2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第一章　必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式

必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式

一、单项选择题

1．(2023·咸阳模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|2x2－5x－3<0}，那么集合A∩B等于(　　)

A．{－1,0,1,2}   B．{0,1,2,3}

C．{0,1,2}   D．{－1,0,1,2,3}

答案　C

解析　因为B＝{x|2x2－5x－3<0}＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}＝，

故A∩B＝{0,1,2}．

2．设集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}，则集合A的子集个数为(　　)

A．16  B．32  C．15  D．31

答案　B

解析　因为集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{1,2,3,4,5}，

所以集合A的子集个数为25＝32.

3．(2022·百师联盟联考)命题“∀x>0，cos x>－x2＋1”的否定是(　　)

A．∀x>0，cos x≤－x2＋1

B．∀x≤0，cos x>－x2＋1

C．∃x>0，cos x≤－x2＋1

D．∃x≤0，cos x≤－x2＋1

答案　C

4．(2023·长沙模拟)已知p：>1；q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)

A．[0，＋∞)   B．[1，＋∞)

C．(－∞，0]   D．(－∞，1]

答案　C

解析　由>1，可得x(x－1)<0，解得0<x<1，

记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，

若p是q的充分条件，

则A是B的子集，所以m≤0，

所以实数m的取值范围是(－∞，0]．

5．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为(　　)

A．3  B．2  C．1  D．6

答案　D

解析　因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，

则a<0，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根．

由根与系数的关系，得－＝－1＋，＝－1×，

解得a＝－3，b＝－2，故ab＝6.

6．(2023·衡水质检)已知实数x，y，z满足x>y，z>0，则下列不等式恒成立的是(　　)

A.－>0   B.－<0

C．x2z－y2z>0   D．xz>yz

答案　D

解析　令x＝2，y＝1，z＝1，则－＝－，即－<0，所以A选项错误；

令x＝1，y＝－1，z＝1，则－＝2，即－>0，所以B选项错误；

令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3<0，所以C选项错误；

因为xz－yz＝(x－y)z，由x>y，z>0得xz－yz>0，即xz>yz，所以D选项正确．

7．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，对于x∈S，如果x＋1∉S，x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有(　　)

A．5个  B．6个  C．9个  D．12个

答案　B

解析　若由S的3个元素构成的集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，

故不含“好元素”的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．

8．当a>0且a≠1时，若∀x∈R，a2x＋a－2x＋t(ax＋a－x)>0成立，则t的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)   B．(－∞，1)

C．(－1，＋∞)   D．(－∞，－1)

答案　C

解析　令m＝ax＋a－x，则当a>0且a≠1时，m＝ax＋a－x≥2＝2，

当且仅当x＝0时，等号成立，

且m2＝(ax＋a－x)2＝a2x＋a－2x＋2，

则a2x＋a－2x＝m2－2，

原不等式可化为m2＋tm－2>0对任意m∈[2，＋∞)恒成立．

所以t>－m恒成立，

又y＝－m在[2，＋∞)上单调递减，

所以t>－2＝－1.

二、多项选择题

9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则(　　)

A．A∩(∁UB)＝∅   B．A∪B＝A

C．A⊆B   D．B⊆A

答案　AC

解析　∵A＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，

B＝{x|2x>1}＝(0，＋∞)，

∴A∩(∁UB)＝∅，A∪B＝B，A⊆B，

故AC正确，BD错误．

10．以下命题中是真命题的是(　　)

A．∃x∈R，使ex<x＋1成立

B．∀θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数

C．“a，b∈R，a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件

D．“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件

答案　CD

解析　设f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，

当x＝0时，函数f′(x)＝0，当x<0时，f′(x)<0，

当x>0时，f′(x)>0，

故在x＝0时函数f(x)取得最小值，f(0)＝0，

所以f(x)＝ex－x－1≥f(x)min＝f(0)＝0，

即∀x∈R，ex≥x＋1，故A错误；

当x＝时f(x)＝sin＝cos 2x，

故函数f(x)为偶函数，故B错误；

当a>b>0时，等价于a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，

当0>a>b时，等价于－a2＋b2＝－(a＋b)(a－b)>0，

当a>0>b时，等价于a2＋b2>0，

反之同样成立，故C正确；

“x∈A∩B”⇒“x∈A”，“x∈A”⇏“x∈A∩B”，则“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，故D正确．

11．(2022·莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是(　　)

A．ab≥   B．ab≤

C.＋≥4   D.2≤

答案　BCD

解析　因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切，

所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1，

即＝1，即a2＋b2＝1，且a>0，b>0，

因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，

所以ab≤＝，即A错误，B正确；

因为a2＋b2＝1，

所以＋＝＋＝2＋＋

≥2＋2＝4，即C正确；

因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，

所以2＝≤＝

(当且仅当a＝b时取等号)，即D正确．

12．已知3a＝2,5b＝3，则下列结论正确的是(　　)

A．a<b

B．a＋<b＋

C．a＋b<2ab

D．a＋ab<b＋ba

答案　AD

解析　因为3a＝2,5b＝3，则a＝log32，b＝log53.

对于A，∵23<32，则2<，从而0＝log31<a＝log32<＝，

因为33>52，则3>，则＝<b＝log53<log55＝1，即0<a<<b<1，A正确；

对于B，－＝(a－b)＋＝，

因为0<a<<b<1，则a－b<0,0<ab<1，所以，a＋>b＋，B错误；

对于C，因为2ab＝2log32·log53＝2log52＝log54，

所以，a＋b－2ab＝log32＋log53－log54＝log32－log5>log3－log5＝0，

所以，a＋b>2ab，C错误；

对于D，构造函数f(x)＝，其中0<x<e，则f′(x)＝.

当0<x<e时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0，e)上单调递增，因为0<a<b<1，则f(a)<f(b)，即<，可得ab<ba，所以，a＋ab<b＋ba，D正确．

三、填空题

13．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，若集合B＝{x|x≤a}满足A⊆B，则实数a的取值范围为________．

答案　[2，＋∞)

解析　∵A＝{x|－2≤x≤2}≠∅，A⊆B，

∴A与B的关系如图，

∴a≥2.

14．设p：实数x满足(x－3a)(x－a)<0，q：实数x满足≤0.当a<0时，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．

答案　[－2，－1)

解析　由≤0，得

解得－3≤x<－2，

即q：B＝{x|－3≤x<－2}，

因为a<0，由(x－3a)(x－a)<0，得3a<x<a，

即p：A＝{x|3a<x<a}，

若p是q的必要条件，则q⇒p，

所以B⊆A，

所以即－2≤a<－1.

15．下列命题中，真命题的序号是________．

①∃x∈R，sin x＋cos x＝；

②若p：<0，则綈p：≥0；

③lg x>lg y是>的充要条件；

④△ABC中，边a>b是sin A>sin B的充要条件；

⑤“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件．

答案　④

解析　对①，∵sin x＋cos x＝sin≤，>，故①为假命题；

对②，命题p：<0，解得0<x<1，所以綈p：{x|x≤0或x≥1}，而≥0的解集为{x|x≤0或x>1}，故②为假命题；

对③，当x＝1，y＝0时，满足>，但lg x>lg y不成立，故③为假命题；

对④，根据正弦定理＝可得，边a>b是sin A>sin B的充要条件，故为真命题；

对⑤，满足函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数的a的取值范围为a≤2，故“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故⑤为假命题．

16．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为________．

答案　[－1,0)∪(8,9]

解析　不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k<0或k>8，

设x2－kx＋2k＝0的两根分别为x1，x2，不妨令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k，

由题意得x2－x1＝＝≤3，解得－1≤k≤9，结合k<0或k>8，所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9]．