2024年高考数学一轮复习（新高考方案）课时跟踪检测(三十四) 平面向量的概念及线性运算

课时跟踪检测(三十四) 平面向量的概念及线性运算

1．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是(　 )

A．m(a－b)＝ma－mb

B．(m－n)a＝ma－na

C．若ma＝mb，则a＝b

D．若ma＝na，则m＝n

解析：选AB　m(a－b)＝ma－mb，故A正确；(m－n)a＝ma－na，故B正确；若m＝0，则a，b不一定相等，故C错误；若a＝0，则m，n不一定相等，故D错误．故选A、B.

2．已知矩形ABCD，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝(　 )

A．3＋  B．4

C．2  D．3＋2

解析：选B　由向量加法的三角形法则得|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝2||＝4.

3．(2023·南京调研)已知P是△ABC所在平面内的一点，若－＝λ，其中λ∈R，则点P一定在(　 )

A．AC边所在的直线上  B．BC边所在的直线上

C．AB边所在的直线上  D．△ABC的内部

解析：选A　∵－＝λ，＝＋，∴－(＋)＝λ，则－＝λ，则＝λ.∴∥，∴P点在AC边所在直线上．

4．若a，b是两个不共线的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于(　 )

A．－1  B．1  C.  D．2

解析：选B　由题意知，＝－＝a－(k＋1)b，因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，

使得＝λ，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.

5．(2023·福州模拟)矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝(　 )

A.  B．  C．1  D．

解析：选A　＝－＝－＝(＋)－＝－，∴λ＝，μ＝－.∴λ2＋μ2＝＋＝.

6．(多选)已知A，B，C是三个不同的点，＝a－b，＝2a－3b，＝3a－5b，则下列结论正确的是(　 )

A.＝2  B．＝

C.＝3  D．A，B，C三点共线

解析：选ABD　由题意得＝－＝a－2b，＝－＝2a－4b，＝－＝a－2b，所以＝2，故A正确；＝，故B正确；＝2，故C错误；由＝2可得∥，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确．故选A、B、D.

7．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为(　 )

A．λ＝0  B．e2＝0

C．e1∥e2  D．e1∥e2或λ＝0

解析：选D　当e1∥e2时，因为e1≠0，则存在实数k，使得e2＝ke1，则a＝e1＋λke1＝(1＋λk)e1＝b，此时a∥b；当e1，e2不共线时，因为a∥b，则存在实数t，使得a＝tb，即e1＋λe2＝2te1，所以所以a与b共线的条件为e1∥e2或λ＝0.

8.已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，＝m，＝n(m·n≠0)，若∥，则＝(　 )

A．1  B．2  C.  D．－2

解析：选B　依题意设＝λ，

则＝＋＝－m＋n＝λ(＋)＝λ，即－m＋n＝－λ＋λ，所以故＝2.

9.如图所示，单位圆上有动点A，B，当|－|取得最大值时，|－|等于(　 )

A．0  　　　　 B．－1 

C．1  　　　　 D．2

解析：选D　因为|－|＝||，A，B是单位圆上的动点，所以|－|的最大值为2，此时与反向．

10．(多选)在等边三角形ABC中，＝，＝2，AD与BE交于点F，则下列结论正确的是(　 )

A.＝(＋)  B．＝＋

C.＝  D．＝＋

解析：选AC　如图，∵＝，∴D为BC的中点，∴＝(＋)，∴A正确；∵＝2，∴＝＝(－)，∴＝＋＝＋(－)＝＋，∴B错误；设＝λ＝＋＝＋，∵B，F，E三点共线，∴＋＝1，解得λ＝，∴＝，∴C正确；＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋，∴D错误．

11．在△ABC中，点P满足＝2，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，则m＋2n的最小值为(　 )

A．3  B．4  C.  D．

解析：选A　如图，易知＝＋＝＋(－A)＝＋＝＋ .∵M，P，N三点共线，∴＋＝1，

∴m＋2n＝(m＋2n)＝＋＋＋≥2＋＝2×＋＝3，当且仅当＝，即m＝n＝1时等号成立．

12．(多选)如图，△ABC中，＝，＝，AD与BE交于点F，则下列说法正确的是(　 )

A.＝＋   B．||＝||

C．S△BFD∶S△AFE＝1∶3   D．＋2＋＝0

解析：选BCD　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故A错；∵B，F，E三点共线，∴＝λ＋(1－λ)＝λ＋，∵A，F，D三点共线，∴＝μ＝＋，∴解得∴＝＋，∴F为BE的中点，∴||＝||，故B对；S△BFD＝S△ABD＝×·S△ABC，S△AFE＝S△ABE＝×·S△ABC，∴S△BFD∶S△AFE＝1∶3，故C对；取AB中点G，BC中点H，连接CF，如图，则G，F，H三点共线，∴＋2＋＝(＋)＋(＋)＝－[(＋)＋(＋)]＝－(2＋2)＝－(＋)＝0，故D对．故选B、C、D.

13．已知向量e1，e2不共线，a＝e1＋3e2，b＝2e1＋λe2，若a∥b，则λ＝________.

解析：因为a＝e1＋3e2，b＝2e1＋λe2且a∥b，

所以存在t∈R，使得a＝tb，即e1＋3e2＝t(2e1＋λe2)，因为e1，e2不共线，所以解得t＝，λ＝6.

答案：6

14．设M是△ABC所在平面上的一点，＋＋＝0，D是AC的中点，t＝，则实数t的值为______．

解析：因为D是AC的中点，所以＋＝2，又因为＋＋＝0，所以＋(＋)＝＋＝0，即＝，又因为t＝，所以t＝.

答案：

15．若正六边形ABCDEF的边长为2，中心为O，则|＋＋|＝________.

解析：正六边形ABCDEF中，E＋＋＝＋＋＋＝＋＝，在△AEF中，∠AFE＝120°，AF＝EF＝2，所以||＝＝2，即|＋＋|＝2.

答案：2

16．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．

解析：由题意，得AD＝1，CD＝，∴＝2.

∵点E在线段CD上，∴＝λ(0≤λ≤1)．

∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋ ，∴＝1，即μ＝.

∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.

答案：