2023年上海市杨浦区中考数学二模试卷(含答案解析)

2023年上海市杨浦区中考数学二模试卷

1.  下列单项式中，的同类项是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列检测中，适宜采用普查方式的是(    )

A. 检测一批充电宝的使用寿命
B. 检测一批电灯的使用寿命
C. 检测一批家用汽车的抗撞击能力
D. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量

4.  下列函数中，y的值随自变量x的值增大而增大的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是(    )

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

6.  下列命题中，正确的是(    )

A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．

7.  ______

8.  分解因式：______.

9.  方程的解是______.

10.  掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为质数的概率是______.

11.  如果抛物线的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是______ .

12.  如果关于x的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么k的取值范围是______ .

13.  在中，点D是AC的中点，，，那么______ 用、表示

14.  某校初三班40名同学的体育成绩如表所示，则这40名同学成绩的中位数是______.

15.  《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万万亿，那么2兆=______ 用科学记数法表示

16.  如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知，坡道AB的坡比：，AC的长为米，CD的长为米.按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点D到AB的距离DH的值为______ 米.

17.  如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为______.

18.  如图，已知在扇形AOB中，，半径，点P在弧AB上，过点P作于点C，于点D，那么线段CD的长为______ .

19.  先化简再求值：，其中

20.  解不等式组并求出它的正整数解.

21.  已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
求一次函数的解析式；
过点A作直线AC，交y轴于点D，交第三象限内的反比例函数图象于点C，连接BC，如果，求线段BC的长.

22.  如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线，小明在A处测得点B处小树的顶端C的仰角为，已知小树的高为米.
求直径AB的长；
如果要使最大水深为米，那么此时水面的宽度MN约为多少米结果精确到米，参考数据：，

23.  已知：在直角梯形ABCD中，，，沿直线BD翻折，点A恰好落在腰CD上的点E处.
如图，当点E是腰CD的中点时，求证：是等边三角形；
延长BE交线段AD的延长线于点F，联结CF，如果，求证：四边形ABCF是矩形.

24.  已知抛物线：与x轴相交于点和点B，与y轴交于点
求抛物线的表达式；
把抛物线沿射线CA方向平移得到抛物线，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线AC上，设点F在抛物线上，如果是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
在第小题的条件下，设点M为线段BC上的一点，，交直线BF于点N，求的值.

25.  已知AB是的直径，弦，垂足为点H，点E在直径AB上与A、B不重合，，连接CE并延长与交于点

如图1，当点E与点O重合时，求的度数；
连接AF交弦CD于点P，如果，求的值；
当四边形ACOF是梯形时，且，求AE的长.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意；
B.与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意；
C.与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项符合题意；
D.与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意．
故选：
根据同类项的定义所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项即可作出判断．
本题考查了同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】B 

【解析】解：A、原式，故该选项不符合题意；
B、原式，故该选项符合题意；
C、原式，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：
根据判断A选项；根据判断B选项；根据判断C选项；根据算术平方根的定义判断D选项．
本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键．
 

3.【答案】D 

【解析】解：A、检测一批充电宝的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；
B、检测一批电灯的使用寿命，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意；
C、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查，故本选项不符合题意适；
D、检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，适宜全面调查，故本选项符合题意．
故选：
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

4.【答案】A 

【解析】解：在函数中，y随x的增大而增大，故选项A符合题意；
在函数中，y随x的增大而减小，故选项B不符合题意；
在函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项C不符合题意；
在函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
故选：
根据反比例函数的性质和正比例函数的性质，可以写出各个选项中的函数，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键明确正比例函数的性质和反比例函数的性质，能够根据函数解析式，写出y随x的变化如何变化．
 

5.【答案】B 

【解析】解：因为两圆相交，圆心距P满足：，即，满足条件的圆心距只有B，
故选
本题直接告诉了大圆的半径及两圆位置关系，圆心距，求小圆半径的取值范围，据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径
本题考查了由数量关系及两圆位置关系求小圆半径取值范围的方法．
 

6.【答案】C 

【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；
D、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：
利用平行四边形的判定方法、菱形、矩形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
此题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：表示的绝对值的相反数，，所以。
计算绝对值要根据绝对值的定义求解，然后根据相反数的性质得出结果。
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
 

8.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
由于原式子中含有公因式a，可用提取公因式法求解．
本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：两边平方得：，
解方程的：，，
检验：当时，方程的左边=右边，
为原方程的根
当时，原方程无意义，故舍去．
故答案为：
把方程两边平方去根号后求解．
本题主要考查解无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．注意，最后把解得的x的值代入原方程进行检验．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】
解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，
共有六种可能，其中2、3、5是素数，
所以概率为，
故答案为：  

11.【答案】 

【解析】解：顶点是抛物线的最高点，

故答案为：
由于顶点是抛物线的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定a的范围．
本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，
，

故答案为：
关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，由此可解．
本题考查二次三项式的因式分解问题，可转化为对应的二次方程的实数根的情况，属于比较简单的问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，
，，

点D是AC的中点，


故答案为：
在中，首先由三角形法则求得；然后利用中点的性质求得；最后在中，利用三角形法则求得答案．
本题主要考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则．
 

14.【答案】28分 

【解析】解：将这组数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的2个数都是28，
由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28分．
故答案为：28分．
根据中位数的定义求解即可．
本题考查了一组数据的中位数，属于基础题.
 

15.【答案】 

【解析】解：2兆万万亿，
故答案为：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：

延长CD交AB于E，
：，
，
，
，
，
，
，
过点D作于H，
，
，
，
米
答：点D到AB的距离DH的值为米．
故答案为：
延长CD交AB于E，根据坡度和坡角可得，，过点D作于H，根据锐角三角函数即可求出DH的长．
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
连接CF，DF，得到是等边三角形，得到，根据正五边形的内角和得到，求得，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【解答】
解：连接CF，DF，
则是等边三角形，
，
在正五边形ABCDE中，，
，
的长，
故答案为：  

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接PO，取PO的中点E，连接CE，DE，

在和中，点E是斜边PO的中点，
，
根据圆的定义可知，点P，C，O，D四点均在同一个圆，即上，
又，
，
，
过点H作，垂足为点H，
由垂径定理得，，
在中，，，

故答案为：
先判断出点P，C，O，D四点均在同一个圆，即上，进而求出，即可得出结论．
此题主要考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，四点共圆的方法，判断出点P，C，O，D四点均在同一个圆，即上，是解本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式 

【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后把a的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
 

20.【答案】解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为，
则不等式组的正整数解为1，2， 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象过点，，
，
解得，，
，，
一次函数的图象过A点和B点，
，
解得，
一次函数的表达式为；
如图，过点A作轴于E，过点C作轴于F，

，
∽，
，
，
，
点，
 

【解析】根据反比例函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
由相似三角形的性质和勾股定理即可求解．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：小明在A处测得点B处小树的顶端C的仰角为，
，，
，
，米，
，
米，
答：直径AB的长为7米；
过点O作于D，并延长OD交于H，连接OM，如图：
，米，
的直径为7米，
米
米，
在中，
，米，
米
答：水面的宽度MN约为米． 

【解析】由，，得，利用锐角三角形的正切值即可求解；
过点O作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，在中，利用勾股定理即可求得MD的值，从而可求解．
本题考查解直角三角形及应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义、勾股定理并能应用．
 

23.【答案】证明：由折叠得：，，
点E是腰CD的中点，
是DC的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
过点D作，垂足为H，

，
，，
，
四边形ABHD是矩形，
，，
由折叠得：，，
，，
，，
≌，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形ABCF是平行四边形，
，
四边形ABCF是矩形． 

【解析】由折叠得：，，从而可得BE是DC的垂直平分线，进而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用等边三角形的判定，即可解答；
过点D作，垂足为H，根据垂直定义可得，再利用平行线的性质可得，从而可得四边形ABHD是矩形，进而可得，，再利用折叠的性质可得：，，从而可得，，然后利用AAS证明≌，从而可得，，再证明8字模型相似三角形∽，从而可得，最后根据已知可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，从而利用等式的性质可得，进而可得四边形ABCF是平行四边形，再根据矩形的判定即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，直角梯形，翻折变换折叠问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线：经过点和，
，解得，
抛物线的解析式为；
如图1，

，，
，
设直线AC的解析式为，
，解得，
直线AC的解析式为，
是以EF为底的等腰直角三角形，
，
由平移得，
，
设，则，
，
解得舍或，
；
如图2，

抛物线的解析式为，令，则，
解得或，
，
点和，
，，
，
，
，
，
四边形DFBC是矩形，
作，交BF于G，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
，
 

【解析】根据待定系数法即可求得解析式；
根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为，根据题意求得，求得轴，设，则，从而得出，解方程即可求得F的坐标；
先求得四边形DFBC是矩形，作，交BF于G，然后根据∽，对应边成比例即可求得
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：如图1，连接AC、AD、OD，

，垂足为点H，
，
，
四边形ACOD是平行四边形，
，
四边形ACOD是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
；
如图，

，，，
≌，
，，
，
∽，
，
，
设，则，，
，
；
如图，连接AD，

由知，≌，
，
在梯形ACOF中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，，
∽，
，
，
设，则，
，
，
 

【解析】如图1，连接AC、AD、OD，根据垂径定理推出，结合，即可推出四边形ACOD是菱形，根据菱形的性质推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解；
结合图形，利用SAS证明≌，根据全等三角形的性质得出，，进而推出，∽，根据相似三角形的性质得出，结合题意求解即可；
结合得出，，根据梯形的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质推出，解直角三角形得出，根据，，推出∽，根据相似三角形的性质得到，结合求解即可．
此题是圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形的性质等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．