2023年上海市长宁区中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年上海市长宁区中考数学一模试卷

1.  已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果，，，那么d的值是(    )

A. 8 B. 6 C. 4 D. 1

2.  下列各组图形中，一定是相似图形的是(    )

A. 两个等腰梯形 B. 两个矩形 C. 两个直角三角形 D. 两个等边三角形

3.  将抛物线向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在中，，已知，，那么的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知P是线段AB的黄金分割点，且，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：

由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是(    )

A.  B.  C. 0 D.

7.  已知，那么的值为______ .

8.  计算：______ .

9.  如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是______.

10.  如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为______ .

11.  小杰沿着坡度：的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了______ 米.

12.  已知抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么m的取值范围是______ .

13.  已知抛物线经过点，，试比较和的大小：______ 填“>”，“<”或“=”

14.  如图，，已知，，，那么EF的长等于______ .

15.  如图，在中，，点G为的重心，若，，那么AG的长等于______ .

16.  如图，在中，，正方形EFGH的边FG在的边AB上，顶点E、H分别在边AC、BC上，如果其面积为24，那么的值为______ .

17.  如图，点E在正方形ABCD的边CD上，的平分线交边AD于点F，联结EF，如果正方形ABCD的面积为12，且，那么的值为______ .

18.  如图，在平面直角坐标系xOy中，，，点C为图示中正方形网格交点之一点O除外，如果以A、B、C为顶点的三角形与相似，那么点C的坐标是______ .

19.  计算：

20.  如图，已知D是边AC上一点，且AD：：3，设，
试用、表示；
直接在图中作出向量分别在、方向上的分向量.
不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量

21.  已知y关于x的函数是二次函数.
求t的值并写出函数解析式；
用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.

22.  某校开展数学周系列活动，举办了“测量”为主题的实践活动.小杰所在小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度.如图所示：无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为，测得大楼顶部D的仰角为无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为已知A、C两点在同一水平线上，根据以上信息，请帮小杰小组计算大楼的高度结果保留根号

23.  已知：如图，在中，点D在边BC上，且，边BC的垂直平分线EF交边AC于点E，BE交AD于点
求证：∽；
如果的面积为180，且，，求的面积.

24.  已知：在中，，，点P、D分别在射线CB、射线AC上，且满足
当点P在线段BC上时，如图
①如果，求BP的长；
②设B、P两点的距离为x，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域.
当时，求的面积直接写出结论，不必给出求解过程
 

25.  已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，O为坐标原点，且
求抛物线的表达式；
如图1，点P是线段BC上的一个动点不与点B、C重合，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ，当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；
如图2，在的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且，在直线QE上是否存在点F，使得与相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：线段a、b、c、d是成比例线段，，，，
：：d，
即1：：d，
解得：
故选：
根据成比例线段的概念可得a：：b，可求d的值．
此题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键．
 

2.【答案】D 

【解析】解：等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
两个等边三角形一定是相似图形，故D正确；
又直角三角形、等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似图形，故A、B、C错误.
故选：
本题主要考查了相似多边形的概念．
如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形．
 

3.【答案】A 

【解析】解：抛物线向右平移1个单位向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：
故选：
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 

4.【答案】C 

【解析】解：在中，，，
，
故选：
利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

5.【答案】C 

【解析】解：是线段AB的黄金分割点，且，
，
，



，
故选：
利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
 

6.【答案】D 

【解析】解：假设三点，，在函数图象上，
把，，代入函数解析式得：
，
解得，
函数解析式为，
当时，，
当时，，
故选：
方法二：
解：假设函数经过，，则对称轴为直线，
此时，函数值最小，
函数开口向上，
当时，y随x的增大而减小，
而表格中，时，，由题意不符，
故选：
假设三点，，在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案．
本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求是二次函数的解析式解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，

故答案为：
直接利用已知变形，进而得出，进而带入计算得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：


故答案为：
先去括号，然后计算加减法．
本题主要考查了平面向量的知识，乘法分配率同样能应用于平面向量的计算过程中，属于基础题．
 

9.【答案】1：3 

【解析】解：两个相似三角形的面积比是1：9，
两个三角形的相似比为，1：3，
它们的周长比是1：3，
故答案为：1：
根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得结论．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长之比等于相似比．
 

10.【答案】 

【解析】解：向量与单位向量的方向相反，且，

故答案为：
根据平面向量的定义即可解决问题．
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
 

11.【答案】50 

【解析】解：设坡度的高为x米，则水平距离为：米，
则：，
解得：，
故答案为：
设坡度的高为x米，根据勾股定理，列方程求解．
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡脚问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线在y轴左侧的部分是上升的，
抛物线开口向下，
，
，
故答案为：
由抛物线在y轴左侧的部分是上升的，可得抛物线开口向下，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

13.【答案】> 

【解析】解：，
抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
故答案为：
由可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

14.【答案】12 

【解析】解：如图：

，
，
，，，
，
解得，
，
故答案为：
由，可得，即，可解得，从而
本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长BG交AC于F，过G作于G，直线DG交BC于E，如图：

，，
，，
，
∽，
，
同理可得，
，
为的重心，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案为：
延长BG交AC于F，过G作于G，直线DG交BC于E，证明∽，得，同理可得，即有，根据G为的重心，，得，，又，可得，由勾股定理可得答案．
本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
 

16.【答案】24 

【解析】解：正方形EFGH面积为24，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：
由正方形EFGH面积为24，可得，，又，即可得，故∽，有，从而
本题考查正方形性质和相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理，证明∽
 

17.【答案】 

【解析】解：过E作交AB于G，如图：

四边形ABCD是正方形，
，
正方形ABCD的面积为12，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，

故答案为：
过E作交AB于G，由正方形ABCD的面积为12，，可得，即可得，而，故
本题考查正方形性质及应用，涉及锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，把转化为
 

18.【答案】或或 

【解析】解：由图可知，是两条直角边的比为1：2的直角三角形，在方格中画出与相似的三角形，如图：

点C的坐标是或或，
故答案为：或或
是两条直角边的比为1：2的直角三角形，分别以A，B，C为直角顶点，画出两条直角边的比为1：2的直角三角形即可得到答案．
本题考查相似三角形及图形与坐标，解题的关键是分类讨论思想的应用．
 

19.【答案】解：原式


 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、分母有理化分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，
：：3，
，
；

如图，，即为所求．
 

【解析】利用三角形法则求出，再求出，根据，可得结论；
利用三角形法则作出图形即可．
本题考查作图-复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：根据题意得且，
解得，
所以抛物线解析式为；
，
，
该二次函数图像的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线 

【解析】根据二次函数的定义得到且，然后解关于t的方程可得到满足条件的t的值，从而得到抛物线解析式；
利用配方法把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

22.【答案】解：如图：

由已知可得：，，米，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
在中，，
，
米，
答：大楼的高度为米． 

【解析】由已知可得：，，米，设米，可得，解得米，在中，，即得米．
本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

23.【答案】证明：，
，
垂直平分BC，
，
，
，，
∽；
解：由知∽，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
 

【解析】由得到，根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
由知∽，可得，而，，即可得，，又，故，因，，即得
本题考查相似三角形的判定与性质，涉及三角形面积，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
 

24.【答案】解：①，
，
，且，
，
∽，
，
，，
，，
解得或，
的长为4或12；
②由∽，
，
、P两点的距离为x，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
；
过A作于H，过D作于G，如图：

，，
，
，
由知当，即时，
，，
于H，，
，，
∽，
，
，
，
的面积为 

【解析】①证明∽，得，即，可解得BP的长为4或12；
②由∽，有，可得，，而∽，知，故，即可得到答案；
过A作于H，过D作于G，由，，，，结合知当，即时，，，证明∽，可得，故的面积为
本题考查三角形综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，三角形面积，动点问题等，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理及应用．
 

25.【答案】解：，，
，
把，，代入得：
，
解得：，
；
由，可得直线BC解析式为，
设，则，
，
，要使四边形OCPQ恰好是平行四边形，只需，
，
解得，
当时，，
；
在直线QE上存在点F，使得与相似，理由如下：
是OC的中点，点，
点，
由知，
直线DQ的表达式为，
，
在直线DQ上，，，
过点Q作轴于点H，过E作轴于K，如图：

，故，
，
，
直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
，，
，
由点，可得直线QE的表达式为，
联立，
解得或，
点E的坐标为，
，
，，，
，
，
∽，
，
，即，
当与相似时，点E与点A是对应点，
设点F的坐标为，则，
当∽时，有，
，
解得或在E右侧，舍去且适合此方程，
；
当∽时，，
，
解得舍去或且适合此方程，
，
综上所述，F的坐标为或 

【解析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的性质，相似三角形的性质以及分类讨论的思想等知识，解题的关键是证明，从而得到与相似时点E与点A是对应点．
求出，用待定系数法可得；
由，可得直线BC解析式为，设，由，有，即可解得；
可得直线DQ的表达式为，知A在直线DQ上，，，过点Q作轴于点H，过E作轴于K，根据，可得直线AQ和直线QE关于直线QH对称，有，，，从而可得直线QE的表达式为，点E的坐标为，即得∽，，故，与相似时点E与点A是对应点，设点F的坐标为，当∽时，有，解得；当∽时，，解得