2022-2023学年河南省南阳地区高二下学期期中热身摸底检测数学试题含解析

这是一份2022-2023学年河南省南阳地区高二下学期期中热身摸底检测数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省南阳地区高二下学期期中热身摸底检测数学试题 一、单选题1．在数列中，，，则（    ）A．5 B．6 C．14 D．15【答案】C【分析】由递推公式依次计算出即得.【详解】由题意可得，，．故选：C.2．在易怒与患心脏病这两个变量的计算中，有以下结论：①当由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关时，那么在100个易怒的人中有90人患心脏病；②由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误；③由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与是否易怒有关，其中正确结论的个数是（    ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】由独立性检验判断即可【详解】解：由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与易怒有关，则①错误，③正确．由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误，则②正确．故选：B3．已知等差数列，若，，则（    ）A．30 B．36 C．24 D．48【答案】A【分析】根据已知结合等差数列的通项公式先求出公差，再根据片段和的关系计算结果即可.【详解】已知等差数列，①，②，设数列的公差为d，②－①得，则．故选：A.4．已知函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求函数的导数，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值.【详解】由题意可得，则，解得，得，故．故选：B.5．在正项等比数列中，若，是方程．的两个不同的实根，则（    ）A．10 B．5 C．9 D．【答案】D【分析】根据根与系数关系得到，再根据等比数列性质及对数运算性质进行计算.【详解】由题意可得，所以，则．故选：D6．鞋子的尺码又叫鞋号，这是一种衡量人类脚的形状以便配鞋的标准单位系统，已知女鞋欧码及对应的脚长（单位：厘米）如下表所示：脚长222222.52323.52424.52525.52626.527欧码3535.53636.537.53838.5394040.54142某数学兴趣小组通过调查发现某高中的女学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）之间有线性相关关系，其回归直线方程为．已知该高中某女学生的身高为166厘米，则预测她穿的鞋子为（    ）A．36码 B．36.5码C．38码 D．39码【答案】C【分析】将身高值代入回归直线方程，求解，再结合表格中数据得出结果.【详解】由题意可估计该女学生的脚长为，则她穿的鞋子为38码．故选：C.7．设数列中，，且，则的最小值是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知得出，利用累加法求得，然后由数列的单调性得出最小值．【详解】因为，所以．因为，所以，即，则．因为满足上式，所以，则．因为，由对勾函数性质知数列在时递减，在时递增．因为，，所以的最小值是．故选：B．8．已知函数，直线，若直线与的图象交于A点，与直线l交于B点，则A，B之间的最短距离是（    ）A． B．4 C． D．8【答案】A【分析】根据平行切线法，求函数图象上的点A到直线l的最短距离，即为A，B之间的最短距离.【详解】因为函数，直线，若直线与的图象交于A点，与直线l交于B点，直线的斜率为1，直线的斜率为，所以两直线垂直，所以函数图象上的点A到直线的最短距离，即为A，B之间的最短距离由题意可得，．令，解得(舍去)．因为，取点A，所以点A到直线的距离，则A，B之间的最短距离是．故选：A. 二、多选题9．某机构为了调查某地中学生是否喜欢数学课与性别之间的关系，通过抽样调查的方式收集数据，经过计算得到，由，可知下列结论正确的是（    ）A．有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别无关B．有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别无关D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关【答案】BD【分析】根据已知直接判断选项即可.【详解】因为，所以有95%的把握认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关，即在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为该地中学生是否喜欢数学课与性别有关．故选：BD.10．下列求导正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BCD【分析】根据导数的四则运算、求导法则以及复合函数求导一一判断即可.【详解】对A，若，则，故A错误．对B，若，则，故B正确．对C，若，则，则C正确．对D，若，则，则D正确．故选：BCD.11．某产品的售价x（单位：元）与月销量y（单位：百件）的数据如下：x1314151617y19mn1311已知当时，y关于x的线性回归方程为，当时，该产品月销售量为0，下列结论正确的是（注：利润＝销售额－成本） （    ）A．B．C．若该产品的售价为20元，则估计月销售金额为10000元D．若该产品每件的成本为10元，则预测该产品的月利润最高为7812.5元【答案】BCD【分析】将代入线性回归方程得到y的估计值是15，不一定正确，故A错误；由线性回归方程过，代入线性回归方程即可判断B正确；当该产品的售价为20元时，代入线性回归方程即可判断C正确；利用二次函数的最值即可判断D正确．【详解】当时，，所以y的估计值是15，则不一定正确，故A错误；由题意可知，，则，解得，则B正确；当该产品的售价为20元时，月销量百件，则估计月销售金额为元，则C正确；由题意可知该产品的月利润的估计值为百元，即预测该产品的月利润最高为7812.5元，则D正确．故选：BCD.12．设数列的前n项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（    ）A．B．是递减数列C．若数列的前n项和为，则D．若存在，使得成立，则m的取值范围是【答案】ACD【分析】利用与的关系及数列的单调性，结合错位相减法求数列的前项和及成立问题的解决办法即可求解.【详解】当时，，解得，因为，当时，所以，由，得，即，取时，，此式不满足，    故数列的通项公式为，由题意可得，则,因为，所以，则A正确．因为，所以不是递减数列，则B错误．因为,当时，，所以当时，，所以，所以，即，即，即，取时，，此式满足，所以数列的前n项和为 ，故C正确．当时，，所以，所以，即，所以数列是单调递减数列.当时，，所以，则由数列的单调性可知．因为存在，使得成立，所以，即，解得，故D正确．故选：ACD.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用与的关系的推导思路，求出，再利用错位相减法求数列的前项和及数列的单调性，将成立问题转化为求最值问题即可. 三、填空题13．已知，则______．【答案】【分析】根据导数定义即可求出结果.【详解】由题意可得，则．故答案为:.14．设等比数列的前n项和为，公比，，则满足条件的一个的值为______．【答案】3（答案不唯一，只要即可）【分析】根据已知条件及等比数列的前n项和公式求出的范围，从而得出结果.【详解】由等比数列的前n项和公式可得，则，解得．（答案不唯一，只要即可）故答案为：3. 四、双空题15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯内放入一个圆柱形铁块后，水面刚好和铁块的上底面齐平，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为6 cm，铁块底面圆半径为3 cm，放入铁块后的水面高度为6 cm，若从时刻开始，将铁块以1 cm/s的速度竖直向上匀速提起，在铁块没有完全离开水面的过程中，水面将______（填“匀速”或“非匀速”）下降；在时刻，水面下降的速度为______ cm/s．【答案】     匀速     【分析】由圆柱形铁块竖直向上匀速提起，可得水面匀速下降；根据已知得出水面高度H与时刻的函数关系，通过导数求瞬时速度.【详解】设在铁块没有完全离开水面的过程中，水面高度为H，铁块离开水面的高度为h，则水和铁块的体积为，即①．铁块距离杯底的高度为②．由①②可得．令函数，则．故水面将匀速下降，下降的速度为．故答案为：匀速；. 五、填空题16．有穷数列共有k项，满足，，且当，时，，则项数k的最大值为______________．【答案】【分析】分析数列为有穷数列，且，所以项数最大的项，利用累加法可得即可得解.【详解】当时，，因为有穷数列，，，所以当项数最大时，，则，，，将以上各式相加得，即，，即，则.故答案为： 六、解答题17．被赞誉为“波士顿比利”的美国知名跑者比尔·罗杰斯曾经说过：“跑步是全世界最棒的运动.”坚持跑步可以增强体质、提高免疫力、改善精神状态.某数学兴趣小组从某地大学生中随机抽取200人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如下表所示. 喜欢跑步不喜欢跑步总计男生 50120女生30  总计  200(1)分别估计该地男、女大学生喜欢跑步的概率；(2)能否有的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关？参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828 【答案】(1)(2)有99%的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关 【分析】(1)由表格可得男女生中喜欢跑步的人数，继而可求对应概率；(2)由数据计算卡方，参照卡方表即可判定结果.【详解】（1）由题意可得样本中女大学生有200-120=80人，则女大学生喜欢跑步的频率是，故该地女大学生喜欢跑步的概率是.由题意可知样本中喜欢跑步的男大学生有人，则男大学生喜欢跑步的频率是，故该地男大学生喜欢跑步的概率是.（2）由题意可得.查表可得，由于8.333>6.635，所以有99%的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关.18．设等差数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由求解；（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）解：由题意可得解得，．故．（2）由（1）可得， 则，．19．已知函数．(1)若曲线的切线斜率不小于，求a的取值范围；(2)当时，求曲线过点的切线方程．【答案】(1)(2)或． 【分析】（1）求出函数的导数，由解不等式得出结果.（2）分成点为切点和不是切点两种情况分别求解切线方程.【详解】（1）由题意可得．因为曲线的切线斜率不小于，所以恒成立，即恒成立，则，解得，即a的取值范围是．（2）当时，，则．当是切点时，所求切线斜率，则所求切线方程为．当不是切点时，设所求切线与曲线的切点为，由导数的几何意义可得， 整理得，即，解得或(舍去)， 则切点，所求切线斜率，.故所求切线方程为．综上，所求切线方程为或．20．某研发小组为了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，结合近10年的年研发资金投入量和年销售额的数据（1，2，…10），建立了两个函数模型：①，②，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．设， （1，2，…10），经过计算得如下数据．2066770200144604.2031250000.30821500(1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型．(2)①根据（1）中选择的模型及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；②当年研发资金投入量约为亿元时，年销售额大致为亿元，若正数a，b满足，求的最小值．参考公式：相关系数，线性回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为，．【答案】(1)模型的拟合程度更好(2)①；②． 【分析】（1）根据相关系数公式分别计算，并比较的大小，较大的拟合程度更好；（2）①先由指数模型两边取对数转化为线性关系，根据公式先求解线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；②将年销售额代入y关于x的回归方程，得出的关系，利用“1”的代换法结合均值不等式求解结果.【详解】（1），，因为，所以从相关系数的角度，模型的拟合程度更好．（2）①因为，所以，即．由题中数据可得，则，从而v关于x的线性回归方程为，故，即．②将年销售额亿元，代入，得，解得，则．故．因为，所以.当且仅当，即时，等号成立，此时，符合题意， 故M的最小值为．21．某工厂引进新设备，随着员工对新设备的了解及熟悉，该设备每天生产的零件数量比前一天增加20%．已知该设备第一天生产某种零件1000件，且该设备每天最多可以生产该零件5000件．记第一天该设备生产的零件数量为件，第n天生产的零件数量为件．(1)求该设备第二天和第三天的总产量；(2)求至少需要几天，该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能？（参考数据：取，）【答案】(1)2640件(2)10天 【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解；（2）根据（1）的结论及对数的运算性质即可求解.【详解】（1）由题意得，，即，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，，故该设备第二天和第三天的总产量为件.（2）设第k天可以达到该设备的最大产能，由题意可得，两边取常用对数得，即，则，因为，所以k的最小值是10，即至少需要10天，该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能．22．在数列中，，．(1)求的通项公式．(2)设，若是递增数列，求t的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用构造法及等比数列的通项公式即可求解；（2）根据（1）的结论及数列的单调性的应用，利用恒成立问题的解决办法即可求解.【详解】（1）因为，，所以，显然（否则与矛盾），则．因为，所以，所以是以1为首项，4为公比的等比数列．所以，即，故的通项公式为.（2）由（1）可得，则，故．因为是递增数列，所以，即．当n为奇数时，，即，故，由于单调递减，当时，，所以；当n为偶数时，，即，故，由于单调递增，当时，，所以．综上，t的取值范围为．