中考数学一轮突破 基础过关 第22讲特殊四边形

这是一份中考数学一轮突破 基础过关 第22讲特殊四边形，共36页。学案主要包含了矩形的定义，矩形的性质，矩形的判定，面积的计算等内容，欢迎下载使用。

第22讲　特殊四边形

课标要求
　　探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．正方形具有矩形和菱形的一切性质.
考情分析
　　该内容主要是以选择题、填空题、证明题的形式来考查，分值为3～9分．主要考查的内容为：
(1)矩形、菱形、正方形的判定；(2)与矩形菱形、正方形的性质有关的几何综合题．这两个知识点几乎每年各地市都考．预测这两个知识点依然是2021年中考的热点，建议加强对判定方法、性质的理解，多做练习加以巩固.



第1课时　矩　形


一、矩形的定义
有一个角是直角的________四边形叫做矩形．
二、矩形的性质
主要方面
性质
对称性



边


角


对角线


对边________且________


四个角都是________


对角线互相________且________
既是中心对称图形又是轴对称图形


三、矩形的判定
主要方面
判定
角

四个角都是________的四边形是矩形

有一个角是直角的________四边形是矩形

对角线

对角线________的平行四边形是矩形

对角线互相________且________的四边形是矩形


四、面积的计算
矩形的面积＝________×________．




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矩形的相关计算和证明
(北部湾四市，第22小题，8分)

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
【思路点拨】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定及勾股定理的运用．(1)由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，又∵BE＝DF，∴OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；(2)证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝6，AC＝2OA＝12.在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC＝＝6，即可得出矩形ABCD的面积．
小结
应用矩形性质计算的一般思路： (1)根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长. (2)矩形对角线相等且互相平分，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在利用矩形性质进行相关的计算时，可利用面积法，建立等量关系.
(桂林，第17小题，3分)

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为______．
(贺州，第23小题，8分)如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E、G分别是AC、DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG.

(1)求证：AD∥CF ；
(2)求证：四边形ADCF是矩形．
【思路点拨】本题主要考查两直线平行的判定与性质及矩形的判定．(1)根据∠FCA＝∠CEG及点G、E是AC、DC的中点证CF∥GE，进而可证CF∥AD.(2)先证四边形ADCF是平行四边形，再证四边形ADCF其中一个角为90°即可 .
小结
矩形判定的一般思路： 首先判定是否为平行四边形，再找直角或者对角线的关系．若角度容易求，则证明其一角为90°，便可判定是矩形；若对角线容易求，则证明其对角线相等即可判定其为矩形.
(崇左，第22小题，8分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是矩形．














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与矩形的性质有关的综合题

(梧州，第11小题，3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为(　　)

A．2 B. C. D.
【思路点拨】设⊙O半径为r，如解图，过点O作OF⊥BE于点F，则BF＝EF，且△BOF∽△BDC.因为AB＝6，AD＝8，所以BD＝10，所以＝＝，所以BF＝EF＝r，所以EC＝8－r .在Rt△DCE中，EC2＋CD2＝DE2 ，即＋62＝DE2，又因为ED为⊙O的切线，所以OE⊥DE，则有OE2＋DE2＝r2＋＋62＝ ，解得r＝或0(不符合题意，舍去)，所以r＝ .

(贵港，第12小题，3分)
如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：

①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；
③DF＝DC；④tan∠CAD＝；
⑤S四边形CDEF＝S△ABF.
其中正确的结论有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 下列关于矩形的说法中正确的是(　　)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平行
D．矩形的对角线相等且互相平分
2. 如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为(　　)


A. cm 　　　　　B．2 cm
C．2 cm 　　　　　D．4 cm
3. 矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AB的长是(　　)
A．2 B．4 C．2 D．4
4. 矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝4 cm，∠AOB＝60°，则矩形的面积为(　　)
A．2 cm2 B．4 cm2
C．2 cm2 D．16 cm2
5. 如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F.连接BD，DF，则图中全等的直角三角形共有(　　)
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
,第5题图)　　　　,第6题图)
6. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF＝1，FD＝2，则BC的长为(　　)
A．3 B．2 C．2 D．2
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是________．
,第7题图)　　　　,第8题图)
8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件：________，可使它成为矩形．

9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AC＝8，则EF＝________.
10. 在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，若AB＝OB＝4，则AD＝________.

11. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC的垂直平分线EF交AD于点E，交BC于点F，则EF＝________.
12. 如图，矩形ABCD中，AB＝15 cm，点E在AD上，且AE＝9 cm，连接EC，将矩形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，则A′C＝______cm.
,第12题图)　　　　,第13题图)
13. 如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处．若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值为__________．
14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形．

求证：四边形ADCE是矩形．











15. 已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

















第2课时　菱　形


一、菱形的定义
有一组邻边________的平行四边形叫做菱形．
二、菱形的性质
1. 菱形具有____________的一切性质．
2. 菱形的四条边都________．
3. 菱形的两条对角线互相________，并且每一条对角线平分____________．
4. 菱形是________________对称图形．
提示：利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且平分，把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和．
三、菱形的判定方法
1. 定义：一组邻边________的平行四边形是菱形．
2. 判断方法1：对角线____________的平行四边形是菱形．
3. 判断方法2：四条边________的四边形是菱形．
四、菱形面积的计算
菱形面积＝________×高＝________乘积的一半，
即S菱形＝ab(a，b为两条对角线)．
归纳：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


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菱形的相关计算和证明
(河池，第15小题，3分)
如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE∥AB，则OE的长是 ________.

【思路点拨】根据菱形的周长可以求出AB的长，易得OE为△ABC的中位线；也可根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”求出OE的长度 .

小结
因菱形的四条边相等，菱形的对角线互相垂直平分，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段长.
(贺州，第18小题，3分)
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD＋PE的最小值为________ .

(桂林，第23小题，8分)
如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
【思路点拨】(1)由菱形的四边相等可知AB＝CD，再由点E、F分别是AD，AB的中点可求AE＝AF，进而可证△ABE≌△ADF .(2)菱形的对角相等，可求出∠A，在Rt△ABE中，∠ABE已知，可求出AB的长，进而可求菱形ABCD的面积．



(百色，第22小题，8分)
如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证：AE＝BF；
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．




(北部湾经济区，第23小题，8分)

如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.
(1)求证：▱ABCD是菱形；
(2)若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．
【思路点拨】(1)证明一组邻边相等；(2)求出两条对角线的长，根据S菱形ABCD＝AC·BD求出▱ABCD的面积．

小结
菱形判定的一般思路：首先判定是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形来判定，这是判定菱形的最常见的思路；另外也可根据对角线互相垂直平分来判定四边形为菱形.

(贺州，第23小题，9分)
如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB＝，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积(结果保留根号).
















　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1. 如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为(　　)
A．20 B．24 C．28 D．40
,第1题图)　　　,第2题图)
2. (百色)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO，若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为(　　)
A．36° B．54°
C．64° D．72°
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(　　)
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
,第3题图)　　　　,第4题图)

4. 用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是(　　)
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于(　　)
A．20 B．15 C．10 D．5
,第5题图)　　　　,第6题图)
6. (贵港) 如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M.则对于以下结论：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC；④AE＋BM＝EM.其中正确结论的个数为是(　　)
A．1个　　 B. 2个 C. 3个　　 D. 4个

7. (梧州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，延长BC到点F，使得CF＝BC.连接AF、DF，AF分别交CD、BD于点G、O，则下列结论错误的是(　　)

A．四边形ACFD是平行四边形
B. BD2＋FD2＝BF2
C. OE＝BD
D．面积关系：S△GEO＝S△ADO
8. 如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，E，F分别是DC，DB的中点，若EF＝6，则菱形ABCD的周长是________．
第8题图
　　　　第9题图




9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为________．
10. (北部湾经济区) 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P.当点E从点A运动到点B时，则点P的运动路径长为________．
第10题图
　　　　第11题图




11．如图，菱形ABCD的边长为8 cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为________cm2.
12. 在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC＝2BE，则的值是________．
13. 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．












14. 如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.
(1)证明：四边形AECF是矩形；

(2)若AB＝8，求菱形的面积．


















15. (贺州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O，D分别是边AC，AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC＝，求BC的长．



第3课时　正方形


一、正方形的定义
1. 定义：有一组邻边________且有一个角是________的平行四边形叫做正方形．
2. 正方形既是有一组邻边相等的________形，又是有一个角是直角的________形．
3. 既是________形又是________形的四边形是正方形．
4. 正方形不仅是特殊的________形，而且是特殊的________形，还是特殊的________形．
二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
1. 边：四条边都________．
2. 角：四个角都是________．
3. 对角线：对角线________且互相________，每条对角线平分一组________．
4. 对称性：是____________对称图形，有________条对称轴．
5. 特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成________个全等的等腰直角三角形．正方形的两条对角线把正方形分成________个等腰直角三角形．
三、正方形的判定
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有如下两条．
1. 先证它是________形，再证它有一组邻边________．
2. 先证它是________形，再证它有一个角是________．
四、正方形面积的计算
正方形面积＝________×________＝________乘积的一半，即S正方形＝a2＝b2(a为边长，b为对角线)．



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
正方形的相关计算和证明
(柳州，第23小题，8分)
如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，BE，AF交于点O，且AE＝DF.


(1)求证：△ABE≌△DAF；
(2)若BO＝4，OE＝2，求正方形ABCD的面积．
【思路点拨】(1)根据正方形的性质，可得AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，再结合题目已知条件可证得△ABE≌△DAF(SAS)；(2)先证明△ABO∽△EBA，再根据对应线段成比例得AB2＝24，即为正方形的面积．
小结
对于与正方形相关的计算问题，经常用到以下性质和结论：①四角相等均为90°，四边相等；②对角线互相垂直平分；③对角线平分一组对角得到45°角；④边长与对角线的长度比为1∶.
(来宾，第23小题，8分)
如图，在正方形ABCD中，点E(与点B, C不重合)是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF.
(1)求证：△ABE≌△EGF；

(2)若AB＝2，S△ABE＝2S△ECF，
求BE的长．



(贵港，第23小题，7分)
如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE＝CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE.
(1)求证：DF＝AE；
(2)当AB＝2时，求BE2的值．








(玉林，第25小题，10分)
如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝AB.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)若H是AB上的一点(H与A，B不重合)，连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别是F，G.设四边形BGEF的面积为S1，以HB，BC为邻边的矩形面积为S2，且S1＝S2，当AB＝2时，求AH的长．









1. 下列说法不正确的是(　　)
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有(　　)
A．4个 B．6个
C．8个 D．10个
,第2题图)　　　　　,第3题图)
3. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为(　　)
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
4. 如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是(　　)


A. B.
C．1 D.
5. 如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF的大小为(　　)
A．15° B．30° C．45° D．60°
,第5题图)　　　　　,第6题图)
6. (河池)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4


7. 如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为(　　)
A．8 B．4
C．8 D．6
8. 四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是________°.
9. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE＝1.以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于________．
,第9题图)　　　　　,第10题图)
10. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于________．
11. 在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED.
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
























12. 如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)证明：∠BAE＝∠FEC；
(2)证明：△AGE≌△ECF；

(3)求△AEF的面积．


第22讲　特殊四边形
第1课时
【基础梳理】
一、平行　二、平行　相等　直角　平分　相等
三、直角　平行　相等　平分　相等　四、长　宽
【重点突破】
[例1](1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OE＝OF.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)．∴AE＝CF.
(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB.
∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴△AOB是等边三角形．
∴OA＝AB＝6.∴AC＝2OA＝12.
在Rt△ABC中，BC＝＝6，
∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝6×6＝36.
[变式1]　[提示]过点B作BF⊥OA于F.
[例2]证明：(1)∵∠FCA＝∠CEG，∴CF∥EC.
∵E、G分别是AC、DC的中点，∴EG∥AD.
∴AD∥CF.
(2)在△CDF中，∵G是CD的中点，且CF∥EG.
∴E是DF的中点．
∵E是AC的中点，∴AC与DF互相平分；
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°.
∴四边形ADCF是矩形．
[变式2]证明：∵点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF綉AC，GH綉AC，∴EF綉GH.
同理可证EH綉FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵对角线AC，BD互相垂直，∴EF与FG互相垂直．
∴四边形EFGH是矩形．
[例3]C　[变式3]B
【达标检测】
1．D　2.D　3.C　4.D　5.B　6.B　7.4
8．∠ABC＝90°(或AC＝BD等)　9.2　10.4
11.　12.8　13.
14．证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD.
∵D为BC中点，∴CD＝BD.∴CD＝AE.
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，即∠CDA＝90°.
∴四边形ADCE是矩形．
15．证明：(1)∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA.
又∵MA＝MC，∠AMD＝∠CMN，
∴△AMD≌△CMN(ASA)，∴AD＝CN.
又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形．∴CD＝AN.
(2)∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC.
由(1)知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC.∴AC＝DN.
∴四边形ADCN是矩形．
第2课时　菱　形
【基础梳理】
一、相等　
二、1.平行四边形　2.相等　3.垂直　一组对角　4.轴对称和中心
三、1.相等　2.互相垂直　3.相等
四、底边　对角线
【重点突破】
[例1]2　[变式1]3
[例2](1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD.
∵点E、F分别是AD，AB的中点，
∴AE＝AD，AF＝AB，∴AE＝AF.
∵∠A＝∠A，∴△ABE≌△ADF(SAS)．

(2)解：如图，连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠A＝∠C＝60°.
∴△ABD是等边三角形．
∵E是AD的中点，∴BE⊥AD.
∴在Rt△AEB中，AB＝＝＝2.
∴AD＝AB＝2，S菱形ABCD＝AD·BE＝2×＝2.
[变式2](1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC, ∴∠A＝∠CBF.
∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°.
∴△AEB ≌△BFC.∴AE＝BF.
(2)解：∵E是AD中点，且BE⊥AD，
∴直线BE为AD的垂直平分线．
∴BD＝AB＝2.
[例3](1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
又∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD(ASA)．
∴AB＝AD.∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：如图，连接BD交AC于点O.
∵由(1)知四边形ABCD是菱形，AC＝6.
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3.

在Rt△AOB中，AB＝5，AO＝3，
∴BO＝＝＝4.
∴BD＝2BO＝8.
∴S▱ABCD＝·AC·BD
＝×6×8＝24.
[变式3](1)证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC, ∴∠FAO＝∠ECO.
∵EF垂直平分AC，
∴AO＝CO，∠AOF＝∠COE＝90°.
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OE＝OF, ∴四边形AECF是菱形．
(2)解：∵∠DCF＝30°，AB＝，
∴CD＝，∴FC＝＝2，
∴S菱形AECF＝2×＝2.



【达标检测】
1．A　2.B　3.B　4.B　5.B　6.D　7.C　8.48　9.65°
10.　11.16　12.
13．(1)证明∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵BE＝AB，∴BE∥CD，BE＝CD.
∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC.
(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE.
∴∠ABO＝∠E＝50°.
又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.
14．(1)证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC.又∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)，
∴∠1＝90°.
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴AF＝AD，EC＝BC.
∵AD∥BC，AD＝BC，∴AF∥EC，AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵∠1＝90°，∴四边形AECF是矩形．
(2)解：在Rt△ABE中，AE＝＝4，
∴S菱形ABCD＝8×4＝32.
15．(1)证明：∵点O是AC的中点，∴OA＝OC.
∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO.
在△AOD和△COE中，
∴△AOD≌△COE(ASA)．∴AD＝CE.
又∵CE∥AB，∴四边形AECD是平行四边形．
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝AD.
∴四边形AECD是菱形．
(2)解：由(1)可知，四边形AECD是菱形，∴AC⊥ED.
在Rt△AOD中，tan∠DAO＝＝tan∠BAC＝.
设OD＝3x，OA＝4x，
则ED＝2OD＝6x，AC＝2OA＝8x，由题意得：
·6x·8x＝24，解得x＝1或x＝－1(舍去)．
∴OD＝3.
∵O，D分别是AC，AB的中点，∴OD是△ABC的中位线．∴BC＝2OD＝6.
第3课时　正 方 形
【基础梳理】
一、1.相等　直角　2.矩　菱　3.矩　菱　4.平行四边　矩　菱
二、1.相等　2.直角　3.相等　垂直平分　对角　4.轴对称和中心　4　5.2　4
三、1.矩　相等　2.菱　直角
四、边长　边长　对角线
【重点突破】
[例题](1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°.
又AE＝DF，∴△ABE≌△DAF(SAS)．
(2)解：∵△ABE≌△DAF，∴∠FAD＝∠ABE.
又∠FAD＋∠BAO＝90°，∴∠ABO＋∠BAO＝90°.
∴∠AOB＝90°.∴△ABO∽△EBA.
∴＝，即＝.∴AB2＝24.
∴正方形ABCD面积是24.
[变式1](1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°.
∴∠BAE＋∠BEA＝90°.
∵∠AEF＝90°， ∴∠FEG＋∠BEA＝90°.
∴∠BAE＝∠FEG. ∵FG⊥EG, ∴∠B＝∠G＝90°，
∵EF是由AE旋转而得，∴AE＝EF.
∴△ABE≌△EGF(AAS)．
(2)依题意得：AB·BE＝2×EC·FG，
由(1)得FG＝BE，
∴AB＝2EC, ∴EC＝1, ∴BE＝BC－EC＝1.
[变式2](1)证明：如图，连接CF.
∵正方形ABCD中，∠D＝90°，EF⊥AC，
∴∠D＝∠CEF＝90°.

在Rt△CDF和Rt△CEF中，
CF＝CF，CE＝CD，
∴Rt△CDF≌Rt△CEF(HL)．
∴DF＝EF.
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠EAF＝45°.
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∴DF＝AE.
(2)解：∵在正方形ABCD中，AB＝2，
∴AC＝AB＝2.
由(1)可知CE＝CD，∴CE＝2.∴AE＝2－2.
过点E作EH⊥AB于H.在Rt△AEH中，∠CAB＝45°，
∴EH＝AH＝AE·sin∠CAB＝(2－2)·＝2－.
∴在Rt△BEH中，由勾股定理，得
BE2＝BH2＋EH2＝()2＋(2－)2＝8－4.
[变式3](1)证明：∵OA＝OB＝OC＝OD＝AB，
∴OA2＋OB2＝2×(AB)2＝AB2.
∴△AOB为直角三角形．
∴△AOB＝90°，即AC⊥BD.
∴四边形ABCD是正方形．
(2)解：如图，由题可得DH＝HE且∠DHE＝90°，
∴∠1＋∠2＝180°－∠DHE＝90°.
∵∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝∠2.
∵∠DAH＝∠HGE，

∴△DAH≌△HGE(AAS)．
∴AH＝GE，HG＝DA.
设AH＝x，则EG＝x，
∵HG＝AD＝AB＝2，
∴HB＝2－x.
连接CH，作HM⊥DC于点M，
∴S1＝EG·BG＝EG·(HG－HB)＝x[2－(2－x)]＝x2 ，
S2＝BC·HB＝2(2－x)＝4－2x.
∵S1＝S2，∴x2＝4－2x.
解得x1＝－1，x2＝－－1＜0(不符合题意，舍去)，
∴AH的长是－1.

【达标检测】
1．D　2.C　3.C　4.B　5.C　6.C　7.C　8.22.5　9.2
10.a2
11．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°，
又EC＝EC，∴△BEC≌△DEC(SAS)．
(2)∵△BEC≌△DEC，∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED.
∵∠BED＝120°，∴∠BEC＝60°＝∠AEF，
∴∠EFD＝∠AEF＋∠FAE＝60°＋45°＝105°.
12．(1)证明：∵∠AEF＝90°，∴∠FEC＋∠AEB＝90°.
在Rt△ABE中，∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC.
(2)证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，∴AG＝GB＝BE＝EC，且∠AGE＝180°－45°＝135°.
又∵CF是∠DCH的平分线，∴∠ECF＝90°＋45°＝135°.
在△AGE和△ECF中，
∴△AGE≌△ECF(ASA)．
(3)解：由△AGE≌△ECF，得AE＝EF.
又∵∠AEF＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形．
由AB＝a，BE＝a，知AE＝a，∴S△AEF＝a2.