2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第二章　必刷小题3　基本初等函数

必刷小题3　基本初等函数

一、单项选择题

1．函数f(x)＝＋lg(3－x)的定义域为(　　)

A．[1,3)   B．(1,3)

C．(－∞，1)∪[3，＋∞)   D．(－∞，1]∪(3，＋∞)

答案　B

解析　由题意可得解得1<x<3，即函数的定义域为(1,3)．

2．(2023·苏州质检)已知函数f(x)＝则f(f(1))等于(　　)

A．0  B.  C．1  D．10

答案　C

解析　f(f(1))＝f(lg 1)＝f(0)＝100＝1.

3．函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为(　　)

A．(2，＋∞)   B．(－∞，2)

C．[4，＋∞)   D．[3，＋∞)

答案　C

解析　令t＝x2＋3≥4，

因为y＝2＋log2t在[4，＋∞)上单调递增，

所以y≥2＋log24＝4，

所以y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为 [4，＋∞)．

4．函数y＝3－x与y＝log3(－x)的图象可能是(　　)

答案　C

解析　函数y＝3－x＝x为R上的减函数，排除A，B选项，

函数y＝log3(－x)的定义域为(－∞，0)，

内层函数u＝－x为减函数，外层函数y＝log3u为增函数，

故函数y＝log3(－x)为(－∞，0)上的减函数，排除D选项．

5．已知a＝log3，b＝e0.1，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c   B．a<c<b

C．c<b<a   D．c<a<b

答案　B

解析　a＝log3<log3＝，b＝e0.1>e0＝1，

c＝＝，故a<c<b.

6．(2023·长沙模拟)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋，若f(e)＋f(0)＝－3，e是自然对数的底数，则f(－1)等于(　　)

A．e  B．2e  C．3e  D．4e

答案　D

解析　依题意得f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，因为f(e)＋f(0)＝－3，所以f(e)＝ln e＋＝－3，解得a＝－8e，所以当x>0时，f(x)＝ln x－，所以f(－1)＝－f(1)＝－＝4e.

7．已知f(x)＝是R上的减函数，那么a的取值范围是(　　)

A.   B.

C．[1,6]   D.

答案　A

解析　因为f(x)＝是R上的减函数，

所以解得≤a≤6.

8．已知函数f(x)＝2 022x＋ln(＋x)－2 022－x＋1，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)>2的解集为(　　)

A.   B.

C.    D.

答案　C

解析　因为f(x)＝2 022x＋ln(＋x)－2 022－x＋1，

所以f(－x)＝2 022－x＋ln(－x)－2 022x＋1，

因此f(x)＋f(－x)＝ln(x2＋1－x2)＋2＝2，

因此关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)>2，可化为f(2x－1)>2－f(2x)＝f(－2x)，

又y＝2 022x－2 022－x单调递增，y＝ln(＋x)单调递增，

所以f(x)＝2 022x＋ln(＋x)－2 022－x＋1在R上单调递增，

所以有2x－1>－2x，解得x>.

二、多项选择题

9．已知实数a，b，c满足a>1>b>c>0，则下列说法正确的是(　　)

A．aa>bb   B．logca<logba

C．logca<ac   D．<

答案　AC

解析　∵a>1>b>c>0，

∴aa>ab>bb，>，故A选项正确，D选项不正确；

又logac<logab<0，

∴logca>logba，

故B选项不正确；

∵logca<0，ac>0，

∴logca<ac，故C选项正确．

10．已知函数f(x)＝2x＋，则(　　)

A．f(log23)＝

B．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增

C．f(x)为偶函数

D．f(x)的最小值为2

答案　CD

解析　f(log23)＝＋＝3＋＝，A错误；

令2x＝t(t>0)，则函数为g(t)＝t＋，

由对勾函数的性质可知g(t)＝t＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

故g(t)＝t＋在t＝1处取得最小值，

g(t)min＝g(1)＝2，

所以f(x)的最小值为2，故B错误，D正确；

f(x)＝2x＋的定义域为R，且f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，

所以f(x)为偶函数，故C正确．

11．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，若x1<x2，则(　　)

A．当x1＋x2>2时，f(x1)<f(x2)

B．当x1＋x2＝2时，f(x1)＝f(x2)

C．当x1＋x2>2时，f(x1)>f(x2)

D．f(x1)与f(x2)的大小关系与a有关

答案　AB

解析　函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，

当x1＋x2＝2时，x1与x2的中点为1.

∴f(x1)＝f(x2)，选项B正确；

当x1＋x2>2时，x1与x2的中点大于1，

又x1<x2，

∴点x2到对称轴的距离大于点x1到对称轴的距离，

∴f(x1)<f(x2)，选项A正确，C错误；

显然当a>0时，f(x1)与f(x2)的大小与x1，x2离对称轴的远近有关系，但与a无关，选项D错误．

12．已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c，则下列关系可能成立的是(　　)

A．a<b<c   B．a<c<b

C．a<b＝c   D．c<b<a

答案　ABC

解析　依题意，令2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k，

则2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，log3c＝－c＋k，

令y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k，则a，b，c可分别视为函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x的图象与直线y＝－x＋k交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k的图象，如图，

观察图象得，当k<1时，a<c<b，当k＝1时，a<b＝c，当k>1时，a<b<c，

显然c<b<a不可能，

故可能成立的是ABC.

三、填空题

13.－＋π0－＋3＋2lg 4＋lg ＋e3ln 2＝________.

答案　

解析　原式＝－＋1－5－log33＋4lg 2＋lg 5－lg 8＋eln 8

＝－2＋1－5－＋3lg 2＋(lg 2＋lg 5)－3lg 2＋8

＝－2＋1－5－＋1＋8＝.

14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________________.

①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；

②f(－x)＝f(x)；

③任取x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)>0.

答案　ln|x|(答案不唯一)

解析　由题设，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且为偶函数，f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，结合对数的运算性质及对数函数的性质，易知f(x)＝ln|x|符合要求．

15．若函数f(x)＝a·bx＋c在区间[0，＋∞)上的值域是[－2,1)，则ac＝________.

答案　－3

解析　因为x∈[0，＋∞)，f(x)＝a·bx＋c∈[－2,1)，

所以0<b<1(因为函数值是有界的)，

又f(x)取不到f(x)＝1的值，

所以a<0，

所以函数f(x)＝a·bx＋c在区间[0，＋∞)上单调递增，

则f(0)＝a＋c＝－2，

当x→＋∞时，abx→0，

所以c＝1，

故a＝－3，所以ac＝－3.

16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω(cm)和厚度x(cm)有以下关系：n≤log2.现有一张长边为30 cm，厚度为0.01 cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为________，该矩形纸最多能对折________次．(参考数值：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)

答案　64　7

解析　由n≤log2可知，当对折完4次时，

即log2≥4，即log2≥6，

∴≥64，即的最小值为64.

由题知n≤log2＝log23 000＝×≈×≈7.7，

故矩形纸最多能对折7次．