2022-2023学年天津市河东区高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年天津市河东区高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．一个三层书架，分别放置语文类读物12本，政治类读物14本，英语类读物11本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（    ）

A．3种 B．6种 C．37种 D．1848种

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理计算作答.

【详解】求不同的取法种数有3类办法，取1本语文类读物有12种方法，取1本政治类读物有14种方法，取1本英语类读物有11种方法，

由分类加法计数原理得：不同的取法共有种.

故选：C

2．展开式中第3项的系数是（    ）

A．90 B．-90 C．-270 D．270

【答案】A

【分析】利用二项式定理求出通项公式，进而求出第3项.

【详解】展开式的第3项为，故第3项系数为90，

故选：A

3．设函数的图象在点处的切线方程为，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用导数的定义及导数的几何意义计算作答.

【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，则，

所以.

故选：D

4．某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则这两件产品都不是合格品的概率为（    ）

A．2% B．30% C．72% D．26%

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.

【详解】依题意，甲厂产品的不合格率是10%，乙厂产品的不合格率是20%，

任意购买甲、乙厂各一件电子产品，这两件产品都不是合格品的概率为.

故选：A

5．已知函数，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接求导，代入计算即可.

【详解】，故.

故选：D.

6．已知随机变量的分布列如下：

若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据期望公式及概率和为1列方程求解.

【详解】由已知得

解得

故选：B.

7．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且函数在处取得极值，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算，然后根据，可得，最后可得结果.

【详解】由题可知：，

则解得，.

经检验，当，时，在处取得极大值，

所以.

故选：C

【点睛】本题主要考查曲线在某点处的导数的几何意义，重在于计算以及理解，属基础题.

8．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（    ）种

A．5 B．8 C．14 D．21

【答案】C

【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论．

【详解】乙排在第五的情况有：，乙不在第五的方法有，

共有，

故选：C．

【点睛】关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．

9．已知，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据题意以及对数函数性质可以判断出，然后构造函数，求导后判断函数的单调性即可得答案.

【详解】解：

又

若，则不满足条件，

若、时， ，不满足条件

当、时，成立；

又因为函数的图像恒在上方，

设，，所以

构造函数，，

令，（）

，且在定义域内单调递增，故

因此可知，所以在范围内单调递增，

故选：D

二、填空题

10．已知随机变量，则______.

【答案】

【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算作答.

【详解】因为随机变量，所以.

故答案为：

11．若二项式的展开式中的系数是10，则实数______.

【答案】1

【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用给定系数列式计算作答.

【详解】二项式展开式的通项公式，

由解得，因此展开式中的系数是，即，解得，

所以实数.

故答案为：1

12．已知定义在区间的函数，则的单调递增区间为______.

【答案】

【分析】直接求导得，令，在定义域内解出不等式即可.

【详解】，

令，即，即，，

显然，即有，

因此，则，

故单调递增区间为.

故答案为：.

13．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为______.

【答案】/0.6

【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出概率作答.

【详解】不放回的逐一取球，在第一次取得红球的条件下，袋中还有2红3白的5个球，

从中任取1球，有5个基本事件，取到白球的事件含有3个基本事件，概率为，

所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为.

故答案为：

14．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

【答案】1260.

【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.

详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为

因此一共有个没有重复数字的四位数.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

15．已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【解析】化简不等式，得出函数的单调性，利用导数转化为不等式恒成立，进而分离参数求解对应函数的最值，即可得到参数的取值范围.

【详解】由，得，

由函数单调性的定义可得函数在上单调递增，

故在上恒成立，

即在上恒成立，记，则，当时，，函数单调递减，且；当时，，函数单调递增，

所以函数在上的最小值为，

故答案为：

【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、最值，分离参数法求参数的取值范围；考查学生的逻辑推理能力、转化与化归能力及运算求解能力；将进行转化，从而求得函数的单调性，通过构造函数法和分离参数法求参数的取值范围是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.

三、解答题

16．（1）从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动.若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？

（2）将五个不同的元素，，，，排成一排.若不排在首位，不排在末位，求共有多少种排法？

【答案】（1）30；（2）78.

【分析】（1）求出从7名志愿者中任选3人的方法数，去掉性别相同的选法数作答.

（2）根据给定条件，求出5个元素的全排列，去掉在首位或者在末位的排列数作答.

【详解】（1）依题意，从7名志愿者中任选3人的方法种数是，3人性别相同的方法种是，

所以不同的选择方法种数是.

（2）元素，，，，排成一排的排法种数是，

其中元素排在首位的方法种数是，元素排在末位的方法种数是，

而元素排在首位且元素排在末位的方法种数是，

所以符合要求的排法种数是

17．已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是56．求：

（1）求的值；

（2）展开式中的常数项．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）解方程即可求得的值；

（2）先求出二项式展开式的通项，令的指数位置为即可求得的值，进而可得常数项.

【详解】（1）因为前三项的二项式系数和是56，

所以，即，

整理可得：，解得：，

（2）展开式的通项为，

令可得：，

所以展开式中常数项为.

18．已知函数的导函数为，且满足，求曲线在点处的切线方程.

【答案】.

【分析】利用导数运算法则求出，进而求出，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

【详解】由求导得：，当时，，

解得，因此，，

所以曲线在点处的切线方程是，即.

19．若函数（e为自然对数的底数，）在区间上单调递减，求实数的取值范围.

【答案】.

【分析】求出函数的导数，利用给定单调性建立恒成立的不等式，分离参数构造函数，求出最小值作答.

【详解】函数，求导得：，

依题意，，恒有成立，

令函数，，，

当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，因此，

而当时，当且仅当时，，此时函数在上单调递减，

所以实数的取值范围.

20．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.

【答案】(1)见详解；(2) .

【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.

【详解】(1)对求导得.所以有

当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；

当时，区间上单调递增；

当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.

(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.

所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.

若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.

所以，而，所以.即的取值范围是.

综上得的取值范围是.

【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.