2022-2023学年湖北省鄂西北六校（宜城一中、枣阳一中等六校）高二下学期期中联考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖北省鄂西北六校（宜城一中、枣阳一中等六校）高二下学期期中联考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省鄂西北六校（宜城一中、枣阳一中等六校）高二下学期期中联考数学试题 一、单选题1．已知曲线，那么曲线在点处的切线斜率为（    ）A． B． C．2 D．2或【答案】C【分析】求出曲线的导数，代入切点坐标即可求出对应切线斜率.【详解】，，根据导数几何含义可知曲线在点处的切线斜率为2.故选：C.2．已知，则x的值是（    ）A．3 B．6 C．9 D．3或9【答案】A【分析】根据组合数的性质求解即可.【详解】由，得或，解得或，当时，，不符合组合数的定义，所以舍去.故选：A.3．函数的单调递增区间是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接求导，令，解出即可.【详解】由已知，定义域为，由得．∴的增区间为．故选：D．4．在的展开式中，含项的系数是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】当且时，求出的展开式中含的系数，即可求得的展开式中含项的系数.【详解】当且时，的展开式通项为，展开式中含项的系数是，所以，在的展开式中，含项的系数.故选：C.5．已知函数为的导函数，则的大致图象是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出，判断奇偶性，并结合特殊值验证，即可判断出答案.【详解】由可知，则，即为奇函数，故A，D错误；又，故C错误，B正确，故选：B6．某高校有名志愿者参加月日社区志愿工作，每人参加一次值班，若该天分早、中、晚三班，每班至少安排人，最多安排人，则当天不同的排班种类为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将名志愿者分为组，确定每组的人数，然后将这三组志愿者分配到早、中、晚三班，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】将名志愿者分为组，每组的人数可以是：①、、；②、、,再将这三组志愿者分配到早、中、晚三班，所以，当天不同的排班种类为.故选：B.7．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ）A．2.056 B．2.083 C．2.125 D．2.203【答案】B【分析】变形，然后根据题中的方法计算即可.【详解】故选：B8．设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则（    ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】根据题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即可得，然后利用此结论可求得答案.【详解】由，得 ，由 可得：，因为所以的图象关于点对称，所以，因为，所以，所以，，，所以，故选：C 二、多选题9．下列函数求导运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接利用导数的运算法则与基本初等函数的导函数逐一求解得答案.【详解】对于A，，故选项A错误；对于B，，故选项B错误；对于C，，故选项C正确；对于D，，故选项D正确；故选：CD.10．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（    ）A．若女生必须站在一起，那么一共有种排法B．若女生互不相邻，那么一共有种排法C．若甲不站最中间，那么一共有种排法D．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法【答案】AC【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空中，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确； 选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法，故不正确；故选：AC.11．函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据函数恰有3个单调区间，可得导函数有两个不同的零点，从而可得，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】，因为函数恰有3个单调区间，所以函数有两个不同的零点，所以，解得且，所以，则函数恰有3个单调区间的充分不必要条件是BD两个选项.故选：BD.12．已知函数，，则（    ）A．若函数有两个不同的零点，则B．若函数恒成立，则C．若函数和共有两个不同的零点，则D．若函数和共有三个不同的零点，记为、、，且，则【答案】ABD【分析】对于A，利用参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可判断A选项；对于B，由参变量分离法可得，利用导数求出函数的最小值，可判断B选项；对于C，由参变量分离法可知，直线与函数、的图象共有两个交点，数形结合可判断C选项；对于D，先利用同构法得到，再利用的单调性结合图像得到，，进而证得，可判断D选项.【详解】对于A选项，由，可得，令，则直线与函数的图象有两个交点，，由可得，由可得，所以，函数的减区间为，增区间为，函数的极小值为，如图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个不同的零点，A对；对于B选项，由可得，令，其中，，由可得，由可得，所以，函数的减区间为，增区间为，故，所以，，B对；对于C选项，令，可得，因为函数、共有两个不同的零点，则直线与函数、的图象共有两个交点，由图可知，当时，直线与函数、的图象共有两个交点，因此，若函数和共有两个不同的零点，则，C错；对于D选项，若函数和共有三个不同的零点，则直线经过与的交点，如图所示， 因为，所以，因为，所以，又，且在上单调递减，故，同理：，即，又由得，故，故D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三、填空题13．在的展开式中，含的项系数为_________．【答案】16【分析】利用二项展开式的通项公式求解.【详解】由已知得，展开的通项为，则该项的项系数为，该项的项系数为，则中的项系数为，所以的展开式中，含的项系数为，故答案为：.14．已知函数满足，则_______．【答案】【分析】根据导数的运算法则求出，令求出，然后令求出即可．【详解】，，解得，，故答案为：．15．为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成①湖垱生态农业区，②桐柏山生态农业区，③数字农业区，④生态走廊区和⑤大洪山生态农业区五个发展板块（如下图），现用四种颜色给各个板块着色，要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有_________种．【答案】【分析】按先后顺序分别涂区域③④①②⑤，确定每个区域的涂色方法种数，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】先涂区域③，有种选择，接下来涂区域④，有种选择，接下来涂区域①②，涂区域①有种选择，涂区域②有种选择，最后涂区域⑤，有种选择，由分步计数原理可知，不同的着色方法种数为种.故答案为：.16．已知函数的导函数为，对，都有，且，若在上有极值点，则实数的取值范围是_________．【答案】【分析】由已知等式变形可得，可得出，根据可求得的值，然后求出方程的根，根据在上有极值点可得出关于实数的不等式，解出的取值范围，再结合极值点的定义验证即可.【详解】第，，可得，即，其中为常数，所以，，故，其中为常数，因为，故，所以，，令可得或，因为函数在上有极值点，则，解得，此时，由可得，由可得或，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，函数在上有唯一的极小值点，因此，实数的取值范围是.故答案为：. 四、解答题17．设，求下列各式的值；(1)；(2)．【答案】(1)(2) 【分析】（1）赋值法，分别令和解出和即可得出结果；（2）根据平方差公式将所求变形为，然后用赋值法分别令和即可求得结果．【详解】（1）令得              令，得                            （2）令，得        18．已知函数在时有极大值2．(1)求常数a，b的值；(2)求在区间上的最值．【答案】(1)，(2)最小值为，最大值为2. 【分析】（1）求出导数，由已知可得和联立即可求解；（2）利用导数求出函数在的单调区间，即可求出函数的最值.【详解】（1）由，得，∵在时有极小值2， ∴，∴，解得.（2）由（1）知，，令，则或， 在区间上，当变化时，,的变化情况如下表：x35 00 2 故的最小值为，最大值为2.19．在二项式中，求：(1)展开式中含项的二项式系数；(2)展开式中系数最大的项．【答案】(1)(2) 【分析】运用二项式定理分别计算.【详解】（1）展开式的第项为            令，得 ；的二项式系数为  ；（2）设展开式中第项系数为 最大，则 ，                                即又且                                      ∴展开式中系数最大的项是 ；综上，的二项式系数为，展开式中系数最大的项是.20．在①；②的图象在点处的切线斜率为0；③的递减区间为，这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答．已知．(1)若_________，求实数a的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(2)若，讨论函数的单调性．【答案】(1)条件选择见解析，(2)答案见解析 【分析】（1）利用求导数的值，导数的几何意义，导数研究函数的单调性等知识求解参数a的值；（2）根据含参函数单调性的讨论进行分类讨论.【详解】（1）选条件①则选条件②则选条件③则依题意0和是的两个根  （2）则可以分以下几种情况讨论：①当时，令即，令即；在上单调递减，在上单调递增；②当时，令即或，令即；在上单调递增，在上单调递减；③当时，，在R上单调递增；④当时，令即或，令即在上单调递增，在上单调递减；            综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在上单调递增，在上单调递减；③当时，在R上单调递增；④当时，在上单调递增，在上单调递减．21．已知函数．(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；（2）分离参数，构造函数求导，求出函数的单调区间，结合函数图象及零点个数求解a的范围即可.【详解】（1）当时,，，，又，即切点为，切线方程为：，即；（2） ，，由得，令，则，由得或，由得或，即在区间上单调递增，在区间上单调递减.又趋向于负无穷大时，无限趋近于0，且，图象如下图：由函数有两个零点得，函数与有两个交点，由图可知，或，故a的取值范围为.22．已知函数．(1)若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；(2)设存在两个极值点且．若，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据含参不等式，孤立参数，构造函数转化为函数最值问题，即可求得参数a的取值范围；（2）根据函数的极值点确定的关系，从而可将双变量不等式转化为单变量不等式，构造函数求最值即可证得结论.【详解】（1）对任意的，都有即恒成立，对恒成立，即，设，则，令，则；令，则，在上单调递减，在上单调递增，，（2）证明：，，因为存在两个极值点，所以存在两个互异的正实数根，则，解得，由根与系数关系得，则，所以， 所以，令，则，，，在上单调递减，，而，即，．【点睛】思路点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．