2022-2023学年广西壮族自治区梧州市苍梧中学高二上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年广西壮族自治区梧州市苍梧中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．抛物线的准线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程.

【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，

故选：D.

2．在等差数列中，若，则（    ）

A．5 B．3 C．8 D．15

【答案】A

【分析】根据等差数列的性质求解，由可得，又，即可得解.

【详解】由等差数列的性质可得：，则，

又，所以.

故选：A.

3．一名小学生的年龄和身高的数据如下表.由散点图可知，身高（单位：）与年龄（单位：岁）之间的线性回归方程为，预测该学生11岁时的身高约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据表中数据，求出样本中心，利用回归方程必过样本中心即可求解.

【详解】由表中数据可知：，，

因为回归方程过样本中心，所以解得，

将代入得，

故选：B

4．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（　　）

A．25种          B．50种         C．300种         D．150种

【答案】D

【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.

【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种；

②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种.

综上，选法共有.

故选:D.

5．某次数学考试成绩近似服从正态分布，若，则可以估计考试成绩大于或等于80分的概率为（    ）

A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744

【答案】C

【分析】根据正态分布的对称性求解.

【详解】由正态分布的对称性可知：，

故估计考试成绩大于或等于80分的概率为.

故选：C

6．甲､乙两袋中各有大小相同的10个球，甲袋有5个红球，5个白球；乙袋有7个红球，3个白球，随机选择一袋，然后从中随机摸出两个球，表示恰好摸到一个红球与一个白球的事件的概率，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算可得；

【详解】设事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，

则，，

则.

故选：C.

7．已知椭圆C：的左焦点为，直线与C交于点M，N.若，，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由椭圆的对称性可知：四边形为平行四边形，结合椭圆的定义并在中利用余弦定理求出关于的值，进而可求出离心率.

【详解】设椭圆C的右焦点为，如图，连接，

因为为的中点，所以四边形为平行四边形，

所以，，由椭圆的定义可得：，

又因为，所以，

又因为，所以，

在中，由余弦定理可得：，

也即，因为，所以，所以椭圆的离心率，

故选：.

8．已知，则（    ）

A． B．2 C．4 D．12

【答案】C

【分析】令，直接根据二项式定理求解即可.

【详解】令，则，

故，

中得系数为，中得系数为，

所以，

故选：C.

二、多选题

9．已知数列，则下列说法正确的是（    ）

A．此数列的通项公式是 B．是它的第17项

C．此数列的通项公式是 D．是它的第18项

【答案】AB

【分析】先猜想出通项公式，然后确定是第几项.

【详解】依题意，，

所以，

令，

解得，所以是它的第17项.

故选：AB

10．已知直线，则（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则

D．当时，不经过第一象限

【答案】BCD

【分析】对于AB，根据线线位置关系判断即可；对于C，由题得即可解决；对于D，数形结合即可.

【详解】由题知，直线

对于A，当时，，解得或，故A错误；

对于B，当时，，解得，故B正确；

对于C，在直线中，

当时，，当时，，

所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确；

对于D，由题知当时，的图象为

故D正确；

故选：BCD

11．如图，在正方体中，为的中点，则（    ）

A．平面

B．平面

C．平面平面

D．直线与平面所成角的余弦值为

【答案】ACD

【分析】对于ABC，由正方体特征判断即可；对于D，取的中点，连接，得，由，得平面，因为，所以与平面所成角即为与平面所成角，大小为，即可判断.

【详解】由题知，

A选项：因为，平面，平面，

所以平面，故A正确；

B选项：显然与不垂直，故B错误；

C选项：因为平面，平面，

所以平面平面，故C正确；

D选项：如图，取的中点，连接，易证，

所以，

因为，

所以，即，

因为平面，平面，

所以，

因为，平面

所以平面，

因为，

所以与平面所成角即为与平面所成角，大小为，

所以，故D正确，

故选：ACD.

12．圆：和圆：的交点为，，则有（    ）

A．公共弦所在直线方程为

B．过直线上任意一点作圆：的切线，与圆切于点，则线段长度的最小值为

C．公共弦的长为

D．圆：与圆关于直线对称

【答案】ABD

【分析】对于A，将两圆方程相减即可；

对于B，切线段长，圆半径为定值，故令最小即可，而的最小值，就是到直线的距离；

对于C，求出圆或圆的圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式求解即可；

对于D，判断两圆半径是否相同，圆心是否关于直线对称即可.

【详解】对于A，由已知两圆相交，将两圆方程相减得，即，

∴公共弦所在直线方程为，故选项A正确；

对于B，由选项A的判断知，直线的方程为，

圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离，直线与圆相离，

过作圆的切线，与圆切于点，则，

∵，∴，

∴线段长度的最小值为，故选项B正确；

对于C，圆：的圆心，半径，

由选项A的判断知，公共弦所在直线方程为，

圆心到公共弦所在直线的距离，

∴公共弦长，故选项C错误，

对于D，圆：的圆心，半径，

由选项C的判断知，圆的圆心，半径，

两圆心连线的斜率，直线的斜率，

∵，∴两圆心连线与直线垂直，

又∵中点在直线上

∴圆与圆的圆心关于直线对称，

又∵，∴圆与圆关于直线对称，故选项D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知离心率为的双曲线与椭圆有公共焦点，则此双曲线的方程式_____．

【答案】

【分析】设出双曲线方程，根据题意列出方程，求出，，求出方程.

【详解】椭圆焦点在轴上，故设双曲线方程为，

因为离心率为的双曲线与椭圆有公共焦点，

所以双曲线中，，，解得：，

所以，

所求双曲线的方程为．

故答案为：.

14．在的展开式中项的系数为______________.

【答案】

【详解】试题分析：在的展开式中项的系数为,项的系数为；故展开式中的项的系数为．

【解析】二项式定理及通项公式的运用．

15．在正方体的棱长为1，则点A到平面的距离为________．

【答案】/

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解.

【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量为，

则，令，则，从而，

则点A到平面的距离为.

故答案为：.

16．已知随机变量服从二项分布，则_______.

【答案】/4.8

【分析】根据二项分布的方差运算公式以及变量间的方差关系公式即可求解.

【详解】因为,所以,

所以.

故答案为:.

四、解答题

17．已知等差数列满足，前4项和．

(1)求的通项公式；

(2)设等比数列满足，求的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题干条件分别求出公差d和首项，再代入公式即可；

（2）由（1）求得的数列的通项公式计算和，进而得到数列的首项和公比，最后代入等比数列前n项和公式即可.

【详解】（1）设等差数列的通项公式为，

由题可知，，所以.

又，

所以.

故的通项公式为.

（2）由（1）知，，

于是等比数列的公比为，

则等比数列的通项公式为，

的前项和为.

18．已知，，圆以线段为直径．

(1)求此圆的标准方程；

(2)设为圆上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为.

【分析】（1）由直径的两个端点，求出圆心和半径即可；

（2）先判断直线与圆的位置关系，再通过位置关系，求出圆上任意一点到直线距离的最大值和最小值.

【详解】（1）∵，，线段为圆的直径，

∴圆心为线段的中点，圆心坐标为，

∴圆的半径，

∴圆的标注方程为：.

（2）圆心到直线的距离，

∴圆与直线相离，如图所示，

∴圆上任意一点到直线的距离的最大值（图中位置）为，距离的最小值（图中位置）为.

19．如图，四棱锥，底面为正方形，平面，为线段的中点．

(1)证明：；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1) 连接，设与交点为，连接，根据为正方形得到，再利用线面垂直得到，然后利用线面垂直的判定得出平面，进而得到线线垂直；

(2)根据为正方形和平面可知：，，两两垂直，则建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角公式即可求解.

【详解】（1）连接，设与交点为，连接，

因为为正方形，所以，因为平面，所以，因为，BD,PB含于面PBD,所以平面，所以；

（2）因为底面为正方形，且平面，

所以，，两两垂直，则建立空间直角坐标系，如图所示．

所以，，，，所以，，，

设平面的一个法向量为，则，即，

令，则，设直线与平面所成角为，由图可知为锐角，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为．

20．某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加，根据相关资料可知该种工程车自购人使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示．已知与具有线性相关关系．

参考数据：，．参考公式：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，

(1)求关于的线性回归方程；

(2)根据实际用车情况，若某辆工程车每年维修费用超过4万元时，可以申请报备更换新车，请根据回归方程预估一辆该种工程车一般使用几年后可以申请报备更换新车．

【答案】(1)

(2)8年

【分析】（1）根据条件，解出，，代入公式即可求得的值；

（2）解即可求得.

【详解】（1）依题意，，

，

，，

．

．

所求线性回归方程为．

（2）由题意可得，，即.

因为，所以，预计一辆该种工程车一般使用8年后可以申请报备更换新车．

21．4月23日是“世界读书日”．读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界．为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动． 活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测．通过随机抽样得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下表：

(1)若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”

①完成下列2×2列联表

②请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“阅读爱好者”与性别有关；

(2)若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”．现从这100名学生中的男生“阅读达人’中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这三人中得分在[90，100]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．

附：，其中

【答案】(1)① 填表见解析；②不能

(2)分布列见解析；期望为

【分析】(1)根据题中数据完成表格，再计算的值，即可得结论；

(2)由题意可得100名学生中的男生“阅读达人”共30人，按分层抽样得[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，从而得X的取值为0，1，2，计算出对应的概论，列出分布列即可求得期望.

【详解】（1）解：由题中表格可得2×2列联表如下

由题意得,

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为“阅读爱好者”与性别有关．

（2）解：根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”，

则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取．

[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，

所以，X的取值为0，1，2，

所以X的分布列为；

所以X的数学期望是．

22．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线l：与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若，求k的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意结合几何关系可求得，.则椭圆的方程为；

（2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意可得.

易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，解出，或.经检验的值为.

【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．

又，所以，，

所以，椭圆的方程为．

（2）

设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，

点的坐标为．

因为，所以有，，，

所以，即．

易知直线的方程为，由方程组

消去y，可得．

由方程组消去，可得．

由，可得，两边平方，整理得，

解得，或．

当时，由可得，，不合题意，舍去；

当时，由可得，，.

所以，.