2023年江苏省无锡市锡山区锡东片中考数学第一次适应性试卷(含答案解析)

这是一份2023年江苏省无锡市锡山区锡东片中考数学第一次适应性试卷(含答案解析)，共25页。试卷主要包含了 −2的相反数是， 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

A. −2B. 2C. −12D. ±2
2. 下列计算正确的是( )
A. b3⋅b2=b6B. x3+x3=x6C. (−a3)2=a6D. a2÷a2=0
3. 下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2 2，则这个圆锥的侧面积是( )
A. 4π
B. 3π
C. 2π
D. π
5. 如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且点D是弧AB的中点，CD交OB于E，∠AOB=100∘，∠OBC=55∘，则∠OEC的度数为( )
A. 90∘
B. 80∘
C. 70∘
D. 60∘
6. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60∘，E，F是对角线BD上的动点，且BE=DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．
下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF.
其中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 如图，直线y=x+b和y=kx+2与x轴分别交于点A(−2,0)，点B(3,0)，则x+b>0kx+2>0解集为( )
A. x<−2B. x>3C. x<−2或x>3D. −28. 如图，点A的坐标是(−2,0)，点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P.当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx−3k(k>0)有且只有一个公共点，则k的值为( )
A. 23B. 53C. 25 5D. 6 55
9. 如图，点P是函数y=k1x(k1>0,x>0)的图象上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数y=k2x(k2>0,x>0)的图象于点C、D，连接OC、OD、CD、AB，其中k1>k2.下列结论：①CD//AB；②S△OCD=k1−k22；③S△DCP=(k1−k2)22k1，其中正确的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①
10. 式子 2x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
11. 2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器，圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务.“奋斗者”号下潜63次，发现已知最深鲸落，深度达5609米.数据5609用科学记数法可表示为______ .
12. 命题“如果a<0，b<0，那么ab>0”的逆命题是______ .
13. 若二元一次方程组x+y=23x−5y=4的解为x=ay=b，则a−b=______ .
14. 抛物线y=−x2+4x−4与坐标轴的交点个数为______.
15. 如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则sin∠ADC2的值是______.
16. 如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=8，点E在BC上且CE=AE，则CE=______ ；若点F为平面内一点，且∠AFC=90∘，连接EF，当tan∠CEF=2时，EF的值为______ .
17. 计算：
(1) 8+(−12)−1−4cs45∘；
(2)2(m−1)2−(2m+3)(2m−3).
18. (1)解方程：1x−2+1−x2−x=3；
(2)解不等式：3x−3>x+12(2x−1)≤5x−1.
19. 如图，B、C在直线EF上，AE//FD，AE=FD，且BE=CF，
(1)求证：△ABE≌△DCF；
(2)连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形．
20. 3月12日，某初级中学组织学生开展了义务植树社会实践活动．为了了解全校500名学生义务植树情况，小文同学开展了一次调查研究．小文从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集的数据(单位：棵)进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)小文一共随机抽取______名学生进行调查；在扇形统计图中，“4棵”所在的扇形的圆心角等于______度；
(2)补全条形统计图；
(3)随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是______；
(4)在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，根据调查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有______名．
21. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京成功举办，北京成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的“双奥之城”.北京冬奥会的项目有滑雪(如高山滑雪、单板滑雪等)，滑冰(如速度滑冰、花样滑冰等)，冰球，冰壶等.如图，有4张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同的图案，背面完全相同，其中速度滑冰、花样滑冰为冰上项目，高山滑雪、单板滑雪为雪上项目.现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上.
(1)从中随机抽取1张，抽出的卡片上恰好是冰上项目图案的概率是______ ；
(2)若印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同图案的卡片分别用A，B，C，D表示，从中随机抽取一张卡片(不放回)，再从余下的卡片中随机抽取一张，试用画树状图或列表的方法求出抽到的卡片均是冰上项目图案的概率.
22. 如图，已知AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，AD是⊙O的切线.
(1)求证：∠C=∠BAD；
(2)若BD⊥AB于点B，AD=9，BD=6，求⊙O半径.
23. (1)如图1，在锐角△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC=180∘，请用尺规作图的方法确定点D的位置(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)中，若AB=6，AC=4，∠BAC=60∘，则线段AD的长为______ .(如需画草图，请使用图2)
24. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶80元，售价为每顶120元，平均每周可售出200顶.商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于108元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶.
(1)该商店若希望每周获利12000元，则每顶头盔应降价多少元？
(2)当每顶头盔的售价为多少元，商店每月获得最大利润，最大利润是多少？
25. 点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P(1,3)是“垂距点”．
(1)在点A(2,2)，B(32,−52)，C(−1,5)中，是“垂距点”的点为______；
(2)求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
(3)⊙T的圆心T的坐标为(1,0)，半径为r.若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是______.
26. 抛物线y=ax2+bx+3过点A(−1,0)，点B(3,0)，顶点为C.
(1)直接写出抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，连接PE，作∠PEF=∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的最大值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−2的相反数是2.
故选：B.
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】C
【解析】解：A、b3⋅b2=b5，故A不符合题意；
B、x3+x3=2x3，故B不符合题意；
C、(−a3)2=a6，故C符合题意；
D、a2÷a2=1，故D不符合题意，
故选：C.
利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应运算法则的掌握与应用．
3.【答案】A
【解析】解：A、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A.
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．熟练掌握定义是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：锥的母线长= (2 2)2+12=3，
所以这个圆锥的侧面积=12⋅2π⋅1⋅3=3π.
故选：B.
先利用勾股定理计算出母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5.【答案】B
【解析】解：连接OD，
∵点D是弧AB的中点，
∴BD=AD，
∵∠AOB=100∘，
∴∠BOD=12∠AOB=50∘，
∴∠BCD=12∠BOD=25∘，
∴∠OEC=∠OBC+∠C=55∘+25∘=80∘.
故选：B.
根据等弧所对的圆心角相等以及圆周角定理，得∠BCD=100∘÷4=25∘.再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠OEC=55∘+25∘=80∘.
本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理、圆周角定理以及三角形的内角和定理的推论，解题的关键是掌握并熟练运用相关的性质和定理．
6.【答案】C
【解析】
解：连接AC，MN，它们与BD交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
只要OM=ON，那么四边形MENF就是平行四边形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN=EF，OM=ON，则四边形MENF是矩形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是菱形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C.
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．
【解答】
解：∵直线y=x+b和y=kx+2与x轴分别交于点A(−2,0)，点B(3,0)，
∴x+b>0kx+2>0解集为−2故选：D.
8.【答案】C
【解析】解：连接OP，OC，∵OA为圆B的直径，
∴∠ACO=90∘，
∵A与P关于点C对称，
∴OP=OA=2，
∴点P运动的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．
∵点P组成的图形与直线y=kx−3k(k>0)有且只有一个公共点，
∴直线与圆O相切．
设直线直线y=kx−3k与x轴，y轴相交于N，M，
作OH⊥MN，垂足为H，
∵y=kx−3k，当y=0时，x=3，
∴ON=3，
在Rt△OHN中，根据勾股定理得，
HN2+OH2=ON2，
∴HN= 5，
∵∠OHN=∠NOM，∠ONH=∠MNO，
∴△ONH∽△MNO，
∴OH：OM=HN：ON，
代入OH=2，HN= 5，ON=3，
∴OM=65 5，
∴−3k=−65 5，
∴k=25 5.
故选：C.
根据点的对称性和直径所对的圆周角是直角，可知点P的运动轨迹；当点P所组成的图形与直线有且只有一个公共点时，即直线与圆相切，根据△ONH∽△MNO求出OM的值，即可求出k的值．
本题考查了一次函数与圆的综合题，确定点P的运动轨迹和点M的坐标是解决本题的关键，本题难度较大．
9.【答案】B
【解析】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在y=k1x上，点C，D在y=k2x上，
设P(m,k1m)，
则C(m,k2m)，A(m,0)，B(0,k1m)，令k1m=k2x，
则x=k2mk1，即D(k2mk1,k1m)，
∴PC=k1m−k2m=k1−k2m，PD=m−k2mk1=m(k1−k2)k1，
∵PDPB=m(k1−k2)k1m=k1−k2k1，PCPA=k1−k2mk1m=k1−k2k1，即PDPB=PCPA，
又∠DPC=∠BPA，
∴△PDC∽△PBA，
∴∠PDC=∠PBA，
∴CD//AB，故①正确；
△PDC的面积=12×PD×PC=(k1−k2)22k1，故③正确；
S△OCD=S四边形OAPB−S△OCA−S△DPC
=k1−12k2−12k2−(k1−k2)22k1
=k12−k222k1，故②错误；
故选：B.
设P(m,k1m)，分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断PDPB和PCPA的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用S△OCD=S四边形OAPB−S△OCA−S△DPC计算△OCD的面积，可判断②．
此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．
10.【答案】x≥2
【解析】解：由题意得：2x−4≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2.
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
11.【答案】5.609×103
【解析】解：5609=5.609×103.
故答案为：5.609×103.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题主要考查了科学记数法-表示较大的数，熟练掌握科学记数法-表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
12.【答案】假
【解析】解：“若a<0，b<0，则ab>0”的逆命题是“若ab>0，则a<0，b<0”，是一个假命题．
故答案为：假．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可．
本题考查命题与定理，正确写出原命题的逆命题是解题关键．
13.【答案】32
【解析】解：将x=ay=b代入原方程组得：a+b=23a−5b=4，
解得：a=74b=14，
∴a−b=74−14=32.
故答案为：32.
将x=ay=b代入原方程组，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可得出a，b的值，再将其代入a−b中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键．
14.【答案】2个
【解析】解：△=b2−4ac=16−4×(−1)×(−4)=0，
所以抛物线与x轴的交点有一个．
抛物线开口向下，x取任意实数，
所以抛物线与y轴有一个交点，
故答案为2个．
此题分为与x轴、y轴的交点个数，计算b2−4ac的值与0进行比较可确定于x轴交点的个数，抛物线与y轴都有一个交点．
本题主要考查了抛物线与x轴交点，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
15.【答案】 55
【解析】解：如图：
由题意得：
AC2=12+22=5，
BC2=22+42=20，
AB2=32+42=25，
∴AC2+BC2=AB2，AC= 5，AB=5，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90∘，
∵BE=EF，DE//AF，
∴BD=AD，
∴CD=BD=12AB，
∴∠CBD=∠BCD，
∵∠CDA=∠BCD+∠CBD，
∴∠CDA=2∠CBD，
∴sin∠ADC2=sin∠CBD=ACAB= 55，
故答案为： 55.
根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，再证明点D是AB的中点，然后利用直角三角形斜边上的中线得出CD=BD，从而可得∠CDA=2∠CBD，进而可得sin∠ADC2=sin∠CBD，再根据锐角三角函数定义进行计算即可解答．
本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理及其逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜边上的中线是解题的关键，
16.【答案】53 5或−3 5+2 1055
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=8，
∴∠B=90∘，
设CE=AE=x，则BE=8−x，
∴AB2+BE2=AE2，
∴42+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴CE的长是5；
过F作FH⊥BC于H，交AD于G，
当F在AD左侧时，如图：
∵tan∠CEF=2，
∴FHEH=2，
设EH=m，则FH=2m，
∵四边形ABCD为矩形，FH⊥BC，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=4，BH=AG，
∴FG=FH−GH=2m−4，
∵CE=5，
∴CH=CE−EH=5−m，BE=BC−CE=3，
∴BH=BE+EH=3+m=AG，
∵∠AFC=90∘，
∴∠AFG=90∘−∠CFH=∠FCH，
∵∠AGF=90∘=∠CHF，
∴△AGF∽△FHC，
∴FGCH=AGFH，
∴2m−45−m=3+m2m，
解得m=3或m=−1(舍去)，
∴EH=3，FH=6，
∴EF= EH2+FH2= 32+62=3 5；
当F在BC右侧时，如图：
设HE=n，则HF=2n，
同理可得CH=5−n，GF=2n+4，AG=n+3，
∵△CHF∽△FGA，
∴CHGF=HFAG，
∴5−n2n+4=2nn+3，
解得n=−3+2 215或n=−3−2 215(舍去)，
∴EF= EH2+FH2= 5n=−3 5+2 1055，
综上所述，EF为3 5或−3 5+2 1055.
故答案为：5；3 5或−3 5+2 1055.
设CE=AE=x，由AB2+BE2=AE2，可得42+(8−x)2=x2，可解得CE的长是5；过F作FH⊥BC于H，交AD于G，分两种情况：当F在AD左侧时，设EH=m，则FH=2m，证明△AGF∽△FHC，可得2m−45−m=3+m2m，求出m的值，再用勾股定理可得答案；当F在BC右侧时，同理可得答案．
本题属于四边形的综合题，考查矩形的性质及应用，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
17.【答案】解：(1)原式=2 2−2−4× 22
=2 2−2−2 2
=−2；
(2)原式=2(m2−2m+1)−[(2m)2−32]
=2m2−4m+2−(4m2−9)
=2m2−4m+2−4m2+9
=−2m2−4m+11.
【解析】(1)根据算术平方根的定义、负整数指数幂的意义、特殊角锐角三角函数值解答即可；
(2)利用完全平方公式及平方差公式进行解答．
此题主要考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)1x−2+1−x2−x=3，
方程两边都乘x−2，得1−(1−x)=3(x−2)，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x−2≠0，
所以x=3是分式方程的解，
即分式方程的解是x=3；
(2){3x−3>x+1①2(2x−1)⩽5x−1②，
解不等式①，得x>2，
解不等式②，得x≥−1，
所以不等式组的解集是x>2.
【解析】(1)方程两边都乘x−2得出1−(1−x)=3(x−2)，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)先求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解(1)的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解(2)的关键．
19.【答案】证明：(1)∵AE//DF，
∴∠AEF=∠DFE，
∴∠AEB=∠DFC，
∵AE=FD，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS).
(2)连接AC、BD.
∵△ABE≌△DCF，
∴AB=CD，∠ABE=∠DCF，
∴AB//DC，
∴四边形ABDC是平行四边形．
【解析】(1)根据SAS即可证明；
(2)只要证明AB//CD，AB=CD即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】100 72 3 175
【解析】解：(1)10÷10%=100(名)，
100−10−15−40−10−5=20(人)，
20100×360∘=72∘，
故答案为：100，72；
(2)补全条形统计图如下：
(3)∵共有100个人，10+15+40=65，
∴义务植树数量的中位数是3，
故答案为：3；
(4)500×20+10+5100=175(名)，
故答案为：175名．
(1)根据“1棵”的人数及所占的百分比求出随机抽取的学生数，根据“4棵”的人数及调查的学生数求出4棵”所在的扇形的圆心角的度数；
(2)由(1)的结果即可补全条形统计图；
(3)利用中位数的定义求得中位数即可；
(4)根据全校学生数及不少于4棵的学生所占的百分比求出该学校获得“植树小能手”称号的学生人数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】12
【解析】解：(1)从中随机抽取1张，求抽出的卡片上恰好是冰上项目图案的概率24=12，
故答案为：12；
(2)画树状图如下：
由图可知：共12种等可能的结果，其中抽到的卡片均是冰上项目图案的有2种，
则抽到的卡片均是冰上项目图案的概率是212=16.
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意画出树状图得出所有等可能结果数，找出抽到的卡片均是冰上项目图案的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE=90∘，
∴∠EAB+∠E=90∘.
∵AD是⊙O的切线，
∴∠DAE=90∘，
∴∠EAB+∠BAD=90∘，
∴∠E=BAD，
∵∠C=∠E，
∴∠C=∠BAD；
(2)解：∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90∘，
由(1)可知∠ABE=90∘，
∴∠DBE=180∘，
∴D，B，E三点共线，
∵AD=9，BD=6，
∴AB= AD2−BD2= 92−62=3 5，
∵∠E=∠C=∠BAD，∠D=∠D，
∴△ADE∽△BDA，
∴ADBD=AEAB，
∴96=AE3 5，
∴AE=9 52.
∴⊙O半径为9 54.
【解析】(1)连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，由圆周角定理得到∠EAB+∠E=90∘，由切线的性质得到∠EAB+∠BAD=90∘，于是得到∠E=BAD，由于∠C=∠E，即可得到∠C=∠BAD；
(2)根据垂直的定义得到∠ABD=90∘，由(1)可知∠ABE=90∘，得到D，B，E三点共线，根据勾股定理得到AB= AD2−BD2= 92−62=3 5，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】103 3
【解析】解：(1)如下图：点D即为所求；
(2)如图1，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，
∴∠BMD=∠DNC=90∘，
∵D在∠BAC的平分线上，
∴∠BAD=∠CAD=30∘，
∴DM=DN，CD=BD，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN，
∵DM=DN，AD=AD，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，
∴AM=AN，
∵AB+AC=AM+BM+AN−CN=2AN=10，
∴AN=5，
∴AD=ANcs30∘=103 3，
故答案为：103 3.
(1)作∠BAC的平分线，再作AB，AC的垂直平分线，确定△ABC的外接圆的圆心，作圆，与∠BAC的平分线的交点即为点D；
(2)过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N.利用全等三角形的性质证明AM=AN=5，最后根据特殊角的三角函数求解．
本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆，三角形的角平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)设每顶头盔降价a元，则平均每周可售出(20a+200)顶，
由题意得：(120−a−80)(20a+200)=12000，
解得a=10或a=20，
当a=10时，售价为120−10=110>108，不符题意，舍去，
当a=20时，售价为120−20=100<108，符合题意，
答：每顶头盔应降价20元；
(2)设商店每周获得最大利润w元，每顶头盔的售价为x元，则平均每周可售出[20(120−x)+200]顶，且80≤x≤108，
由题意得：w=[20(120−x)+200](x−80)，
整理得：w=−20(x−105)2+12500，
由二次函数的性质可知，在80≤x≤108内，当x=105时，w取最大值12500，
答：当每顶头盔的售价为105元，商店每周获得最大利润，最大利润是12500元．
【解析】(1)设每顶头盔应降价a元，则平均每周可售出(20a+200)顶，再根据“每周获利12000元“建立方程，解方程即可得；
(2)设商店每周获得最大利润w元，每顶头盔的售价为x元，从而可得平均每周可售出[20(120−x)+200]顶，再根据利润公式可得w与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可得．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确建立方程和函数关系式是解题关键．
25.【答案】解：(1)A，B ；
(2)设函数y=2x+3的图像上的“垂距点”的坐标(a,2a+3)，
依题意得：|a|+|2a+3|=4.
①当a>0时，a+(2a+3)=4，
解得：a=13，
∴此时“垂距点”的坐标为(13,113)；
②当−32解得：a=1(不合题意，舍去)；
③当a<−32时，−a−(2a+3)=4，
解得：a=−73，
∴此时“垂距点”的坐标为(−73,−53).
∴综上所述，函数y=2x+3的图像上的“垂距点”的坐标是(13,113)或(−73,−53).
(3)3 22≤r<5.
【解析】
【分析】
本题考查了解含绝对值符号的一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征以及直线与圆相切等知识，解题的关键是：(1)根据“垂距点”的定义，判定给出点是否为“垂距点”；(2)利用一次函数图象上点的坐标特征及“垂距点”的定义，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程；(3)利用特殊值法，找出r的取值范围．
(1)将各点横、纵坐标的绝对值相加，取和为4的点即是所求；
(2)设函数y=2x+3的图像上的“垂距点”的坐标(a,2a+3)，根据“垂距点”的定义可得出|a|+|2a+3|=4，解之即可得出a值，进而可得出“垂距点”的坐标；
(3)设“垂距点”的坐标为(x,y)，则|x|+|y|=4(x⋅y≠0)，画出该函数图象，分⊙T与DE相切及⊙T过点F两种情况求出r值，结合题意，即可得出r的取值范围．
【解答】
解：(1)∵|2|+|2|=4，|32|+|−52|=4，|−1|+|5|=6≠4，
∴是“垂距点”的点为A，B.
故答案为：A，B.
(2)见答案；
(3)设“垂距点”的坐标为(x,y)，则|x|+|y|=4(xy≠0)，
当x>0，y>0时，x+y=4，即y=−x+4(0当x<0，y>0时，−x+y=4，即y=x+4(−4当x<0，y<0时，−x−y=4，即y=−x−4(−4当x>0，y<0时，x−y=4，即y=x−4(0画出该函数图象，如图所示．
当⊙T与DE相切时，过点T作TN⊥直线DE于点N，则△DNT为等腰直角三角形，
∴TN= 22TD= 22×|4−1|=3 22；
当⊙T过点F(−4,0)时，⊙T上不存在“垂距点”，
此时r=FT=|1−(−4)|=5.
∴若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是3 22≤r<5.
故答案为：3 22≤r<5.
26.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，点B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：
a−b+3=09a+3b+3=0，
解得：a=−1b=2.
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3.
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点C(1,4).
(2)设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图，
∵A(−1,0)，C(1,4)，
∴OA=1，OE=1，CE=4.
∴OA=OE，AC= AE2+CE2=2 5.
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO//CE，
∴OF=12CE=2，F为AC的中点．
∵△DAC是以AC为底的等腰三角形，
∴DF⊥AC.
∵FO⊥AD，
∴△AFO∽△FDO.
∴AOOF=OFOD.
∴12=2OD.
∴OD=4.
∴D(4,0).
设直线CD的解析式为y=kx+m，
∴k+m=44k+m=0，
解得：k=−43m=163.
∴直线CD的解析式为y=−43x+163.
∴y=−43x+163y=−x2+2x+3，
解得：x1=1y1=4，x2=73y2=209.
∴P(73,209).
(3)过点P作PH⊥AB于点H，如下图，
则OH=73，PH=209，
∵OD=4，
∴HD=OD−OH=53，
∴PD= PH2+HD2=259.
∴PC=CD−PD=5−259=209.
由(2)知：AC=2 5.
设AF=x，AE=y，则CE=2 5−y.
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠C.
∵∠CAB+∠AEF+∠AFE=180∘，
∠AEF+∠PEF+∠CEP=180∘，
又∵∠PEF=∠CAB，
∴∠CEP=∠AFE.
∴△CEP∽△AFE.
∴PCAE=ECAF.
∴209y=2 5−yx.
∴x=−920y2+9 510y=−920(y− 5)2+94.
∴当y= 5时，x即AF有最大值94.
∵OA=1，
∴OF的最大值为94−1=54.
∵点F在线段AD上，
∴点F的横坐标m的最大值为54.
【解析】(1)利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，利用配方法可得抛物线的顶点坐标；
(2)利用△DAC是以AC为底的等腰三角形，求出点D的坐标，利用待定系数法确定直线CD的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组即可得到点P的坐标；
(3)由(2)中的条件求得线段CP，AB的长；由已知判定出△EPC∽△FEA，得出比例式，设AF=x，AE=y，
利用比例式求得AF的最大值，即可求得m的取值范围．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，二次函数图象上点的坐标的特征，函数图象交点的坐标的特征，二元方程组的解法，勾股定理，三角形相似的判定与性质，函数极值的确定．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．