设，则，解得或(舍)，故，解得.故选C.4、答案：C解析：由函数的图象在点处的切线方程是，得，.由，得，则.5、答案：B解析：，，，，，，，.故选B.6、答案：A解析：由，得，，即..7、答案：D解析：，当且仅当时等号成立，故，当且仅当，即且时，等号成立，故最小值为.故选D.8、答案：A解析：如图，是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径，由勾股定理得棱锥的高，设球O的半径为R，则，解得，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以在中，，当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为.故选：A.9、答案：A解析：在中，，由余弦定理得，得，故的面积，所以.因为O是的中点，所以，两边同时平方得，因为，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，故选A.10、答案：D解析：设切点坐标为.因为，所以，所以曲线在点处的切线斜率为.又因为切线过点，所以切线斜率为，所以，即①.因为过点可作曲线的三条切线，所以方程①有3解.令，则的图象与x轴有3个交点，所以的极大值与极小值异号.又，令，得或，所以，即，解得，故m的取值范围是.11、答案：A解析：因为C，D为以AB的直径的半圆的两个三等分点，则，且，又E为线段CD的中点，F为BE的中点，故选：A.12、答案：A解析：因为，所以.，当且仅当且，即时等号成立，取得最小值25.13、答案：D解析：由题图知的定义域为且为偶函数，排除A；当时，，故是奇函数，排除B；当时，，故是奇函数，排除C.故选D.14、答案：A解析：由题可得则解得，，所以，由函数解析式可知，在上单调递增，且，，故该果树的高度超过8m，至少需要4年.故选A.15、答案：D解析：，因为该函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，所以，因为的图象关于y轴对称，所以是偶函数，因此有，因为，所以当时，有最小值，最小值为5，故选：D.16、答案：ABC解析：本题考查三角公式，辅助角公式，三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质.由题意知，该函数最小正周期为，解得，即，将点代入，得到函数解析式为，选项A正确；对于选项B，代入成立，因而选项B正确；，满足，解得，从而选项C正确；，根据该函数为奇函数，知，从而得到，所以b的最小值为，故选项D错误.17、答案：AC解析：角的终边与单位圆交于点，，，.当时，；当时，.18、答案：BC解析：，，令，则，故B正确；则，，，故A错误；的图象在处的切线的斜率为，故C正确；，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，故D错误.故选BC.19、答案：BC解析：A选项，，故A错误；B选项，，，由正六边形的性质知，，故B正确；C选项，设正六边形的边长为1，则，，式子显然成立，故C正确；D选项，设正六边形的边长为1，，，故D错误.故选BC.20、答案：ABC解析：由，，得，，由公比q为整数，解得，，，，数列是公比为2的等比数列，，又，数列是公差为的等差数列.故选ABC.21、答案：解析：由可得，故是公比为的等比数列，由数列为“梦想数列”，得是以为首项，3为公比的等比数列，所以，则.22、答案：60解析：展开式第项，，当时，，故展开式中常数项为.故答案为：60.23、答案：解析：由正弦定理知可化为.，.，，则A为锐角，，则，.24、答案：4解析：因为，，，所以原式，当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为4.25、答案：解析：，线段与y轴交于点Q，，P在y右侧，则，，，为等腰三角形，则，所以，，整理得，，，故答案为：.
26、（1）答案：解析：解：因为，所以，即，所以，因为，所以；（2）答案：解析：因为的外接圆半径为1，所以，由余弦定理得，所以，当且仅当时，等号成立，所以，故的面积S的最大值是.27、（1）答案：证明过程见解析，解析：，，，，即，，，，数列是公比为2的等比数列.又，，，，，，，即.（2）答案：证明过程见解析解析：由(1)，当n为偶数时，，故.当n为奇数时，.当n为偶数时，.综上，.28、（1）答案：方程为解析：设，，因为抛物线C的焦点为，所以当直线l过C的焦点时，直线AB的方程为，由得.则，，，整理得，所以，故抛物线C的方程为.（2）答案：方程为解析：易知直线AB的斜率在在具不为零，设直线AB的方程为，由得，则，即或，.易知直线AQ的方程为，由得，设，则，，设，同理可得，则，得，，故直线AB的方程为.29、（1）答案：从A地抽取6人，从B地抽取7人解析：由题意得，解得，所以应从A地抽取(人)，从B地抽取(人).（2）答案：表格见解析，没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系解析：完成表格如下： 非常喜欢喜欢合计A301545B352055合计6535100所以的观测值，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.（3）答案：分布列见解析，期望是2解析：从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，从A地区随机抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，.所以X的分布列为X0123P.30、（1）答案：见解析解析：证明：取BC的中点O，连接AO，DO，AD.是正三角形，.平面平面BCD，平面平面，平面BCD.平面BCD，.在中，，.又，为等腰三角形.P是DE的中点，.平面BCD，，，.平面BCD，平面BCD，平面BCD.（2）答案：解析：由(1)知，，四边形APDO为平行四边形，，.以点O为坐标原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，.设平面ABE的法向量为，则即令，则，，.设平面ACE的法向量为，则即令，则，，..，二面角的正弦值为.