2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第二章　§2.3　函数的奇偶性、周期性

这是一份2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第二章　§2.3　函数的奇偶性、周期性，共12页。试卷主要包含了周期性等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( × )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( × )
(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( × )
(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．( √ )
教材改编题
1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上( )
A．单调递增，且有最小值f(1)
B．单调递增，且有最大值f(1)
C．单调递减，且有最小值f(2)
D．单调递减，且有最大值f(2)
答案 A
解析 偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，
则由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1,2]上单调递增，
即有最小值为f(1)，最大值为f(2)．
对照选项，A正确．
2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________.
答案 －6
解析 因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，
所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.
3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________.
答案 －1
解析 因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，
所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
题型一 函数奇偶性的判断
例1 (多选)下列命题中正确的是( )
A．奇函数的图象一定过坐标原点
B．函数y＝xsin x是偶函数
C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数
D．函数y＝eq \f(x2－x,x－1)是奇函数
答案 BC
解析 对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确；
对于B，因为函数y＝xsin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，
所以该函数为偶函数，所以B正确；
对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称，
且满足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，
所以函数为奇函数，所以C正确；
对于D，函数y＝eq \f(x2－x,x－1)满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称，
所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C
解析 选项A，f(x)g(x)＝(ex＋e－x)sin x，
f(－x)g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(ex＋e－x)sin x＝－f(x)g(x)，是奇函数，判断错误；
选项B，|f(x)|g(x)＝|sin x|(ex＋e－x)，
|f(－x)|g(－x)＝|sin(－x)|(e－x＋ex)＝|sin x|(ex＋e－x)＝|f(x)|g(x)，是偶函数，判断错误；
选项C，f(x)|g(x)|＝|ex＋e－x|sin x，
f(－x)|g(－x)|＝|e－x＋ex|sin(－x)
＝－|ex＋e－x|sin x＝－f(x)|g(x)|，是奇函数，判断正确；
选项D，|f(x)g(x)|＝|(ex＋e－x)sin x|，|f(－x)g(－x)|＝|(e－x＋ex)sin(－x)|
＝|(ex＋e－x)sin x|＝|f(x)g(x)|，是偶函数，判断错误．
题型二 函数奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求值(解析式)
例2 (1)(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3＋1，x>0，,ax3＋b，x0时，－x0，
由于x在分母位置，所以x≠0，
当x2；
综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝sin x＋x3＋eq \f(1,x)＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于( )
A．1 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 根据题意f(a)＝sin a＋a3＋eq \f(1,a)＋3＝1，
即sin a＋a3＋eq \f(1,a)＝－2，
所以f(－a)＝sin(－a)＋(－a)3＋eq \f(1,－a)＋3
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin a＋a3＋\f(1,a)))＋3＝2＋3＝5.
(2)已知函数f(x)＝lg2(|x|＋1)，若f(lg2x)