2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第三章　必刷大题6　导数的综合问题

必刷大题6　导数的综合问题

1．(2023·温州模拟)已知函数f(x)＝x2－(a＋1)ln x.

(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．

解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝0时，f′(x)＝2x－＝.

当x∈时，f′(x)<0，

则f(x)的单调递减区间为，

当x∈时，f′(x)>0，

则f(x)的单调递增区间为.

(2)由f(x)≥(a2－a)ln x对∀x∈(1，＋∞)恒成立，

得a2＋1≤对∀x∈(1，＋∞)恒成立．

设h(x)＝(x>1)，则h′(x)＝.

当x∈(1，)时，h′(x)<0；

当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0.

所以h(x)min＝h()＝2e，

则a2＋1≤2e，解得－≤a≤，

故a的取值范围是[－，]．

2．设f(x)＝2xln x＋1.

(1)求f(x)的最小值；

(2)证明：f(x)≤x2－x＋＋2ln x.

(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(ln x＋1)，

当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以当x＝时，f(x)取得最小值f ＝1－.

(2)证明　令F(x)＝x2－x＋＋2ln x－f(x)

＝x(x－1)－－2(x－1)ln x

＝(x－1)，

令g(x)＝x－－2ln x，

则g′(x)＝1＋－＝≥0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

又g(1)＝0，所以当0<x<1时，g(x)<0，F(x)>0

当x>1时，g(x)>0，F(x)>0，当x＝1时，F(x)＝0，

所以(x－1)≥0，

即f(x)≤x2－x＋＋2ln x.

3．(2023·邢台质检)2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)的税收，预计当每件产品的售价定为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2万件．

(1)求该商店一年的利润f(x)(万元)与每件纪念品的售价x的函数关系式；

(2)求出f(x)的最大值Q(a)．

解　(1)由题意，预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤17)时，一年的销售量为(18－x)2 万件，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交a元(10≤a≤13)，

∴商店一年的利润f(x)(万元)与售价x的函数关系式为f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]．

(2)∵f(x)＝(x－5－a)(18－x)2，x∈[13,17]，

∴f′(x)＝(28＋2a－3x)(18－x)，

令f′(x)＝0，解得x＝或x＝18，而10≤a≤13，则16≤≤18，

①若16≤<17，即10≤a<11.5，

当x∈时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，

当x∈时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，

∴f(x)max＝f ＝(13－a)3；

②若17≤≤18，即11.5≤a≤13，

则f′(x)≥0，即f(x)在[13,17]上单调递增，

∴f(x)max＝f(17)＝12－a，

综上，Q(a)＝

4．(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝x2＋2x－aln ，a∈R.

(1)当a＝4时，求f(x)的极值；

(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝ax在(0,4]上有且只有一个交点，求a的取值范围．

解　(1)由题意，f(x)＝x2＋2x－4ln ，x>0，

则f′(x)＝2x＋2－＝(x2＋x－2)＝(x－1)(x＋2)，

故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

有极小值f(1)＝3－4ln ，无极大值．

(2)设g(x)＝f(x)－ax＝x2＋(2－a)x－aln ，x∈(0,4]，

则g′(x)＝2x＋(2－a)－＝[2x2＋(2－a)x－a]＝(x＋1)(2x－a)，

①当a＝0时，g(x)＝x2＋2x，在(0,4]上无零点，不符合题意；

②当a<0时，g(x)在(0,4]上单调递增，g(2)＝4＋(2－a)×2>0，

x→0时，g(x)<0，

由零点存在定理得，g(x)在(0,4]内只有一个零点，即曲线y＝f(x)与直线y＝ax在(0,4]上有且只有一个交点．

③当a>0时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，

若<4，即0<a<8，则只能g＝a－a2－aln 

＝a＝0⇒a＝4，

若a≥8，则g(x)在(0,4]上单调递减，当x→0时，g(x)>0，

则要g(4)＝16＋4(2－a)－aln 2<0，则a>，

故a≥8，

综上，a的取值范围为(－∞，0)∪{4}∪[8，＋∞)．

5．(2023·济宁质检)已知函数f(x)＝acos x＋bex(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x.

(1)求实数a，b的值；

(2)当x∈时，f(x)≤c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．

解　(1)因为f′(x)＝－asin x＋bex，

所以解得

(2)因为f(x)＝cos x－ex，x∈，

所以f′(x)＝－sin x－ex，设g(x)＝－sin x－ex，

g′(x)＝－cos x－ex＝－(cos x＋ex)．

当x∈时，cos x≥0，ex>0，

所以g′(x)<0，

当x∈(0，＋∞)时，－1≤cos x≤1，ex>1，

所以g′(x)<0.

所以，当x∈时，g′(x)<0，g(x)即f′(x)单调递减．

因为f′(0)＝－1<0，f′＝－＝－，

因为>e>2，所以<，

所以f′>0.

所以∃x0∈，使得f′(x0)＝－sin x0－＝0，即＝－sin x0.

所以，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

所以f(x)max＝f(x0)＝cos x0－＝cos x0＋sin x0＝sin.

因为x0∈，所以x0＋∈，

所以sin∈，

所以f(x0)∈(0,1)．

由题意知，c≥f(x0)，所以整数c的最小值为1.