2022-2023学年广东省梅州市五校（五校虎山中学、平远中学、水寨中学、丰顺中学、梅州中学联考）高二下学期期中考数学试题含解析

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2022-2023学年广东省梅州市五校（五校虎山中学、平远中学、水寨中学、丰顺中学、梅州中学联考）高二下学期期中考数学试题 一、单选题1．抛物线的焦点坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】变换得到，得到焦点坐标.【详解】抛物线，即，，，故焦点坐标为.故选：D2．等差数列的前n项和记为，且，，则=（    ）A．70 B．90 C．100 D．120【答案】D【分析】根据等差数列前n项和的性质可得成等差数列，即可求得的值.【详解】在等差数列中，成等差数列，所以，则，即.故选：D.3．从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（    ）A．60 B．80 C．100 D．120【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算即可求解.【详解】从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数，百位上的数字有除0外的5种选法，十位上的数字有除百位上的数字外的5种选法，个位上的数字有除百位、十位上的数字外的4种选法，所以总共有种不同的三位数，故选：C4．函数的单调递减区间是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出导函数，由得减区间．【详解】由已知，时，，时，，所以的减区间是，增区间是；故选：A．5．已知函数，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解方程即得解.【详解】，所以，解得．故选：A．6．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（    ）A．72 B．56 C．48 D．36【答案】C【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数.【详解】将四个区域标记为，如下图所示：第一步涂：种涂法，第二步涂：种涂法，第三步涂：种涂法，第四步涂：种涂法，根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法，故选：.7．2022年10月9日7时43分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁型运载火箭，成功将先进天基太阳天文台“夸父一号”发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．该卫星是我国综合性太阳探测卫星，将聚焦太阳磁场、太阳耀斑和日冕物质抛射的观测，开启我国综合性太阳探测时代，实现我国天基太阳探测卫星跨越式突破．“夸父一号”随着地球绕太阳公转，其公转轨道可以看作是一个椭圆，若我们将太阳看做一个点，则太阳是这个椭圆的一个焦点，“夸父一号”离太阳的最远距离为15210万千米，最近距离为14710万千米，则“夸父一号”的公转轨道的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的定义，以及已知可得出，解方程组即可得出的值，进而得出答案.【详解】设公转轨道的长半轴长为（万千米），半焦距为（万千米）.由题意知，解得，所以离心率．故选：D．8．已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将问题转化为，利用导数求在上的最小值、在上的最小值，即可得结果.【详解】对任意，，都有不等式成立，，，，则在区间上单调递增，∴，，，，则在上单调递增，，，则在上单调递减，，，故，综上，.故选：C 二、多选题9．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（    ）A．若，，则B．数列是等比数列C．若数列的前n项和，则D．若首项，公比，则数列是递减数列【答案】BC【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设等比数列的首项为，公比为，，A选项，由于，所以与的符号相同，所以A选项错误.B选项，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，B选项正确.C选项，，当时，，则，由于是等比数列，所以，C选项正确.D选项，若首项，公比，则，所以D选项错误.故选：BC10．已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（    ）A．B．的展开式中项的系数为56C．奇数项的二项式系数和为128D．的展开式中项的系数为56【答案】AC【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB，利用所有奇数项的二项式系数和为判断C，根据二项式定理判断D.【详解】因为的展开式通项为，所以的展开式的第项的二项式系数为，所以，解得，A正确；的系数为，B错误；奇数项的二项式系数和为，C正确；根据二项式定理，表示8个相乘，所以中有1个选择，1个选择，6个选择，所以的展开式中项的系数为，D错误；故选：AC11．如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（    ）A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值【答案】ACD【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.故选：ACD．12．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（　　）A． B．函数既有极大值又有极小值C．函数有三个零点 D．过可以作两条直线与图像相切【答案】ABD【分析】求得，，根据题意列出方程组，求得的值，可判定A正确；求得，得出函数的单调性，结合极值定义，可判定B正确；根据极大值和极小值都大于0，可判定以C错误；设切点为，求得切线方程，代入点，求得的值，可判定D正确.【详解】对A，由题意，函数，可得，，所以，即，解得，所以A正确；对B，因为，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以函数既有极大值又有极小值，所以B正确；对C，当时，函数取得极大值，极大值为，当时，函数取得极小值，极小值为，因为，即的极大值与极小值都大于，所以函数至多有一个零点，所以C错误；对D，设切点为，可得，即切线的斜率，所以切线方程为，又由切线过点，则，整理得，即，解得或，即满足题意的切点只有两个，所以满足题意的只有两条切线，所以D正确.故选：ABD. 三、填空题13．2023年春节期间，电影院上映《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》等多部电影，这些电影涵盖了悬疑、科幻、动画等多类型题材，为不同年龄段、不同圈层的观众提供了较为丰富的观影选择.某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3张，则共有______种不同的分法.【答案】360【分析】根据分步乘法计数原理结合排列组合即可求解.【详解】从6张电影票中任选1张，有种选法；从余下的5张中任选2张，有种选法；最后余下3张全选，有种选法.由于甲、乙、丙是不同的三户“五好文明家庭”，因此共有种不同的分法.故答案为:36014．在二项式的展开式中，常数项是，则a的值为________.【答案】【分析】写出二项式展开式的通项，令的次幂为0即可求得常数项的表达式，解得即可得出答案.【详解】展开式的通项公式为，令，得，故，解得.故答案为：15．若函数在处取得极大值10，则的值为___________.【答案】##【分析】计算，解方程组，求得的值并检验是否在处取得极大值即可确定的结果，求出答案.【详解】由题意可知：,则有,解得或．检验：当时，，时，，时，或，则为极小值点，不符合题意；当时，在处取得极大值10，所以.故答案为：16．若函数使得成立，则实数的最小值是_____.【答案】【分析】根据题意，使得成立，分类参数，可转化为，使得成立，构造函数，利用导数法求得，即可求解.【详解】由题意，函数使得成立，即，使得成立，即，使得成立，令，则，因为，则，所以在上单调递增，又由，所以使得，此时取得极小值，也是最小值，令，则，即，所以，即，所以，即实数的最小值为.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值与最值，其中解答中合理利用分离参数，结合函数的单调性与最值求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 四、解答题17．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？【答案】（1）115（2）186【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有种；第二种，3红2白，取法有种，第三种，2红3白，取法有种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有18．已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且，.(1)求数列和的通项公式；(2)若是数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式直接代入求公差和公比即可；（2）利用等比数列的前项和公式即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且.由，，得，解.所以.由，，得，又，解得.所以.（2）由（1）可知故数列是以为首项，为公比的等比数列，因为恒成立，即实数的取值范围为19．已知函数在处取得极值-14.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的最值.【答案】(1)(2)最小值为-14，最大值18 【分析】（1）由极值和极值点，利用导数求出未知系数，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程.（2）利用导数求函数单调区间，根据单调性求函数在区间上的最值.【详解】（1）因，故由于在处取得极值-14，故有，化简得，解得，经检验，时，符合题意，所以.则，，故.所以曲线在点处的切线方程为：，即（2），，解得或；解得，即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，，因此在的最小值为.最大值为20．疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．【答案】（1）当时不满足条件②，见解析（2）【分析】（1）因为当时，，所以不满足条件② ；（2）求导得：，当时，满足条件①；当时，在上单调递增，所以.由条件②可知，，即，等价于在上恒成立，问题得解.【详解】（1）因为当时，，所以当时不满足条件② .（2）由条件①可知，在上单调递增，所以当时，满足条件；当时，由可得当时，单调递增，，解得，所以 由条件②可知，，即不等式在上恒成立，等价于当时，取最小值综上，参数的取值范围是．【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.21．已知椭圆的右焦点为，离心率，点到左顶点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)若是椭圆的上下两顶点，是椭圆上异于关于轴对称的两点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.【答案】(1)(2)圆恒过定点. 【分析】（1）由已知条件列方程组求出，可得椭圆的方程；（2）设，则，表示出直线的方程和直线的方程，令，得到和的中点的坐标，表示出圆的方程，取特殊的点代入方程，可得圆恒过的定点.【详解】（1）由题意知，解得，，则椭圆的方程为.（2），，设，则，，，直线的方程为：，直线的方程为，令，则，设的中点为，则的坐标为，即：，，，则，半径为：圆的方程为：①令，则，代入①得：②令，则，代入①得：，由①②得：，代入①得：，化简得，即，上式恒成立，圆恒过定点.22．已知函数，(1)求函数的单调区间；(2)证明：当时，.【答案】(1)递增区间是，递减区间是；(2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出其单调区间作答.（2）利用导数探讨函数的最小值，再作差即可推理作答.【详解】（1）的定义域为，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的递增区间是，递减区间是.（2）定义域是，显然函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，，当时，函数的取值集合为，函数的取值集合为，因此函数在上的取值集合为，即存在，使得，，于是存在，使得，有，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，，，由两边取对数得，即，，即，所以.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.