2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．抛物线的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.

【详解】由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为，

则，解得，所以焦点坐标为.

故选:D.

2．已知函数f（x）在处的导数为12，则（    ）

A．-4 B．4 C．-36 D．36

【答案】B

【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可.

【详解】根据题意，函数在处的导数，

则，

故选：B

3．从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则三位数的个数为（    ）

A．24 B．48 C．18 D．36

【答案】C

【分析】利用分步计数原理和排列数即可求解.

【详解】先排末位则有种，再从剩下的三个选两个进行排列则，

根据分步计数原理可得种，

故选：C.

4．已知上可导函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论．

【详解】由图象知的解集为，的解集为，

或，

所以或，解集即为．

故选：C

5．在数列中，已知，则的前10项的和为（    ）

A．1023 B．1024 C．2046 D．2047

【答案】C

【分析】利用，表示出的前10项的和，通过等比数列前n项和公式求解即可.

【详解】

，，，，，

则的前10项的和为.

故选：C.

6．已知函数，下列说法中错误的是（    ）

A．函数在原点处的切线方程是

B．是函数的极大值点

C．函数在上有个极值点

D．函数在上有个零点

【答案】D

【分析】通过导数的几何意义判断选项A，通过导数确定的单调性和极值，判断选项B，进一步通过的图象与图象的交点个数，判断选项D，构造函数，通过多次求导，判断的单调区间和极值判断选项C.

【详解】∵，∴定义域为，

∴，

对于A，由导数的几何意义，函数在原点处的切线的斜率，

∴函数在原点处的切线方程为，即，故选项A说法正确；

对于B，令，解得或，

当时，，在区间和单调递增；

当时，，在区间单调递减，

∴在时取得极大值，在时取得极小值，

∴是函数的极大值点，故选项B说法正确；

对于C，∵，∴，

令，则，

令，则当时，，

∴在上单调递增，

且，，

∴，使，

当时，，在区间单调递减，

当时，，在区间单调递增，

∴在上的最小值为，

∵，∴，，∴，

又∵，

∴，使，，使，

∴当时，，在区间和上单调递增，

当时，，在区间上单调递减，

∴函数的极大值点为，极小值点为，

∴函数在上有个极值点，故选项C说法正确；

对于D，由选项B的判断知，的极大值为，极小值为，

又∵，∴与在同一平面直角坐标系内的图象如下图：

如图可知，与在同一平面直角坐标系下有个交点，

即方程有三个实数解，

即函数有个零点，故选项D说法错误.

综上所述，说法错误的选项为D.

故选：D.

7．已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】由题可得，在中，由余弦定理得，结合基本不等式得，即可解决.

【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，

假设，

所以由椭圆，双曲线定义得，解得，

所以在中，，由余弦定理得

，即

，

化简得，

因为，

所以，即，

当且仅当时，取等号，

故选：A

8．已知函数的导函数为，且，，则不正确的是（    ）

A． B．

C．没有极小值 D．当有两个根时，

【答案】C

【分析】根据条件判断函数的单调性，即可判断AB；求函数，利用导数求函数的极值，判断C；将方程的实数根，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断的取值范围.

【详解】因为，所以函数单调递增，

，即，故A正确；

，即，故B正确；

设，

即，，得，

所以，，得，

在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当函数取得极小值，故C错误；

有2个根，即函数的图象与有2个交点，由以上可知当函数取得极小值，，

并且时，，并且时，，时，，并且时，，

所以当直线与的图象有2个交点时，，故D正确.

故选：C.

二、多选题

9．记是数列的前项的和，且，则下列说法正确的有（    ）

A．数列是等差数列 B．数列是递减数列

C．数列是递减数列 D．当时，取得最大值

【答案】ACD

【分析】由等差数列的定义可判断A；由等差数列的单调性可判断C；根据的表达式结合二次函数的性质可判断BD.

【详解】∵，∴数列是等差数列，故A正确；

，，

∵当时，递增，∴数列不是递减数列，故B错误；

由得，所以数列是递减数列，故C正确；

∵，，∴当 时，取得最大值，故D正确.

故选：ACD.

10．现有带有编号1、2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（    ）

A．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法

B．全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法

C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法

D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法

【答案】ACD

【分析】对于A，利用分步乘法计数原理计算可判断A正确；对于B，先将5个球分为2组，再全排，计算可判断B不正确；对于C，利用分步乘法计数原理计算可判断C正确；对于D，先将5个球分为4组，再全排，计算可判断D正确；

【详解】对于A，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，共有种放法，故A正确；

对于B，带有编号1、2、3、4、5的五个球全部投入2个不同的盒子里，第一步选2个盒子有种选法，第二步将5个球分为两组，若两组球个数之比为1：4有种分法；若两组球个数之比为2：3有种分法，第三步将两组排给两个盒子有种排法，因此共有，故B不正确；

对于C，带有编号1、2、3、4、5的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），第一步选4个球有种选法，第二步选一个盒子有种选法，共有种放法，故C正确；

对于D，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，第一步将5球分成2：1：1：1的四组共有种分法，第二步分给四个盒子有种排法，故共有种放法，故D正确；

故选：ACD.

11．已知函数，下列说法正确的有（    ）

A．曲线在处的切线方程为

B．的单调递减区间为

C．的极大值为

D．方程有两个不同的解

【答案】AB

【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案.

【详解】的定义域为，.

A选项，，

所以曲线在处的切线方程为，A选项正确.

B选项，令解得，

所以在区间，单调递减，B选项正确.

C选项，在区间，单调递增，

所以有极小值，无极大值，C选项错误.

D选项，的极小值为，

当时，；当时，，

方程有一个解，D选项错误.

故选：AB

12．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点C在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线与抛物线交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段的中点为D，直线轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（   ）

A．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6

B．切线l的方程为

C．若，则弦对应的抛物线弓形面积大于

D．若分别取的中点，，过，且垂直y轴的直线分别交E于，，则

【答案】ABD

【分析】A选项直接通过题目中给出的条件进行判断；B选项联立直线抛物线求出A点坐标，求导确定斜率，写出切线方程进行判断；C选项令，进行判断；

D选项根据条件依次求出各点坐标，分别计算三角形的面积进行判断.

【详解】

A选项：内接三角形的面积，正确；

B选项：，解得，又A为第一象限的点，，

，，故切线方程为，即，正确；

C选项：由，得，令，，弓形面积为，

所以不等式不成立，错误；

D选项：由知，轴，，又的中点，，易求，， ，，因此成立，正确.

故选：ABD.

【点睛】本题需要依次判断四个选项，A选项直接利用定义判断，B选项关键在于按照切线方程的通用求法进行求解，C选项通过特殊值进行排除即可，

D选项关键在于求出各点坐标，再求三角形面积进行判断.

三、填空题

13．已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】联立方程得到，讨论，两种情况，计算得到答案.

【详解】直线方程与双曲线方程联立：得：,

当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去；

当时，<0，即或，无公共点.

综上所述：或.

故答案为：

14．七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.

【答案】

【分析】画图分析其中四板块必涂上不同颜色，再根据分类分步计数原理计算剩下的部分即可.

【详解】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色.

又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色.

①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况；

②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况.

又板块颜色可排列，故共种.

故答案为：

15．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】利用导数分析函数的单调性和函数值的变化规律，根据零点定义可得函数的零点为方程和方程的解，结合函数的图象即可得出答案.

【详解】当时，，

所以，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

且，，，

当时，，当时，，

当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，

从而，，当时，，

所以，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

且，，

当时，，当时，，

当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长，

从而，，

当，且时，，

根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：

函数的零点个数与方程的解的个数一致，

方程，可化为，

所以或，

由图象可得没有解，

所以方程的解的个数与方程解的个数相等，

而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，

由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.

故答案为：.

16．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”，若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则______.

【答案】/

【分析】根据三角形面积公式、三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可.

【详解】

如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，

则

设△内切圆的半径为，则，

∴

不妨设，则，

∴，

∴，

故答案为：.

【点睛】关键点睛：运用三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义是解题的关键.

四、解答题

17．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课

(1)如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？

(2)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？

【答案】(1)种

(2)种

【分析】（1）根据数学必须比语文先上，属于定序问题，采用除法处理即倍缩法，即可求解.

（2）根据九科中六科的顺序一定，属于定序问题，采用除法处理即倍缩法，即可求解.

【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种.

（2）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有种.

18．已知数列的前项和为，从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，解答下列问题.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，记的前项和为，若对任意正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.

条件①，且；条件②为等比数列，且满足.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）选①：由与的关系求；选②：求得后得到公比，写出通项公式即可.

（2）由裂项求和法求得，并求得的取值范围，由不等式恒成立求的取值范围.

【详解】（1）选①：且，则，

两式相减，得，

所以为公比的等比数列，

又，，解得，所以；

选②：因为为等比数列，且满足，

所以，，

所以，所以.

（2）因为，所以，

显然数列是关于的增函数，∵，∴，

∴

由恒成立得，，解得或

故的取值范围为.

19．已知是函数的极值点，则：

(1)求实数的值．

(2)讨论方程的解的个数

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求导，由题意可得，即可得解，要注意检验；

（2）利用导数求出函数的单调区间及极值，由此作出函数的大致图象，结合函数图象即可得解.

【详解】（1）,

因为是函数的极值点，

所以，即，

解得或，

当时，，

令，则或，令，则，

所以函数在上递增，在上递增，

所以的极小值点为，极大值点为，符合题意，

当时，，

所以在上递增，所以无极值点，

综上所述；

（2）由（1）可得，

函数在上递增，在上递增，

则，

又当时，，当时，，

作出函数的大致图象，如图所示，

当或时，方程有个解，

当或时，方程有个解，

当时，方程有个解.

20．某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量（公斤）和开园的第天满足以下关系：.批发销售每天的销售量为200公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍.

(1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？

(2)采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？

【答案】(1)

(2)1327公斤，不能完成销售计划

【分析】（1）分段讨论计算采摘零售当天的收入:，批发销售当天的收入，列不等式求解即可；

（2）当时，采摘零售量为数列的和，当时，采摘零售量为数列的和， 两者之和为采摘零售的总采摘量，再加上批发销售的销售总量后判断是否超过6500公斤.

【详解】（1）由条件，当时，，解得

当时，，解得，

所以，采摘零售当天的收入不低于批发销售的收入.

（2）不能.当时，为等差数列，记这些项的和为，.

当时，记数列这些项的和为，

，即采摘零售的总采摘量是1327公斤.

批发销售的销售总量为公斤，24天一共销售公斤，故不能完成销售计划.

21．以椭圆的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；

（2）过点作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记为坐标原点）的面积为，将表示为m的函数，并求的最大值．

【答案】（1）,；（2），，的最大值为1．

【分析】（1）由椭圆C的离心率，结合的关系，得到，设出椭圆方程，代入点，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；

（2）设切线的方程为，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆相切，得到的关系式，求出 的面积，运用基本不等式，即可得到最大值．

【详解】（1）椭圆的离心率为，可得，即

又由，可得，

设椭圆C的方程为，

因为椭圆C过点，代入可得，

解得，所以椭圆C的标准方程为，

又由，即“伴随圆”是以原点为圆心，半径为1的圆，

所以椭圆C的“伴随”方程为．

（2）由题意知，，

易知切线的斜率存在，设切线的方程为，

由得，

设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则，．

又由l与圆x2+y2=1相切，所以，k2=m2-1．

所以=，

则，，

可得（当且仅当时取等号），

所以当时，S△AOB的最大值为1．

【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．

22．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有两个零点（其中），且不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；

（2）根据题意可得有两个正根，换元令，分析可得有两个正根，换元令，整理分析可得在时恒成立，故而令，继而转化为利用导数求解函数的最值问题，结合分类讨论，即可求得答案.

【详解】（1）∵，则，

可得，

即切点坐标为，切线斜率，

故切线方程为，即.

（2）∵，

令，可得，

故函数有两个零点等价于有两个正根，

令，则，

等价于有两个正根，

∵当时恒成立，

故在上单调递增，

对于，由，可得，

可得，可得，

令，由，可得，

由，整理可得，

由于恒成立，

等价于当时恒成立，

等价于当时恒成立，

令，则，

令，则，

当时，，所以在上单调递增，

则有当时，．

（i）当时，当时，，

所以在上单调递增，则有，符合题意。

（ⅱ）当时，由于，且，，

所以存在唯一的 使得，

所以当时，，则在上单调递减，

所以，不符合题意.

综上，不等式恒成立，则 .

【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题

(1)分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

(2)函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．